EJEMPLO 2: (Uno de los miembros es un solo número)
(x + 2).(x + 3) + 3 = 1.(x + 3)2
x2 + 3x + 2x + 6 + 3 = x2 + 6x + 9
x2 + 5x - x2 - 6x = 9 -
6 - 3
-x = 0
x = 0
Condición de existencia: x ≠ -3
Conjunto solución: {0}
En el segundo miembro hay sólo un número entero, no una
fracción ni operaciones. En este ejercicio sería más
práctico usar otro de los métodos para resolver estas ecuaciones (ver métodos), y en la
EXPLICACIÓN lo muestro también
resuelto de esa manera.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2
EJEMPLO 3: (La ecuación es una proporción)
(7 + x).(x + 2) = (x + 3).(x + 5)
7x + 14 + x2 + 2x = x2 + 5x + 3x + 15
9x + x2 - x2 - 5x - 3x = 15 - 14
x + x2 - x2 = 1
x = 1
Condición de existencia: x ≠ -5 y x ≠ -2.
Conjunto solución: {1}
Esta ecuación es una proporción: la igualdad de dos fracciones o "razones".
La forma más práctica de resolverla sería usar la Propiedad fundamental de
las proporciones, pero aquí usé en mismo método que vengo usando en todos los
ejemplos (en general se aprende un sólo método y hay que saber aplicarlo en cualquier
ejemplo). Pero en la EXPLICACIÓN lo muestro resuelto usando la mencionada propiedad.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3
EJEMPLO 4: (Uno de los miembros es el número cero)
(x + 5).(x + 2) - (x - 4).(x - 2) = 0
x2 + 2x + 5x + 10 - (x2 - 2x - 4x + 8) = 0
x2 + 7x + 10 - x2 + 2x +
4x - 8 = 0
13x = 0 + 8 - 10
13x = -2
x = -2/13
Condición de existencia: x ≠ 2 y x ≠ -2.
Conjunto solución: {-2/13}
Caso particular en que uno de los dos miembros es cero.
Aquí no hace falta poner el denominador común en el segundo miembro, aunque
podría hacerse. En realidad, si una fracción es igual a cero, es porque su
numerador es igual a cero, sin que importe el denominador (que no puede ser
cero, por supuesto). Usando este concepto es que se cancela el denominador en el
tercer paso.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4
EJEMPLO 5:
3x - 2 + 5x2 - 2x = 5x2
3x + 5x2 - 2x - 5x2= 2
x = 2
Condición de existencia: x ≠ 0
Conjunto solución: {2}
Al igual que en el EJEMPLO 2, sería más práctico
hacerlo de otra manera, que muestro en la EXPLICACIÓN. Pero preferí mostrar
aquí todos los ejemplos resueltos con el mismo procedimiento para no confundir.
En las EXPLICACIONES están todos los comentarios al respecto.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5
EJEMPLO 6: (No se cumple la Condición de existencia)
x2 - 1 - x2 - 2x = 3x -
1
-2x - 3x = -1 + 1
-5x = 0
x = 0:(-5)
x = 0
Condición de existencia: x ≠ 0
Conjunto solución: Ø (vacío) (no tiene solución)
Este es un ejemplo donde la ecuación no tiene
solución. Porque la única solución posible sería x = 0. Pero ésta no
verifica la ecuación, ya que hace que los denominadores den cero. Es decir: no
cumple la Condición de existencia.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE ECUACIONES RACIONALES
¿Qué son las ecuaciones racionales?
Ecuaciones donde hay alguna x (o la incógnita) en algún denominador. Por
ejemplo:
(¿y
qué es una ecuación?)
Como en toda el ecuación, el objetivo es encontrar el o los valores de x que
verifican la igualdad. Es decir, despejar la x (o la letra que tenga como
incógnita) para llegar a un resultado que diga: "x = algo". "Que
verifican la igualdad" significa que, si reemplazamos a todas las x del
ejercicio con el número que nos dió como solución, y hacemos las operaciones
entre los números, tenemos que llegar a una igualdad verdadera (3 = 3 por
ejemplo).
¿Cómo se resuelven las ecuaciones racionales?
Hay varias formas de hacerlo, y a veces una u otra conviene más dependiendo de
la forma del ejercicio:
1) Buscando el denominador común entre todos los denominadores de las
fracciones que aparecen en ambos miembros de la ecuación (¿qué
es un miembro?). Y luego de transformados los
numeradores (como se hace en la suma de fracciones), los denominadores se pueden
cancelar.
2) Pasando todos los términos de un lado, y que del otro quede 0 ("igualar
a cero"). Luego se
busca denominador común, se transforman los numeradores como en la suma de
fracciones, y se puede cancelar el denominador común.
3) Buscar denominador común entre las fracciones de un miembro, y luego pasar
ese denominador común multiplicando al otro miembro (ya que el denominador es
algo que está dividiendo, en una ecuación se lo puede pasar multiplicando).
4) Si es una proporción (igualdad de dos fracciones), se puede usar la
Propiedad fundamental de las proporciones ("El producto de los medios es
igual al producto de los extremos", o "Igualar los productos
cruzados"). Pero si no es una proporción, también se puede buscar
denominador común en cada término para que lo sea, y luego aplicar la
propiedad.
En la EXPLICACIÓN de los EJEMPLOS mostraré cómo se los puede resolver de otra
forma, y explicaré más sobre ellas y su fundamento. Y también se verá para
qué forma de ejercicio es recomendable cada procedimiento, aunque eso no quiere
decir que haya que saberlos a todos. Simplemente es para quienes tengan interés
en conocerlos.
¿Qué es la Condición de Existencia (C.E.)?
El denominador de una fracción no puede ser 0 (cero), porque el denominador de
una fracción está dividiendo al numerador, y dividir por cero no se puede.
Entonces, en una ecuación racional, la solución no puede ser un número que
haga que un denominador dé cero. Por ejemplo, en la siguiente ecuación:
(x + 5) debe ser desigual a cero. Y (x + 2) debe ser desigual a cero. Porque son
los denominadores de las fracciones. Hallemos que números cumplen eso:
x + 5 = 0
x = -5
x + 2= 0
x = -2
Eso quiere decir que la solución de esa ecuación no debe ser ni -5 ni -2.
Porque esos números harían que un denominador sea igual a cero. Cuando se
cancela el denominador y se resuelve la ecuación que quedó en el numerador,
puede pasar que la solución sea un número distinto de ésos, por ejemplo x = 1.
El 1 sería solución de la ecuación, porque cumple la Condición de
Existencia: no es ni el -5, ni el -2. El 1 no va a hacer que ningún denominador
dé cero. Probemos reemplazando la x por 1 (así se verifica la solución de una
ecuación):
4
3
Pero a veces, la solución que nos dá la ecuación del numerador, puede ser un
número que no cumpla la Condición de existencia, por ejemplo podría habernos
dado -5 ó -2. En ese caso, esa solución que encontramos no sirve, no es una
solución válida, porque hace que un denominador sea igual a cero, y hay que
quitarla del Conjunto solución.
Si una ecuación tiene dos soluciones (en el
numerador queda una ecuación cuadrática), puede ser que una de ellas no cumpla
la Condición de existencia y la otra sí. O ninguna de las dos la cumpla. O la
cumplan las dos. En el EJEMPLO 6 se puede ver que la solución
encontrada no cumple con la condición de existencia.
¿Qué es el Conjunto Solución?
Hay ecuaciones que tienen una sola solución, otras que tienen dos, ninguna,
etc. El conjunto formado por esas soluciones es el llamado Conjunto solución.
Por ejemplo, si hallamos que las soluciones de una ecuación cuadrática (¿qué
es una ecuación cuadrática?) son:
x1 = 2
x2 = 3
El Conjunto solución es: {2,3}. Las llaves son porque en la teoría de
conjuntos (que ahora ya no se enseña mucho, pero nos hacen usar su lenguaje),
se define a los conjuntos poniendo sus elementos entre llaves. {2,3}
significa: "el conjunto formado por los elementos 2 y 3".
En este tema se hace incapié en esto del Conjunto solución, porque la
Condición de existencia (¿y
eso que es?) puede hacer que haya que quitar alguna de
las soluciones que se obtienen en un principio. A veces, se obtienen supuestas
soluciones que no verifican la ecuación, que no cumplen con la Condición de
existencia. Entonces, para aclarar bien cuáles son las soluciones que sí son
válidas, se pone como respuesta final el Conjunto solución. Por ejemplo:
1) La Condición de existencia de una ecuación racional es: C.E: x ≠
3 y x ≠ -1.
2) Resolvemos la ecuación siguiendo el procedimiento, y nos dá que x = -2
ó x = 3.
3) Pero x = 3 no cumple la
Condición de existencia, que decía que x ≠ 3. Eso significa que
x = 3 no verifica la ecuación, que si reemplazo en la ecuación la x por el
número 3 tendré algún denominador igual a cero (eso porque es una ecuación
racional, en otro tipo de ecuaciones puede ser por otra cosa). Entonces, x = 3
no es una solución válida. No es solución de la ecuación, y hay que quitarla
del Conjunto solución.
4) Entonces, para aclarar que la única solución válida es x = -2, y que x = 3
no es solución, se responde que el Conjunto solución de la ecuación es {-2}.
Es decir, que la solución es una sola.
Otros ejemplos:
C.E: x ≠ 4
Soluciones posibles: x = 9 ó x = 3
Conjunto solución: {9,3}
C.E: x ≠ 1 y x ≠ 0
Soluciones posibles: x = 0
Conjunto solución: {} ó Ø (Conjunto vacío, no tiene solución)
En el EJEMPLO 6 se puede ver una ecuación que no tiene solución, porque la
posible solución no cumple la Condición de existencia.
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