EXPLICACIÓN:
1) Factorizar y reemplazar:
Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay
que saber aplicar los Casos de Factoreo),
y los reemplazo en la fracción:
x2 - 9 = con el Quinto Caso de
Factoreo (Diferencia de Cuadrados)
x 3
(x + 3).(x - 3)
Entonces, reemplazo en la fracción a x2 - 9 por su equivalente: (x +
3).(x - 3).
La fracción va quedando así:
El denominador (x + 3) no se puede factorizar, por lo tanto lo dejo como está.
2) Simplificar:
Así, me encuentro con que el polinomio (x + 3) está "arriba
y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador").
Entonces puedo tacharlos, cancelarlos, simplificarlos (¿por
qué se puede hacer eso?):
Como los taché, en el próximo paso no los escribo. Es decir, queda solamente
lo que no taché (¿por qué?). Ya
no es necesario poner la línea de fracción, porque taché todo lo que había
en el denominador ("abajo"). Ya no es necesario expresar el resultado
como fracción, porque no hay más denominador (justificación
de esto). El resultado es una expresión
"entera".
x - 3
Y así se simplificó todo lo que se podía en la fracción. Ése es el resultado
final del ejercicio.
3) Condición para simplificar:
Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la
simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos
valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el
valor cero (Ver aquí)
(recordemos que por cero no se puede dividir, y al simplificar estamos
dividiendo).
Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio
simplifiqué solamente el polinomio (x + 3), entonces hago lo siguiente:
x + 3 = 0
x = 0 - 3
x = -3
Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x + 3), toma el valor cero
cuando x = -3. Porque (-3 + 3) = 0 (no entiendo esto).
Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a -3.
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en: SIMPLIFICACION
¿Por qué "desaparece" el denominador de la fracción?
Al simplificar un polinomio, en realidad estamos dividiendo por él (no
entiendo eso), y entonces en su lugar quedaría el número 1. Así:
1
1
Luego, 1.(x - 3) es igual a (x - 3). Queda entonces:
Pero una fracción cuyo denominador es el número "1", equivale a un
número entero, que es justamente el numerador de esa fracción. Sabemos eso en
el caso de las fracciones numéricas:
2/1 = 2
4/1 = 4
etc.
Y podemos pensar que es porque "una fracción representa a una división,
la división de un entero en partes iguales". Entonces, la fracción 2/1
representa a la división "2 dividido 1", la cual dá como resultado
el número "2". Y así con cualquier número entero, ya que al dividir
por "1" a cualquier número, obtengo como resultado ese mismo número.
Por la misma razón, hay que concluir que:
Ya que "x - 3" es una "expresión algebraica" que representa
a un número, en cuanto puede dársele valor a las letras que tiene. Y que
además, como ya dije antes, "el conjunto de los polinomios se comporta
como el conjunto de los Números Enteros". Entonces lo que puede hacerse
con los polinomios es análogo a lo que puede hacerse con los Números Enteros
(operaciones, propiedades...).
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 2:
(5x2 - 5x)/(x - 1) =
5x.(x - 1)/(x - 1)
=
(Factor Común)
5x.(x - 1)/(x - 1) =
5x
(x3 + 8)/(x + 2) =
(x + 2).(x2 - 2x + 4)/(x + 2)
= (Suma
o Resta de Potencias de Igual Grado, o "Ruffini")
(x + 2).(x2 - 2x + 4)/(x + 2) =
x2 - 2x + 4
(2x3y + 6x2y + 4xy)/(x + 1) =
2xy.(x + 1).(x + 2)/(x + 1)
= (Factor
Común y Trinomio de Segundo
Grado)
2xy.(x + 1).(x + 2)/(x + 1) =
2xy.(x + 2)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 3 (Cuando se cancela todo el numerador)
EJEMPLO 4 (Se simplifica un polinomio que está
elevado al cuadrado)
EJEMPLO 5 (Cuando se
simplifica la "x")
EJEMPLO 6 (Cuando quedan números para
simplificar)
EJEMPLO 7 (Cuando los números que quedan
son fracciones)
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12
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