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SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2



 


EJEMPLO 2
: ("Cuando se cancela todo el denominador")











En este ejemplo se simplificó el único polinomio que había en el denominador. El resultado es igual a lo que queda sin tachar en el numerador de la fracción.
Condición para simplificar: x desigual a -3.



EXPLICACIÓN:



1) Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar los Casos de Factoreo), y los reemplazo en la fracción:

 x2 - 9 =      con el Quinto Caso de Factoreo (Diferencia de Cuadrados)
 x     3

(x + 3).(x - 3)

Entonces, reemplazo en la fracción a x2 - 9 por su equivalente: (x + 3).(x - 3).
La fracción va quedando así:



El denominador (x + 3) no se puede factorizar, por lo tanto lo dejo como está.


2) Simplificar:

Así, me encuentro con que el polinomio (x + 3) está "arriba y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador"). Entonces puedo tacharlos, cancelarlos, simplificarlos (¿por qué se puede hacer eso?):



Como los taché, en el próximo paso no los escribo. Es decir, queda solamente lo que no taché (¿por qué?). Ya no es necesario poner la línea de fracción, porque taché todo lo que había en el denominador ("abajo"). Ya no es necesario expresar el resultado como fracción, porque no hay más denominador (justificación de esto). El resultado es una expresión "entera".

x - 3

Y así se simplificó todo lo que se podía en la fracción. Ése es el resultado final del ejercicio. 



3) Condición para simplificar:

Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el valor cero (Ver aquí) (recordemos que por cero no se puede dividir, y al simplificar estamos dividiendo). Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio simplifiqué solamente el polinomio (x + 3), entonces hago lo siguiente:

x + 3 = 0
x = 0 - 3
x = -3

Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x + 3), toma el valor cero cuando x = -3. Porque (-3 + 3) = 0 (no entiendo esto). Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a -3.




CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SIMPLIFICACION 


¿Por qué "desaparece" el denominador de la fracción?

Al simplificar un polinomio, en realidad estamos dividiendo por él (no entiendo eso), y entonces en su lugar quedaría el número 1. Así:

    1

         1



Luego, 1.(x - 3) es igual a (x - 3). Queda entonces:



Pero una fracción cuyo denominador es el número "1", equivale a un número entero, que es justamente el numerador de esa fracción. Sabemos eso en el caso de las fracciones numéricas:

2/1 = 2

4/1 = 4

etc.

Y podemos pensar que es porque "una fracción representa a una división, la división de un entero en partes iguales". Entonces, la fracción 2/1 representa a la división "2 dividido 1", la cual dá como resultado el número "2". Y así con cualquier número entero, ya que al dividir por "1" a cualquier número, obtengo como resultado ese mismo número.

Por la misma razón, hay que concluir que:



Ya que "x - 3" es una "expresión algebraica" que representa a un número, en cuanto puede dársele valor a las letras que tiene. Y que además, como ya dije antes, "el conjunto de los polinomios se comporta como el conjunto de los Números Enteros". Entonces lo que puede hacerse con los polinomios es análogo a lo que puede hacerse con los Números Enteros (operaciones, propiedades...).


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 2:

(5x2 - 5x)/(x - 1) =

5x.(x - 1)/(x - 1) =                      (Factor Común)

5x.(x - 1)/(x - 1) =

5x


(x3 + 8)/(x + 2) =

(x + 2).(x2 - 2x + 4)/(x + 2) =        (Suma o Resta de Potencias de Igual Grado, o "Ruffini")

(x + 2).(x2 - 2x + 4)/(x + 2) =

x2 - 2x + 4


(2x3y + 6x2y + 4xy)/(x + 1) =

2xy.(x + 1).(x + 2)/(x + 1) =         (Factor Común y Trinomio de Segundo Grado)

2xy.(x + 1).(x + 2)/(x + 1) =

2xy.(x + 2)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 3  (Cuando se cancela todo el numerador)
EJEMPLO 4  (Se simplifica un polinomio que está elevado al cuadrado)
EJEMPLO 5  (Cuando se simplifica la "x")
EJEMPLO 6  (Cuando quedan números para simplificar)
EJEMPLO 7  (Cuando los números que quedan son fracciones)
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12


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