SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EXPLICACIÓN:



1) Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar los Casos de Factoreo), y los reemplazo en la fracción:

 x² - 16 =      con el Quinto Caso de Factoreo (Diferencia de Cuadrados)
 x      4

(x + 4).(x - 4)

Entonces, reemplazo en la fracción a x² - 16 por (x + 4).(x - 4).
La fracción va quedando así:



El numerador (x - 4) no se puede factorizar, por lo tanto lo dejo como está.


2) Simplificar:

Así, me encuentro con que el polinomio (x - 4) está "arriba y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador"). Entonces puedo tacharlos, cancelarlos, simplificarlos (¿por qué se puede hacer eso?):

          1

               1

Como los taché, en el próximo paso no los escribo. En este ejemplo estoy tachando todo lo que hay en el numerador (x - 4), con lo cual no quedaría nada. Pero una fracción "no puede no tener nada arriba". Una fracción no puede estar "vacía" en su numerador, no existe una notación así (¿alguna vez vieron algo así?). Entonces, cuando se tacha todo lo que hay en el numerador de una fracción, se debe poner en su lugar al número "1" (ver ejemplo numérico).
Un ejemplo así me lleva a recordar que, cuando "tacho", en realidad estoy dividiendo por el polinomio que tacho; y en el lugar donde estaba ese polinomio que tacho, queda como resultado el número "1", que es el resultado de esa división. Si quieren entender cómo es eso de que "dividido", y por qué dá "1" como resultado, recomiendo leer la explicación que dí acerca de esto en el EJEMPLO 1.

Así, arriba queda un "1", y abajo que la multiplicación de (x + 4).1, que dá por supuesto (x + 4) (el "1" es el neutro de la multiplicación: "multiplicar a cualquier cosa por uno dá como resultado la misma cosa"). El resultado final es entonces:




3) Condición para simplificar:

Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el valor cero (Ver aquí) (recordemos que por cero no se puede dividir, y al simplificar estamos dividiendo). Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio simplifiqué solamente el polinomio (x - 4), entonces hago lo siguiente:

x - 4 = 0
x = 0 + 4
x = 4

Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x - 4), toma el valor cero cuando x = 4. Porque (4 - 4) = 0 (no entiendo esto). Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a 4.

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SIMPLIFICACION 


Comparación de este ejemplo con las fracciones numéricas

En la siguiente fracción numérica:



se puede simplificar por el número 2, ya que el numerador (2) y el denominador (16), pueden ambos dividirse por el número 2. Nos queda así:

 1
                (¿por qué hay que dividir por el mismo número?)
 8

Ya que 2 dividido 2 dá 1, y 16 dividido 2 dá 8. La fracción simplificada queda así:



En el numerador quedó un 1, porque justamente simplifiqué por un número igual al numerador (2). Y es porque al dividir un número por sí mismo, se obtiene como resultado 1. 

Y lo mismo pasa en nuestro EJEMPLO 3 con polinomios:

          1

               1

estamos simplificando al (x - 4) con el (x - 4). Eso proviene de dividir por (x - 4) al numerador y al denominador (ya expliqué en otros apartados la relación que hay entre simplificación y división: Ver aquí). Y como el numerador era (x - 4) y lo estoy dividiendo por (x - 4), obtengo 1 como resultado, ya que estoy dividiendo a algo por sí mismo. Y nos la fracción simplificada nos queda así:




Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 3:


(x + 1)/(x³ + 1) =

(x + 1)/(x + 1).(x² -2x + 1) =       (Suma o Resta de Potencias de Igual Grado, o "Ruffini")

(x + 1)/(x + 1).(x² -2x + 1) =

1/(x² -2x + 1)


(x + 2)/(x² + 3x + 2) =

(x + 2)/(x + 1).(x + 2) =        (Trinomio de Segundo Grado)

(x + 2)/(x + 1).(x + 2) =

1/(x + 1)


(x - 3)/(2x³y - 6x²y) =

(x - 3)/2x²y.(x - 3) =         (Factor Común)

(x - 3)/2x²y.(x - 3) =

1/(2x²y)



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2  (Cuando se cancela todo el denominador)
EJEMPLO 4  (Se simplifica un polinomio que está elevado al cuadrado)
EJEMPLO 5  (Cuando se simplifica la "x")
EJEMPLO 6  (Cuando quedan números para simplificar)
EJEMPLO 7  (Cuando los números que quedan son fracciones)
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12

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