CONSULTA
FUNCIÓN LINEAL - ECUACIÓN DE LA RECTA
Pregunta de Manuel
Hola Marce una vez mas necesito de su ayuda por ultima vez ya esta es la ultima guia que tendre que resolver espero me pueda ayudar para yo poder realizar los demas....
1. Hallar el valor de la pendiente e intercepciones de la recta 7x-9y+2
Hola Manuel. Vamos por el primero:
1) Hallar el valor de la pendiente e intersecciones de la recta 7x - 9y + 2 = 0 (En el enunciado te faltó poner que todo era igual a cero. Pero seguro que es así, sino está incompleta la ecuación)
Cómo hallar la pendiente:
Para ver el valor de la pendiente de la recta, la tienes que pasar a la forma explícita.
Porque la recta que te dan está en la forma "general":
y = mx + b
Ecuación explícita de la recta
ax + by + c = 0 Ecuación general de la recta
Ves que la ecuación general tiene todos los términos del mismo lado, y del otro hay un cero. En cambio en la ecuación explícita tienes la "y" sola de un lado, y todo lo demás del otro lado.
En la ecuación explícita se puede ver fácilmente
la pendiente, ya que es el número que está multiplicando a la x. Ahí te
remarqué en color rojo: la pendiente es "m".
Por lo tanto, lo que tenemos que hacer para pasar a la forma explícita es "despejar la y":
Despejar la y:
7x - 9y + 2 = 0
-9y = 0 - 7x - 2
-9y = -7x - 2
y = (-7x - 2):(-9)
y = (-7x - 2).(-1/9)
(esto lo puedes hacer de distinta forma. Yo usé que dividir por -9 es igual a multiplicar por -1/9, la fracción inversa a -9/1 ). Ahora aplico la propiedad distributiva, y me queda:
y = 7/9 x + 2/9
Ecuación explícita
Como te dije antes, en la ecuación explícita se puede ver la pendiente de la recta, ya que es el número que está multiplicando a la x. Vemos que ese número es 7/9. Así que:
Pendiente: m = 7/9
(a la pendiente se la suele llamar con la letra "m", o a veces con la "a")
Ya está la respuesta a cuál es la pendiente. Lo que sigue sobre este tema es
optativo, por si quieres más información:
También hay otra forma de encontrar la pendiente, sin pasarla a la forma explícita. Pero hay que usar una fórmula (y por lo tanto exige recordarla) que te dá la pendiente partiendo de la ecuación general. Si la ecuación general es:
ax + by + c = 0
La fórmula para la pendiente es:
m = -a/b
(Observar que "a" es el número que multiplica a la "x", y "b" es el número que multiplica a la "y")
Probemos si dá igual que con el otro procedimiento:
7x - 9y + 2 = 0
a = 7
b = -9
m = -a/b = -7/-9 = 7/9
Ves que dá igual.
Nota: La fórmula proviene justamente de despejar la "y" en la ecuación general. Es decir, de pasar de la ecuación general a la explícita:
ax + by + c = 0 Ecuación general
by = -ax - c
y = (-ax - c)/b
y = -a/b x - c/b Ecuación explícita
Como la pendiente era el número que multiplica a la "x", ves como ese número aquí es -a/b. Es tu elección memorizar la fórmula y aplicarla, o hacer el procedimiento de despejar la "y" en la ecuación que te dan en cada problema.
Intersección con los ejes:
Se refiere a los puntos donde la recta va a cortar al eje de las "x" (abscisas) y al eje de las "y" (ordenadas). Y vamos a usar la ecuación explícita que hallamos en el punto anterior (es más cómodo así).
a) Intersección con el eje "y":
Para entender el concepto hay que tener buena noción sobre graficar puntos en los ejes de coordanadas. Si eso no está muy claro, simplemente puedes recordar el procedimiento y te servirá para encontrar cualquier intersección con el eje "y". De todos modos, te hablo del concepto:
Para que un punto caiga sobre el eje "y", su coordenada "x" debe ser "0" (cero). Por ejemplo, grafica los puntos (0,8); (0,-1); (0,3), etc. y verás que todos caen sobre el eje "y". Entonces, para encontrar ese punto de una función que "cae" sobre el eje "y", lo que hay que hacer es ponerle a la "x" el valor "0". Viste que en una función, le ponemos valores a la "x", y obtenemos valores de "y" usando la fórmula de la función. Así que voy a hacer eso. La función era:
y = 7/9 x + 2/9
Si le pongo a la "x" el valor "0", tengo que:
y = (7/9). 0 + 2/9
y = 0 + 2/9
y = 2/9
Para x = 0, la "y" vale 2/9. Es decir que la función pasa por el punto (0;2/9). Y ese punto cae sobre el eje "y", como te dije antes. Así que:
Punto de intersección con el eje "y":
(0, 2/9)
b) Intersección con el eje "x":
El concepto es similar, pero "al revés": Para que un punto caiga sobre el eje "x", su coordenada "y" debe valer "0" (cero). Por ejemplo, grafica los puntos (3,0) ; (-5,0), etc, y verás que caen sobre el eje x. Entonces, para encontrar el punto de intersección de una función con el eje x, hay que ponerle a la "y" el valor "0". La función era:
y = 7/9 x + 2/9
Si le pongo a la "y" el valor "0", tengo que:
0 = 7/9 x + 2/9
Y ahora, para encontrar cuánto vale "x", la despejo en esa ecuación:
0 - 2/9 = 7/9 x
-2/9 = 7/9 x
(-2/9):(7/9) = x
-2/7 = x
Para y = 0, la "x" vale -2/7. Es decir que la función pasa por el punto (-2/7 , 0). Y ese punto cae sobre el eje "x". Así que:
Punto de intersección con el eje "x":
(-2/7 , 0)
Resumen:
Para intersección con eje "y", poner el cero en la "x".
Para intersección con eje "x", poner el cero en la "y".
Para encontrar la pendiente: despejar la y para pasar a la ecuación explícita. La pendiente es el número que queda multiplicando a la "x".
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