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EXPLICACIÓN:
1) Factorizar y reemplazar:
Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay
que saber aplicar los Casos de Factoreo),
y los reemplazo en la fracción:
Factorizo:
x2 - 6x + 9 =
con el Tercer Caso de
Factoreo (Trinomio Cuadrado Perfecto)
x
-3
2.x.(-3)
-6x
(x - 3)2
Entonces, reemplazo en la fracción a (x2 - 6x + 9) por su
equivalente (x - 4)2.
La fracción va quedando así:
Factorizo:
5x - 15
=
con el Primer Caso de Factoreo (Factor
Común)
5.(x - 3)
Entonces, reemplazo en la fracción a 5x - 15 por su equivalente 5.(x - 3).
La fracción va quedando así:
2) Simplificar:
Así, me encuentro con que el polinomio (x - 3) está "arriba
y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador").
Los puedo simplificar entre sí (En apartados anteriores
ya expliqué cómo y por qué se simplifica de esa manera. Ver: cómo
se simplifica - por qué se tachan ).
Pero en este ejemplo, en el numerador, el polinomio (x - 3) está elevado a
una potencia. (x - 3) está elevado a la potencia 2, o sea "al
cuadrado" (x - 3)2. En un caso así puedo también simplificar,
y lo hago tachando el 2 de la potencia, y tachando el otro (x - 3) que no está
al cuadrado. Seguramente en este punto querrás saber por qué hago eso, para
saber que hacer en casos similares y con otras potencias, pero primero
terminemos el ejercicio y luego vendrá la justificación de lo que hicimos.
Al tachar el "2" del cuadrado y el (x - 3) de abajo, la fracción
queda así:
Luego, no escribo lo que taché, y el resultado final es:
Ahora ¿por qué se tacha el 2? ¿por qué no se tacha el (x - 3) de arriba?.
Bueno, pensemos que (x - 3)2 significa (x - 3) multiplicado dos veces
por sí mismo (concepto de potencia).
Es decir que:
(x - 3)2 = (x - 3).(x - 3)
Entonces lo voy a poner así en la fracción:
Ahora ya no se ve a (x - 3)2 como un cuadrado, sino como dos
polinomios iguales multiplicándose. Como hicimos en los ejemplos anteriores,
podemos "tachar" uno de los (x - 3) de arriba con uno de los de abajo.
Así:
Así, si seguimos como en los anteriores ejemplos, ahora no escribimos lo que
tachamos y llegamos al mismo resultado:
Cuando los polinomios ya factorizados quedan como potencias de un binomio
(potencia 2 si usé el Caso Trinomio Cuadrado Perfecto, potencia 3 si usé el
Caso Cuatrinomio Cubo Perfecto), tendré que recordar cómo simplificar entre
sí en una división de potencias de la misma base (recordemos cómo era
eso). Y si no, podemos "desarmar" la potencia
como hice allí arriba, y así ya no verlo como potencia sino como
multiplicación (¿a ver otros ejemplos aplicando eso?),
y luego tachando "uno con uno".
3) Condición para simplificar:
Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la
simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos
valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el
valor cero (Ver aquí)
(recordemos que por cero no se puede dividir, y al simplificar estamos
dividiendo).
Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio
simplifiqué solamente el polinomio (x - 3), entonces hago lo siguiente:
x - 3 = 0
x = 0 + 3
x = 3
Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x - 3), toma el valor cero
cuando x = 3. Porque (3 - 3) = 0 (no entiendo esto).
Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a 3.
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en: SIMPLIFICACION
Recordemos cómo se simplifican las potencias de la misma base:
Cuando teníamos algo así:
podíamos simplificar las x (misma base). Así:
4
y lo hacíamos porque una fracción es una división entonces se puede aplicar
una de las Propiedades de las Potencias de igual base:
División de Potencias de Igual base:
x7 : x3 = x7-3 = x4 (Se
restan los exponentes)
El "4" del resultado vino de restar a 7 - 3 = 4
Y como expliqué en otro apartado, esta situación se puede interpretar así,
para entender el por qué (ver esa explicación):
Entonces, cuando en una fraccción tenemos dos potencias de la misma base, una
en el numerador y la otra en el denominador, podemos pensar que es una división
de potencias de igual base, y simplificar restando los exponentes. La letra que
tenía mayor exponente queda con el resultado de la resta como exponente, y la
otra letra desaparece. Así:
4
Allí, tacho el 7 y me queda un 4 (resultado de la resta), porque a 7 le resto 3
y me quedan 4. Y como de las tres x de x3 no queda ninguna, tacho x3.
En este otro ejemplo, la letra con mayor exponente está abajo. Entonces hago
así:
porque si desarrollo las potencias y tacho las letras una a una, pasa esto:
quedan letras abajo, y las de arriba se tacharon todas; y eso es porque eran
más las de abajo que las de arriba (¿y
por qué arriba queda un 1?).
Ésas son entonces la dos situaciones que tendré al simplificar potencias de la
misma base en una fracción:
1) Si es mayor el exponente de arriba, resto los exponentes y queda la letra de
arriba con el exponente resultado.
4
El exponente de arriba era mayor (7 es mayor que 4)
2) Si es mayor el exponente de abajo, resto los exponentes (al mayor le resto el
menor), y queda la letra de abajo con el exponente resultado. Como numerador de
la fracción queda el número 1, porque en una fracción debe haber numerador.
El exponente de abajo era mayor (11 es mayor que 5)
Ahora podrán preguntarse: Según la Propiedad de la
división de potencias de igual base, al primer exponente se le resta el
segundo. Siendo así, en el segundo ejemplo me daría un número negativo (-6),
y según la Propiedad no quedaría ninguna fraccción, sino x-6. Bueno, es que
1/x6 es igual a x-6, y si les interesa profundizar en eso lo
explicaré en otro apartado (ver aquí).
¿Qué relación tienen las simplificaciones explicadas arriba con el tema que
estamos tratando? Y, es que al simplificar polinomios, nos podemos
encontrar con polinomios que estén a la potencia 2 o la potencia 3, y tenemos
que simplificarlos uno con otro, de esa manera explicada arriba. Esto sucede en el EJEMPLO 4
que tratamos en esta página.
En general, en
este tema no tendremos polinomios a potencias más grandes, porque al factorizar
con los Casos de Factoreo lo más que podemos obtener son cuadrados (potencia 2)
o cubos (potencia 3) (por los Casos: Trinomio Cuadrado Perfecto y
Cuatrinomio Cubo Perfecto). Pero pondré algunos ejemplos con potencias mayores,
para que se entienda la relación con lo explicado arriba. Por ejemplo:
4
Eso se simplificó como lo hicimos con x7/x3, usando la
Propiedad de la división de las potencias de igual base. La base aquí es (x
- 3). La base de una potencia no necesariamente debe ser una sola letra.
Cualquier expresión algebraica (suma y/o restas de términos con letras) que
esté entre paréntesis elevada a algún número, es la base (¿qué
era la base de una potencia?). Por ejemplo, en:
(x5a + 2x - 7 + x3a)7 la base es
(x5a + 2x - 7 + x3a)
entonces se podrían aplicar la Propiedades de las potencias de igual base en
ella si está multiplicando o dividiendo a otra potencia con la misma base.
Volvemos al ejemplo anterior. Si "desarrollo las potencias", puedo
quizás entender por qué se llega a ese resultado:
quedaron cuatro (x - 3) sin tachar
Es elección de ustedes al momento de resolverlo.: pensar en la Propiedad
(restar los exponentes), o pensar en la potencias "desarrolladas" y
cómo se tachan uno con uno los polinomios para concluir con lo que queda luego de los
tachados.
Y ahora, un ejemplo con la potencia más alta en el denominador:
o de la otra manera:
Ejemplos de las simplificaciones de potencias que veremos en este tema:
Como les decía antes, en este tema las potencias que podremos simplificar casi
siempre serán sólo cuadrados y cubos, y muchas veces la simplificación será
con polinomios que "no están a ninguna potencia" (en realidad, están
a la potencia 1). Estos son casos particulares, y a veces en esos casos es
dónde más cuesta ver la relación con lo anterior. Vamos a los ejemplos:
El polinomio de abajo parece "no estar a ninguna potencia". Pero, hay
que asumir que algo que no está "a ninguna potencia" está en
realidad elevado a la 1 ( ¿por qué?).
(x - 3) es igual a (x - 3)1. Ahora se lo voy a poner en la fracción, así puedo
ver los dos exponentes de las bases en los que usaré la Propiedad:
Según lo que expliqué en el punto anterior (ver
aquí), tengo que
restar los exponentes:
2 - 1 = 1. Me queda (x - 3)1 en el numerador, porque
allí la potencia era mayor que en el denominador. Y el denominador desaparece:
1
Pero si no están habituados a simplificar de esa manera y no quieren aprenderlo, pueden hacerlo
"desarrollando" las potencias y tachando los polinomio "uno a
uno". Así:
Más ejemplos:
a) Cuadrado en el denominador con potencia 1 en el numerador:
Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual base:
O desarrollando las potencias:
b) Cubo en el numerador y potencia 1 en el denominador:
Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual
base:
2
O desarrollando las potencias:
c) Cuadrado en el numerador y cubo en el denominador:
Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual
base:
O desarrollando las potencias:
d) Cubo en el denominador y potencia 1 en el numerador:
Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual
base:
O desarrollando las potencias:
e) Cubo en el numerador y cuadrado en el denominador:
Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual
base:
1
O desarrollando las potencias:
¿Por qué x-6 es igual a 
?
Porque x-6 es igual a (1/x)6 = 16/x6
= 1/x6
Recordemos que cuando teníamos una "potencia negativa" (el exponente
negativo, como en el ejemplo: "-6"), había que "dar vuelta la
fracción". Veámoslo en ejemplos numéricos:
(2/3)-1 = 3/2 (Elevar a la "-1" es
"dar vuelta la fracción")
(3/5)-2 = (5/3)2 = 25/9 (Elevar a la
"-2" es "dar vuelta la fracción y elevarla a la 2")
etc.
Si en vez de una fracción teníamos un número entero, había que recordar que
el número entero "tiene un 1 abajo" (es decir: es igual a una
fracción con denominador 1):
7-1 = (7/1)-1 = 1/7
7-2 = (7/1)-2 = (1/7)2 = 12/72
= 1/49
7-3 = (7/1)-3 = (1/7)3 = 13/73
= 1/343
Recordado esto, hagamos lo mismo con la x:
x-2 = (1/x)2 = 12/x2 = 1/x2
x-6 = (1/x)6 = 16/x6 = 1/x6
Puedo decir entonces que, una letra elevada a una potencia negativa es igual a
una fracción con un "uno" arriba y la letra en el denominador,
elevada a una potencia positiva del mismo valor.
x-n = 1/xn
(Aclaremos que esto vale sólo para valores de x desiguales a cero)
Por eso, cuando estábamos simplificando así:
restando los exponentes por la Propiedad de la división de potencias de igual
base, se presentó esta pregunta, ya que si aplicamos la Propiedad tal como es
tendríamos que hacer esta resta:
5 - 11 = -6
Esa resta dá -6, entonces al aplicar la Propiedad podíamos pensar que tendría
que quedar x-6 y no 1/x6. Pero en este tema
que estamos viendo no se usan las potencias negativas, así que el resultado de
la simplificación debe quedar como una fracción con la potencia en el
denominador. Es decir que, en vez de poner x-6 ponemos 1/x6,
ya que son cosas equivalentes como mostré recién.
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 4:
(x2y + 5xy)/(2x2 + 20x + 50) =
xy.(x + 5)/2.(x + 5)2
= (Factor
Común- Trinomio
Cuadrado Perfecto)
xy.(x + 5)/2.(x + 5)2 =
xy/(x + 5)
(x2 - 2x + 1)/(3x2 - 3) =
(x - 1)2/3.(x + 1).(x - 1) = (Trinomio
Cuadrado Perfecto - Factor Común
- Diferencia de Cuadrados)
(x - 1)2/3.(x + 1).(x - 1) =
(x - 1)/3.(x + 1)
(x3 + 8)/(x2 + 4x + 4) =
(x + 2).(x2 + 2x + 4)/(x + 2)2 = (Sexto
Caso - Trinomio Cuadrado
Perfecto)
(x + 2).(x2 + 2x + 4)/(x + 2)2
=
(x2 + 2x + 4)/(x + 2)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (Cuando se
cancela todo el denominador)
EJEMPLO 3 (Cuando se cancela todo el numerador)
EJEMPLO 5 (Cuando se simplifica la "x")
EJEMPLO 6 (Cuando quedan números para
simplificar)
EJEMPLO 7 (Cuando los números que quedan son
fracciones)
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12
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