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ECUACIONES RACIONALES / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1


 

EJEMPLO 1









3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

3 + x2 + x + 2x + 2 = x2 - x

x2 + 3x - x2 + x = -2 - 3

4x = -5

x = -5/4


Condición de existencia: x ≠ 1 y x ≠ -1

Conjunto solución: {-5/4}

Una de las formas de resolver estas ecuaciones es buscando un denominador común entre todos los denominadores de las fracciones de ambos miembros (ver otros métodos). En la EXPLICACIÓN mostraré otras formas de resolver esta ecuación.
Luego de buscar el denominador común y modificar los numeradores como se hace en la suma de fracciones, se pueden cancelar los denominadores de ambos miembros, ya que son iguales. Entonces sólo queda una ecuación entre los numeradores, la cual ya no es racional. Y hay que aclarar la Condición de existencia, es decir qué valores no puede tomar la x, ya que los denominadores deben ser desiguales a 0. Luego, la solución que se encontró tiene que cumplir con la Condición de existencia, sino no es solución de la ecuación.



EXPLICACIÓN:


1) Buscar el denominador común entre los denominadores de ambos miembros: (Ver otros métodos para resolverla)



Factorizo los denominadores:

x2 - 1 = (x + 1).(x - 1)   por el Quinto Caso (Diferencia de Cuadrados)
x      1

Los otros dos no se pueden factorizar.

Reemplazo el denominador que factoricé, por su equivalente factorizado:



Entonces tengo que buscar denominador común (el m.c.m) entre:

(x + 1).(x - 1)
(x - 1)
(x + 1)

m.c.m.: (x + 1).(x - 1)          (m.c.m. entre polinomios)


2) Modificar los numeradores como en la suma de fracciones:





Primer Miembro:

Primera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:

(x + 1).(x - 1) dividido (x + 1).(x - 1), es igual a 1

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

3.1 = 3

Me va quedando:



Segunda fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:

(x + 1).(x - 1) dividido (x - 1), es igual a (x + 1) (¿cómo se hacen estas divisiones?)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

(x + 2).(x + 1)

Me queda:



Segundo miembro:

Divido el denominador común por el denominador del único término que hay en el segundo miembro:

(x + 1).(x - 1) dividido (x + 1), es igual a (x - 1)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

x.(x - 1)

Me queda:




3) Cancelar el denominador común en ambos miembros:

        (¿por qué se puede hacer esto?)

Es decir que queda sólo lo que hay en los numeradores, y es una ecuación donde ya no hay x en el denominador, porque ya no hay denominadores:

3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)


4) Resolver la ecuación:

3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

3 + x2 + x + 2x + 2 = x2 - x

x2 - x2 + 3x + x = -3 - 2

4x = -5

x = -5/4


5) Condición de existencia y Conjunto solución:

Como las fracciones no pueden tener denominador igual a 0, la solución de la ecuación no puede ser un número que haga que algunos de los denominadores dé cero. Entonces, hay que averiguar para qué números los denominadores se hacen cero, y eso se puede hacer igualando a cada denominador a cero y resolviendo la ecuación que queda:

Denominadores:

x2 - 1 = (x + 1).(x - 1)

x + 1

x - 1

Para qué valores de x dan cero:

Primer denominador:

(x + 1).(x - 1) = 0

x + 1 = 0     ó    x - 1 = 0        (no entiendo)  (resolver x2 - 1 = 0 sin factorizar)

x = -1    ó   x = 1

Segundo denominador:

x - 1 = 0

x = 1               (En realidad esta ecuación ya se resolvió para el primer denominador)

Tercer denominador:

x + 1 = 0

x = -1

Es decir que, para que la solución sea válida, no puede ser ni 1 ni -1, porque esos valores hacen que dé cero algún denominador.

Condición de existencia: x ≠ 1  y  x ≠ -1

Como la solución que encontré en el paso 4 era -5/4, cumple la Condición de existencia. Así que es una solución válida. Y es la única que se pudo encontrar. El conjunto solución es entonces el conjunto formado por esa única solución:

Conjunto solución: {-5/4}

(más sobre la Condición de existencia y el Conjunto solución)



¿Te quedó alguna duda? Preguntáme en el LIBRO DE CONSULTAS



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del tema están en ECUACIONES RACIONALES


¿Por qué se pueden cancelar los denominadores?

Este método con el que resolví el EJEMPLO 1 consiste en buscar denominador común igual en ambos miembros. Es decir, un denominador común entre todos los denominadores de todas las fracciones que aparecen en ambos lados de la ecuación, de manera que en los dos miembros queden iguales los denominadores, para poder luego cancelarlos. Así:



El fundamento para cancelar sería: Si dos fracciones son iguales y tienen el mismo denominador, sus numeradores son iguales. Eso viene de una Propiedad de los números Reales llamada Uniforme, que para la división sería así:

a = b si y sólo si a:c = b:c      (Para c ≠ 0)

"Si dos números son iguales, al dividirlos por el mismo número se obtienen dos números también iguales". Pero "Si y sólo si" significa que la Propiedad vale "para los dos lados", entonces podría enunciarse al revés, así:

a:c = b:c  si y sólo si  a = b

"Si dos números están divididos por lo mismo, y dá el mismo resultado, es porque esos números son iguales" 

Como la fracción representa a la división, también podría enunciarse así:

a/c = b/c  si y sólo si  a = b

Donde "c" es denominador en los dos miembros. Se podría decir que: "Si dos fracciones iguales tienen el mismo denominador, sus numeradores son iguales" 

Entonces, al cancelar, estamos usando esa propiedad. Por ejemplo:

    entonces podemos decir que a = b

Y como el Conjunto de los polinomios se comporta como el Conjunto de los números Enteros (que están incluidos en los números Reales), con los polinomios se puede hacer lo mismo. Y la aclaración de que c ≠ 0 tiene que ver con lo que llamamos la "Condición de existencia" (ver qué es eso).


Ecuaciones para la Condición de existencia:

Para determinar la Condición de existencia (explicación de lo qué es), hay que igualar a cero cada denominador y resolver la ecuación que queda. Por ejemplo:

Denominadores: (x + 3) y (x - 1)

x + 3 = 0
x = -3

x - 1 = 0
x = 1

Pero como los denominadores a veces se pueden factorizar, se plantea la cuestión de si uso el denominador factorizado o sin factorizar. La verdad es que podemos elegir hacerlo con uno u otro, dependiendo de si nos parece más fácil la ecuación que queda con alguno de ellos (eso depende de cómo sepa hacer las cosas cada persona). Pero también hay otras cuestiones, como que si factorizamos podemos evitar resolver algunas ecuaciones. Pero por ahora veamos la situación que tuvimos en este EJEMPLO 1, y las dos formas en que podemos verlo, y comparemos cuál nos parece más fácil:

1) Denominadores sin factorizar:

x2 - 1
x + 1
x - 1

Solamente el primer denominador se puede factorizar. Si los usamos sin factorizar, la ecuación queda planteada así:

x2 - 1 = 0

Hay por lo menos 3 maneras diferentes en que la gente resuelve una ecuación así:

x2 - 1 = 0
x2 = 1
|x| = √1
|x| = 1
x = 1 ó x = -1

O si no usan el módulo (|x|), ponen +:

x2 - 1 = 0
x2 = 1
x = +1
x = + 1
x = 1 ó x = -1

Y aunque no es muy práctico, algunos usan la fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas ( x1,2= ), por no aprender métodos particulares para ecuaciones cuadráticas incompletas como es este caso.

Las otras dos ecuaciones son de grado 1, es simplemente despejar la x:

x + 1 = 0
x = -1

x - 1 = 0
x = 1

Al fin de cuentas, los únicos resultados diferentes son 1 y -1.


2) Denominadores factorizados:

x2 - 1 = (x + 1).(x - 1)
x + 1
x - 1

La cuestión está en esta ecuación:

(x + 1).(x - 1) = 0

Es un producto igual a 0. Y un producto es igual a 0 cuando alguno de los factores es igual a cero. Y los factores son (x + 1) y (x - 1). La ecuación ésa se puede resolver igualando a cada factor a cero:

x + 1 = 0   ó  x - 1 = 0
x = -1       ó  x = 1

Esto facilitaría las cosas, porque ya no tendría que resolver una ecuación de segundo grado, sino que dos ecuaciones sencillas de primer grado, que hasta ni haría falta resolverlas si nos damos cuenta que podemos encontrar las soluciones simplemente cambiándole el signo a esos números que hay en los factores. Por ejemplo: Si tenemos el factor (x + 3), la ecuación va a dar x = -3. Si tenemos el factor (x - 1), la ecuación va a dar x = 1, etc.

Y no sólo eso. Puede verse en este ejemplo (y eso va a pasar en la mayoría de ellos), que los otros dos denominadores son iguales a los factores del primer denominador. Entonces, tampoco ya hace falta resolver todas las ecuaciones de cada denominador, porque se repiten. Solamente con ver los factores de todos, se puede saber la solución que va a dar cada uno. Y otra cosa más: por el método que usamos para resolver esta ecuación, tenemos el denominador común que encontramos, que es el m.c.m., y allí justamente están todos los factores. Entonces, hasta podríamos encontrar la Condición de existencia mirando simplemente los factores del denominador común.

Y ahora muestro ejemplos de todo eso, que así dicho todo junto por ahí no se entendió:

Supongamos que tenemos los siguientes denominadores factorizados:

(x + 3)2
(x + 3).(x - 3)
(x - 3)2

Podrían igualarse cada uno a cero y resolverse las tres ecuaciones, pero los resultados que se hallarán son solamente dos: x = 3 y x = -3. Porque, si bien los tres denominadores son diferentes, los factores que los forman son solamente estos dos: (x + 3) y (x - 3). Y esos factores valdrán cero cuando x = -3 y x = 3 respectivamente. Y si cuesta ver eso, se podrían plantear las ecuaciones, pero solamente para esos dos factores, lo sería más corto que resolver las tres ecuaciones:

x + 3 = 0
x = -3

x - 3 = 0
x = 3

Y como decía antes, también se llega a la misma conclusión mirando el denominador común ó m.c.m. Para resolver la ecuación racional tendremos que buscarlo, y veremos que es:
(x + 3)2.(x - 3). Y en el m.c.m. se ve que los únicos factores son (x + 3) y (x - 3). Mirándolo entonces también podemos darnos cuenta de que las soluciones de las ecuaciones serán:

x = -3 y x = 3


Otro ejemplo:

Denominadores factorizados:

(x - 2).(x + 5)2
(x + 1).(x + 5)
(x - 2)2

Los únicos factores ahí son:

(x - 2)
(x + 5)
(x + 1)

Me puedo dar cuenta de que si los igualara a cero, las soluciones serían:

x = 2
x = -5
x = -1

O mirando el m.c.m. En este ejercicio sería:

(x - 2)2.(x + 5)2.(x + 1)

Los factores son (x - 2), (x + 5) y (x + 1). Las soluciones serán x = 2, x = -5 y x = -1.


Otros métodos para resolver ecuaciones racionales:

Método 2: "Igualando a cero"


Consiste en pasar todos los términos de un lado, con lo cual queda 0 del otro lado. Así:



1)

2) Luego se busca denominador común entre todas las fracciones para hacer las sumas y/o restas de fracciones que quedan de un lado:

Factorizo para buscar el m.c.m.:

x2 - 1 = (x + 1).(x - 1)      con el Quinto Caso: Diferencia de Cuadrados
x     1



Denominadores:

(x + 1).(x - 1)
x - 1
x + 1

Denominador común = m.c.m. = (x + 1).(x - 1)        (m.c.m. entre polinomios)

Sumo/resto las fracciones con el conocido procedimiento de poner denominador común y cambiar los numeradores (procedimiento). Me queda:



3) Quedó una sola fracción igualada a cero. Ahora se puede utilizar el siguiente concepto para eliminar al denominador:

"Si una fracción es igual a cero, es porque su numerador es igual a 0"   (¿no hay otra forma?)

Entonces, nos queda que:

3 + (x + 2).(x + 1) - x.(x - 1) = 0
3 + x2 + x + 2x + 2 - x2 + x = 0
5 + 4x = 0 
4x = -5
x = -5/4

Luego, también hay que determinar la Condición de existencia y el Conjunto solución, como en los otros métodos (ver eso aquí).


Método 3: "Pasar multiplicando lo que está dividiendo"

Este método es muy adecuado cuando uno de los miembros de la ecuación es solamente un número (como el EJEMPLO 2), y no lo es en absoluto para este EJEMPLO 1. Lo mostraré cuando explique el EJEMPLO 2.

Método 4: "Proporción"

Este método sólo es apropiado en algunas ecuaciones en forma de proporción (igualdad de dos fracciones), o cuando se puede llegar a esa forma sin que queden potencias altas. Lo mostraré cuando explique el EJEMPLO 3.


Otra forma de pensar el paso 3 del Método 2:



Decía en ese paso que quedó una sola fracción igualada a cero y se podía utilizar entonces el siguiente concepto para eliminar al denominador: "Si una fracción es igual a cero, es porque su numerador es igual a 0".
Pero también se puede hacer lo mismo sin utilizar ese concepto, pensando que como el denominador (x + 1).(x - 1) está "dividiendo", lo puedo pasar al otro lado "multiplicando". Entonces me va a quedar en el segundo miembro:

 0.(x + 1).(x - 1)

Pero como cuando multiplico algo por cero, siempre dá cero, entonces en el segundo miembro queda sólo el cero, y el denominador desapareció porque lo pasé del otro lado:

3 + (x + 2).(x + 1) - x.(x - 1) = 0.(x + 1).(x - 1)

3 + (x + 2).(x + 1) - x.(x - 1) = 0




Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2 (Uno de los miembros es un solo número)
EJEMPLO 3 (La ecuación es una proporción)
EJEMPLO 4 (Uno de los miembros es el número cero)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6 (No se cumple la Condición de existencia)



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