Ejercicios de Matematica Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

1) Expresiones Algebraicas Racionales
2) Simplificación
3) Multiplicación
4) División
5) Sumas y Restas
6) Operaciones Combinadas
7) Ecuaciones Racionales

OPERACIONES CON POLINOMIOS

Pregunta de consuelo

hola me mandan hallar la funcion cuadratica f que satisface img = (-∞, 7) y que f(1)= f(5)= 4 como se desarrolla gracias

Hola consuelo. La imagen de una cuadrática siempre es el intervalo que va desde el infinito negativo hasta la coordenada "y" del vértice (si la curva tiene concavidad "hacia abajo"), o el intervalo que va desde la "y" del vértice hacia el infinito positivo (si la concavidad es "hacia arriba"). En resumen:

- Si la curva es "hacia arriba" (U), la imagen "va desde la y del vértice hacia arriba" (lo puedes ver en un gráfico)

- Si la curva es "hacia abajo" ( ), la imagen "va desde la y del vértice hacia abajo".

Así que si te dan la imagen de la función, te están diciendo dos cosas:

- Cual es la coordenada "y" del vértice
- Y hacia dónde es la concavidad

Si la imagen de f es (-∞;7), entonces la y del vértice: (y_v) es igual a 7. Y la concavidad es hacia abajo (aunque este dato quizás no lo usemos):

y_v = 7

Luego te dá dos puntos que verifican la función:

f(1) = 4
f(5) = 4

A mí me parece que hay varias formas de hacer este ejercicio. Y la más corta me parece ésta (aunque no sé si querrían que lo hagas así):

Resulta que la función cuadrática tiene un Eje de simetría que divide en dos partes iguales a su gráfica (parábola). En la función cuadrática, para algunos pares de puntos la imagen es igual, como en esos dos que te dieron. Eso quiere decir que esos dos puntos están a igual distancia del Eje de simetría (te voy a hacer un dibujo), y por lo tanto el Eje está en el punto medio entre las coordenadas "x" de los puntos. Y el punto medio entre dos puntos se puede calcular, así que con eso tendríamos el Eje. Y tener el eje sirve, porque con el eje y el vértice se puede escribir casi toda la ecuación canónica (sólo faltaría el coeficiente "a"). El punto medio se calcula así:

EJE:

Conociendo dos puntos simétricos:

f(1) = 4       (x₁ = 1)
f(5) = 4       (x₂ = 5)

x = (x₁ + x₂)/2 = (1 + 5)/2 = 6/2 = 3

EJE DE SIMETRÍA: x = 3



Quiere decir que el eje es la recta vertical x = 3, pasa por la x = 3. Entonces, en la ecuación canónica:

f(x) = a.(x - x_e)² + y_v

(x_e es el eje, que coincide con x_v, la x del vértice)

f(x) = a.(x - 3)² + 7


Luego, sólo nos falta el coeficiente principal "a". Pero podemos reemplazar con alguno de los puntos que nos dieron, y así lo podemos encontrar. Por ejemplo:

f(1) = 4

a.(1 - 3)² + 7 = 4

a.(-2)² + 7 = 4

a.4 = 4 - 7

a.4 = -3

a = -3/4

Así que ya tenemos todo para escribir la fórmula canónica de la función cuadrática:

f(x) = (-3/4).(x - 3)² + 7                Forma canónica

Y si lo necesitas en la forma polinómica, desarrollas el cuadrado del binomio:

(-3/4).(x² - 6x + 9) + 7 =

(-3/4)x² + (9/2)x - 27/4 + 7 =

(-3/4)x² + (9/2)x + 1/4

Así que la función es:

f(x) = (-3/4)x² + (9/2)x + 1/4


MÁS RESPUESTAS SOBRE FUNCIÓN CUADRÁTICA

SOBRE ESTA PÁGINA

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- Ejercicios resueltos (con gran variedad de situaciones)
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LOS TEMAS

Por ahora tenemos:

- Factorización de polinomios: Los Casos de Factoreo y Ejercicios Combinados de Factoreo.
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Nota: Las definiciones y conceptos vertidos en esta página no son rigurosos, sino que están más bien orientados a que los alumnos puedan entender lo necesario en cierto contexto.

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Factorización de números (o Descomposición de números)
Máximo Común Divisor o Divisor Común Máximo (MCD o DCM)
¿Qué es el dividendo?
¿Qué es un divisor? División exacta de números enteros
Criterios de divisibilidad (por 2, por 3, por 5)
¿Qué es el neutro?
Propiedad asociativa de la multiplicación
Cálculo del Mínimo Común Múltiplo entre números

NÚMEROS RACIONALES: FRACCIONES Y DECIMALES
¿Cuáles son los números racionales?
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Simplificación de fracciones
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Suma de fracciones con distinto denominador
Multiplicación de fracciones
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Fracción sobre fracción
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¿Qué es la fracción inversa de una fracción?

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¿Qué es una potencia?
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Potencias de un número negativo
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Cuadrado de un binomio. Fórmula. Ejemplos
Cubo de un binomio. Fórmula y ejemplos
Regla para quitar los paréntesis
¿Qué es el opuesto?

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ECUACIONES CUADRÁTICAS
¿Qué es una ecuación cuadrática?
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¿Qué es el coeficiente principal?
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¿Qué son las raíces reales?
¿Qué es una bicuadrada?
¿Qué es una ecuación?

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CONO: Volumen. Área lateral y área total.
CÓNICAS: Circunferencia. Parábola. Completar cuadrados. Ecuación de la Elipse.
CONTINUIDAD: Continuidad de funciones partidas. Punto crítico.
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ECUACIONES: Ecuaciones de primer grado con números Racionales. Ecuaciones cuadráticas. Fórmula resolvente. Discriminante. Ecuaciones exponenciales. Ecuaciones logarítmicas. Ecuaciones polinómicas. Ecuaciones racionales. Ecuaciones con módulo. Ecuaciones bicuadradas.
ESTADÍSTICA: Mediana.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS: Propiedades de las potencias. Productos notables: Cuadrado de un binomio. Suma por resta. Problemas de geometría.
EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: Simplificación. Sumas y restas. Operaciones combinadas.
FUNCIONES: Composición. Inversa.
FUNCIÓN CUADRÁTICA: Forma polinómica y forma canónica.
FUNCIÓN EXPONENCIAL: Tabla de valores. Problemas.
FUNCIONES HOMOGRÁFICAS: Asíntotas.
FUNCIONES IRRACIONALES: Dominio. Raíces. Ecuaciones irracionales.
FUNCIÓN LINEAL: Ecuación explíticita. Ecuación general. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Problemas.
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FUNCIONES POLINÓMICAS: Factorización. Teorema del resto. Raíces. Gráfico. 
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NÚMEROS COMPLEJOS: Forma polar y forma trigonométrica. Módulo y argumento. Raíces complejas.
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SISTEMAS DE ECUACIONES: Métodos: Sustitución. Igualación. Reducción. Resolución de problemas. Sistemas de ecuaciones no lineales. Sistema con parábola y recta.
SUCESIONES: Progresiones geométricas.
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