Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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ECUACIONES RACIONALES / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:









3 + (x + 2).(x + 1) = x.(x - 1)

3 + x2 + x + 2x + 2 = x2 - x

x2 + 3x - x2 + x = -2 - 3

4x = -5

x = -5/4

Condición de existencia: x ≠ 1 y x ≠ -1

Conjunto solución: {-5/4}

Una de las formas de resolver estas ecuaciones es buscando un denominador común entre todos los denominadores de las fracciones de ambos miembros (ver otros métodos). En la EXPLICACIÓN mostraré otras formas de resolver esta ecuación.
Luego de buscar el denominador común y modificar los numeradores como se hace en la suma de fracciones, se pueden cancelar los denominadores de ambos miembros, ya que son iguales. Entonces sólo queda una ecuación entre los numeradores, la cual ya no es racional. Y hay que aclarar la Condición de existencia, es decir qué valores no puede tomar la x, ya que los denominadores deben ser desiguales a 0. Luego, la solución que se encontró tiene que cumplir con la Condición de existencia, sino no es solución de la ecuación.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2: (Uno de los miembros es un solo número)









(x + 2).(x + 3) + 3 = 1.(x + 3)2

x2 + 3x + 2x + 6 + 3 = x2 + 6x + 9

x2 + 5x - x2 - 6x = 9 - 6 - 3

-x = 0

x = 0

Condición de existencia: x ≠ -3

Conjunto solución: {0}

En el segundo miembro hay sólo un número entero, no una fracción ni operaciones. En este ejercicio sería más práctico usar otro de los métodos para resolver estas ecuaciones (ver métodos), y en la EXPLICACIÓN lo muestro también resuelto de esa manera.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3: (La ecuación es una proporción)







(7 + x).(x + 2) = (x + 3).(x + 5)

7x + 14 + x2 + 2x = x2 + 5x + 3x + 15

9x + x2 - x2 - 5x - 3x = 15 - 14

x + x2 - x2 = 1

x = 1

Condición de existencia: x ≠ -5  y  x ≠ -2.

Conjunto solución: {1}

Esta ecuación es una proporción: la igualdad de dos fracciones o "razones". La forma más práctica de resolverla sería usar la Propiedad fundamental de las proporciones, pero aquí usé en mismo método que vengo usando en todos los ejemplos (en general se aprende un sólo método y hay que saber aplicarlo en cualquier ejemplo). Pero en la EXPLICACIÓN lo muestro resuelto usando la mencionada propiedad.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Uno de los miembros es el número cero)









(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0

x2 + 2x + 5x + 10 - (x2 - 2x - 4x + 8) = 0

x2 + 7x + 10 - x2 + 2x + 4x - 8 = 0

13x = 0 + 8 - 10

13x = -2

x = -2/13

Condición de existencia: x ≠ 2 y x ≠ -2.

Conjunto solución: {-2/13}

Caso particular en que uno de los dos miembros es cero. Aquí no hace falta poner el denominador común en el segundo miembro, aunque podría hacerse. En realidad, si una fracción es igual a cero, es porque su numerador es igual a cero, sin que importe el denominador (que no puede ser cero, por supuesto). Usando este concepto es que se cancela el denominador en el tercer paso.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5:







3x - 2 + 5x2 - 2x = 5x2

3x + 5x2 - 2x - 5x2= 2

x = 2

Condición de existencia: x ≠ 0

Conjunto solución: {2}

Al igual que en el EJEMPLO 2, sería más práctico hacerlo de otra manera, que muestro en la EXPLICACIÓN. Pero preferí mostrar aquí todos los ejemplos resueltos con el mismo procedimiento para no confundir. En las EXPLICACIONES están todos los comentarios al respecto.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5





EJEMPLO 6:  (No se cumple la Condición de existencia)







x2 - 1 - x2 - 2x = 3x - 1

-2x - 3x = -1 + 1

-5x = 0

x = 0:(-5)

x = 0

Condición de existencia: x ≠ 0

Conjunto solución: Ø  (vacío) (no tiene solución)

Este es un ejemplo donde la ecuación no tiene solución. Porque la única solución posible sería x = 0. Pero ésta no verifica la ecuación, ya que hace que los denominadores den cero. Es decir: no cumple la Condición de existencia.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6




CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE ECUACIONES RACIONALES


¿Qué son las ecuaciones racionales?

Ecuaciones donde hay alguna x (o la incógnita) en algún denominador. Por ejemplo:



(¿y qué es una ecuación?)

Como en toda el ecuación, el objetivo es encontrar el o los valores de x que verifican la igualdad. Es decir, despejar la x (o la letra que tenga como incógnita) para llegar a un resultado que diga: "x = algo". "Que verifican la igualdad" significa que, si reemplazamos a todas las x del ejercicio con el número que nos dió como solución, y hacemos las operaciones entre los números, tenemos que llegar a una igualdad verdadera (3 = 3 por ejemplo).


¿Cómo se resuelven las ecuaciones racionales?

Hay varias formas de hacerlo, y a veces una u otra conviene más dependiendo de la forma del ejercicio:

1) Buscando el denominador común entre todos los denominadores de las fracciones que aparecen en ambos miembros de la ecuación (¿qué es un miembro?). Y luego de transformados los numeradores (como se hace en la suma de fracciones), los denominadores se pueden cancelar. 

2) Pasando todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 ("igualar a cero"). Luego se busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de fracciones, y se puede cancelar el denominador común.

3) Buscar denominador común entre las fracciones de un miembro, y luego pasar ese denominador común multiplicando al otro miembro (ya que el denominador es algo que está dividiendo, en una ecuación se lo puede pasar multiplicando).

4) Si es una proporción (igualdad de dos fracciones), se puede usar la Propiedad fundamental de las proporciones ("El producto de los medios es igual al producto de los extremos", o "Igualar los productos cruzados"). Pero si no es una proporción, también se puede buscar denominador común en cada término para que lo sea, y luego aplicar la propiedad.

En la EXPLICACIÓN de los EJEMPLOS mostraré cómo se los puede resolver de otra forma, y explicaré más sobre ellas y su fundamento. Y también se verá para qué forma de ejercicio es recomendable cada procedimiento, aunque eso no quiere decir que haya que saberlos a todos. Simplemente es para quienes tengan interés en conocerlos.


¿Qué es la Condición de Existencia (C.E.)?

El denominador de una fracción no puede ser 0 (cero), porque el denominador de una fracción está dividiendo al numerador, y dividir por cero no se puede. Entonces, en una ecuación racional, la solución no puede ser un número que haga que un denominador dé cero. Por ejemplo, en la siguiente ecuación:



(x + 5) debe ser desigual a cero. Y (x + 2) debe ser desigual a cero. Porque son los denominadores de las fracciones. Hallemos que números cumplen eso:

x + 5 = 0
x = -5

x + 2= 0 
x = -2

Eso quiere decir que la solución de esa ecuación no debe ser ni -5 ni -2. Porque esos números harían que un denominador sea igual a cero. Cuando se cancela el denominador y se resuelve la ecuación que quedó en el numerador, puede pasar que la solución sea un número distinto de ésos, por ejemplo x = 1. El 1 sería solución de la ecuación, porque cumple la Condición de Existencia: no es ni el -5, ni el -2. El 1 no va a hacer que ningún denominador dé cero. Probemos reemplazando la x por 1 (así se verifica la solución de una ecuación):







 4

3



Pero a veces, la solución que nos dá la ecuación del numerador, puede ser un número que no cumpla la Condición de existencia, por ejemplo podría habernos dado -5 ó -2. En ese caso, esa solución que encontramos no sirve, no es una solución válida, porque hace que un denominador sea igual a cero, y hay que quitarla del Conjunto solución.
Si una ecuación tiene dos soluciones (en el numerador queda una ecuación cuadrática), puede ser que una de ellas no cumpla la Condición de existencia y la otra sí. O ninguna de las dos la cumpla. O la cumplan las dos. En el EJEMPLO 6 se puede ver que la solución encontrada no cumple con la condición de existencia.


¿Qué es el Conjunto Solución?

Hay ecuaciones que tienen una sola solución, otras que tienen dos, ninguna, etc. El conjunto formado por esas soluciones es el llamado Conjunto solución. Por ejemplo, si hallamos que las soluciones de una ecuación cuadrática (¿qué es una ecuación cuadrática?) son:

x1 = 2
x2 = 3

El Conjunto solución es: {2,3}. Las llaves son porque en la teoría de conjuntos (que ahora ya no se enseña mucho, pero nos hacen usar su lenguaje), se define a los conjuntos poniendo sus elementos entre llaves. {2,3} significa: "el conjunto formado por los elementos 2 y 3".

En este tema se hace incapié en esto del Conjunto solución, porque la Condición de existencia (¿y eso que es?) puede hacer que haya que quitar alguna de las soluciones que se obtienen en un principio. A veces, se obtienen supuestas soluciones que no verifican la ecuación, que no cumplen con la Condición de existencia. Entonces, para aclarar bien cuáles son las soluciones que sí son válidas, se pone como respuesta final el Conjunto solución. Por ejemplo:

1) La Condición de existencia de una ecuación racional es: C.E: x ≠ 3 y x ≠ -1.

2) Resolvemos la ecuación siguiendo el procedimiento, y nos dá que x = -2 ó x = 3.

3) Pero x = 3 no cumple la Condición de existencia, que decía que x ≠ 3. Eso significa que
x = 3 no verifica la ecuación, que si reemplazo en la ecuación la x por el número 3 tendré algún denominador igual a cero (eso porque es una ecuación racional, en otro tipo de ecuaciones puede ser por otra cosa). Entonces, x = 3 no es una solución válida. No es solución de la ecuación, y hay que quitarla del Conjunto solución.

4) Entonces, para aclarar que la única solución válida es x = -2, y que x = 3 no es solución, se responde que el Conjunto solución de la ecuación es {-2}. Es decir, que la solución es una sola.

Otros ejemplos: 

C.E: x ≠ 4

Soluciones posibles: x = 9 ó x = 3

Conjunto solución: {9,3}


C.E: x ≠ 1 y x ≠ 0

Soluciones posibles: x = 0

Conjunto solución: {} ó Ø (Conjunto vacío, no tiene solución)


En el EJEMPLO 6 se puede ver una ecuación que no tiene solución, porque la posible solución no cumple la Condición de existencia.



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