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ECUACIONES RACIONALES / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4


 

EJEMPLO 4: (Uno de los miembros es el número cero)









(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0

x2 + 2x + 5x + 10 - (x2 - 2x - 4x + 8) = 0

x2 + 7x + 10 - x2 + 2x + 4x - 8 = 0

13x = 0 + 8 - 10

13x = -2

x = -2/13

Condición de existencia: x ≠ 2 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {-2/13}

Caso particular en que uno de los dos miembros es cero. Aquí no hace falta poner el denominador común en el segundo miembro, aunque podría hacerse. En realidad, si una fracción es igual a cero, es porque su numerador es igual a cero, sin que importe el denominador (que no puede ser cero, por supuesto). Usando este concepto es que se cancela el denominador en el tercer paso.




EXPLICACIÓN:


1) Buscar el denominador común entre los denominadores del primer miembro:



Factorizo los denominadores:

x2 - 4 = (x + 2).(x - 2)   por el Quinto Caso (Diferencia de Cuadrados)
x      2

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2    por el Tercer Caso (Trinomio Cuadrado Perfecto)
       2.x.2
         4x

Reemplazo los denominadores que factoricé, por sus equivalentes factorizados:



Entonces tengo que buscar denominador común (el m.c.m) entre:

(x + 2).(x - 2)
(x + 2)2


m.c.m.: (x + 2)2.(x-2)        (m.c.m. entre polinomios)


2) Modificar los numeradores como en la suma de fracciones:

  



Primer Miembro:

Primera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:

(x + 2)2.(x - 2)   dividido   (x + 2).(x - 2),   es igual a (x + 2)     (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

(x + 5).(x + 2)

Me va quedando:



Segunda fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:

(x + 2)2.(x - 2) dividido (x + 2)2, es igual (x - 2)                      (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

(x - 4).(x - 2)

Me queda:



En este caso particular en que el segundo miembro es igual a 0, no pongo denominador común ni transformo el numerador del segundo miembro, porque de todos modos va a dar cero (¿a ver cómo sería eso?). Ya no hace falta cancelar los dos denominadores de ambos miembros, sino que se puede cancelar el denominador del primero utilizando otro concepto, lo cual se verá en el siguiente paso. 


3) Cancelar el denominador común o pasar el denominador común al otro miembro:



Cuando tenemos que una fracción es igual a cero, podemos cancelar su denominador, y nos queda que su numerador es igual a cero. Ahí estamos usando el siguiente concepto: "Si una fracción es igual a cero, es porque su numerador es igual a cero" (más sobre esto).
Y si no les gusta usar este concepto, o temen no recordarlo, pueden pensarlo así de otra forma: "El denominador está dividiendo. Lo puedo pasar al otro miembro multiplicando (como en cualquier ecuación). Y como me queda cero multiplicado por el denominador, entonces me dá cero. Y así desaparece el denominador" (ver ese paso resuelto). Todo eso es válido siempre y cuando el denominador sea desigual a cero, pero eso se aclara cuando se determina la Condición de existencia.


4) Resolver la ecuación:

(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0

x2 + 2x + 5x + 10 - (x2 - 2x - 4x + 8) = 0

x2 + 2x + 5x + 10 - x2 + 2x + 4x - 8 = 0

13x + 2 = 0

13x = -2

x = -2/13 


5) Condición de existencia y Conjunto solución:

Como las fracciones no pueden tener denominador igual a 0, la solución de la ecuación no puede ser un número que haga que algunos de los denominadores dé cero. Entonces, hay que averiguar para qué números los denominadores se hacen cero, y eso se puede hacer igualando a cada denominador a cero y resolviendo la ecuación que queda:

Denominadores:

(x + 2)2

(x + 2).(x - 2)

Para qué valores de x dan cero:

Como ya expliqué en el EJEMPLO 1, no hace falta igualar todos los denominadores a cero, sino que basta hacerlo con los factores que aparecen en esos denominadores cuando ya están factorizados, o los factores que aparecen en el denominador común o m.c.m. (Ver esa explicación). Y aquí los factores son (x + 2) y (x - 2). Así que:

x + 2 = 0
x = -2

x - 2 = 0
x = 2

Es decir que, para que la solución sea válida, no puede ser 2 ni -2, porque esos valores hacen que dé cero algún denominador.

Condición de existencia: x ≠ 2  y  x ≠ -2

Como la solución que encontré en el paso 4 era x = -2/13, cumple la Condición de existencia. Así que es una solución válida. Y es la única que se pudo encontrar. El conjunto solución es entonces el conjunto formado por esa única solución:

Conjunto solución: {-2/13}

(más sobre la Condición de existencia y el Conjunto solución)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del tema están en ECUACIONES RACIONALES


Divisiones que se hicieron en este EJEMPLO 4:

Resolver (x + 2)2.(x - 2)   dividido   (x + 2).(x - 2), equivale a simplificar la siguiente fracción:



Resolver (x + 2)2.(x - 2)  dividido  (x + 2)2, equivale a simplificar la siguiente fracción:



(explicación de la simplificación)


¿Qué pasa si en este EJEMPLO 4 busco denominador común en ambos miembros?:







(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0

(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0

Como cero multiplicado por cualquier cosa, dá como resultado cero, el segundo miembro sigue siendo igual a cero. Entonces, para qué voy a hacer todo ese procedimiento de ponerle el denominador común a ambos miembros y cancelar los dos, si de todos modos voy a llegar a lo mismo que si simplemente cancelara el denominador del primer miembro, como lo hice en la explicación (ver pasos 3 y 4).


Si una fracción es igual a cero, su numerador es igual a cero:

0/3 = 0   porque 0:3 = 0
0/8 = 0   porque 0:8 = 0
0/0 no representa a ningún número, porque 0:0 no se puede hacer: no se puede dividir por cero. Entonces, nunca el denominador de una fracción puede ser igual a cero.
4/0 no es igual a cero. La fracción 4/0 no representa a ningún número, porque 4:0 no se puede hacer: no se puede dividir por cero. Entonces, nunca el denominador de una fracción puede ser igual a cero.

Para que una fracción sea igual a cero, tiene que representar a una división que dé como resultado el número cero. Y las divisiones que dan cero son aquellas en la que se divide al cero: "Cero dividido por cualquier número (distinto de cero), es igual a cero". Solamente dividiendo al cero es que se obtiene cero. 

0:5 = 0
0:(-2) = 0
etc.

Así que:

"Si a/b es igual a 0, entonces a = 0     (para b ≠ 0)"

Ésa es la propiedad que podemos usar para resolver una ecuación racional en la cual uno de sus miembros es igual a cero, como este EJEMPLO 4.


Pasando el denominador común al otro miembro:

Decía en la explicación que, el paso para hacer "desaparecer" el denominador, también se podría pensar así:



En una ecuación, "lo que está dividiendo pasa multiplicando". El denominador común está dividiendo, así que lo paso multiplicando al otro miembro:

(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0.(x + 2)2.(x - 2)

(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0

Y así hice desaparecer el denominador sin cancelarlo, y llegué a la misma ecuación que con los otros métodos.


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
(Uno de los miembros es un solo número)
EJEMPLO 3 (La ecuación es una proporción)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6 (No se cumple la Condición de existencia)



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