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SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4



 


EJEMPLO 4: (Se simplifica un polinomio que está elevado al cuadrado)










Hay un polinomio al cuadrado que se puede simplicar con otro. Tacho el "2" del cuadrado y tacho el otro polinomio.



EXPLICACIÓN:



1) Factorizar y reemplazar:

Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay que saber aplicar los Casos de Factoreo), y los reemplazo en la fracción:

Factorizo:

 x2 - 6x + 9 =          con el Tercer Caso de Factoreo (Trinomio Cuadrado Perfecto)
 x          -3
     2.x.(-3)
       -6x

(x - 3)2

Entonces, reemplazo en la fracción a (x2 - 6x + 9) por su equivalente (x - 4)2.
La fracción va quedando así:



Factorizo:

5x - 15 =                con el Primer Caso de Factoreo (Factor Común)

5.(x - 3)

Entonces, reemplazo en la fracción a 5x - 15 por su equivalente 5.(x - 3).
La fracción va quedando así:




2) Simplificar:

Así, me encuentro con que el polinomio (x - 3) está "arriba y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador"). Los puedo simplificar entre sí (En apartados anteriores ya expliqué cómo y por qué se simplifica de esa manera. Ver: cómo se simplifica - por qué se tachan ).

Pero en este ejemplo, en el numerador, el polinomio (x - 3) está elevado a una potencia. (x - 3) está elevado a la potencia 2, o sea "al cuadrado" (x - 3)2. En un caso así puedo también simplificar, y lo hago tachando el 2 de la potencia, y tachando el otro (x - 3) que no está al cuadrado. Seguramente en este punto querrás saber por qué hago eso, para saber que hacer en casos similares y con otras potencias, pero primero terminemos el ejercicio y luego vendrá la justificación de lo que hicimos.

Al tachar el "2" del cuadrado y el (x - 3) de abajo, la fracción queda así:




Luego, no escribo lo que taché, y el resultado final es:



Ahora ¿por qué se tacha el 2? ¿por qué no se tacha el (x - 3) de arriba?. Bueno, pensemos que (x - 3)2 significa (x - 3) multiplicado dos veces por sí mismo (concepto de potencia). Es decir que:

(x - 3)2 = (x - 3).(x - 3)

Entonces lo voy a poner así en la fracción:



Ahora ya no se ve a (x - 3)2 como un cuadrado, sino como dos polinomios iguales multiplicándose. Como hicimos en los ejemplos anteriores, podemos "tachar" uno de los (x - 3) de arriba con uno de los de abajo. Así:



Así, si seguimos como en los anteriores ejemplos, ahora no escribimos lo que tachamos y llegamos al mismo resultado:



Cuando los polinomios ya factorizados quedan como potencias de un binomio (potencia 2 si usé el Caso Trinomio Cuadrado Perfecto, potencia 3 si usé el Caso Cuatrinomio Cubo Perfecto), tendré que recordar cómo simplificar entre sí en una división de potencias de la misma base (recordemos cómo era eso). Y si no, podemos "desarmar" la potencia como hice allí arriba, y así ya no verlo como potencia sino como multiplicación (¿a ver otros ejemplos aplicando eso?), y luego tachando "uno con uno".


3) Condición para simplificar:

Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el valor cero (Ver aquí) (recordemos que por cero no se puede dividir, y al simplificar estamos dividiendo). Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio simplifiqué solamente el polinomio (x - 3), entonces hago lo siguiente:

x - 3 = 0
x = 0 + 3
x = 3

Eso significa que el polinomio que simplifiqué (x - 3), toma el valor cero cuando x = 3. Porque (3 - 3) = 0 (no entiendo esto). Entonces, la simplificación vale solamente para todo x desigual a 3.





CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SIMPLIFICACION 


Recordemos cómo se simplifican las potencias de la misma base:

Cuando teníamos algo así:



podíamos simplificar las x (misma base). Así:

 4


y lo hacíamos porque una fracción es una división entonces se puede aplicar una de las Propiedades de las Potencias de igual base:

División de Potencias de Igual base:

x7 : x3 = x7-3 = x4          (Se restan los exponentes)

El "4" del resultado vino de restar a 7 - 3 = 4

Y como expliqué en otro apartado, esta situación se puede interpretar así, para entender el por qué (ver esa explicación):



Entonces, cuando en una fraccción tenemos dos potencias de la misma base, una en el numerador y la otra en el denominador, podemos pensar que es una división de potencias de igual base, y simplificar restando los exponentes. La letra que tenía mayor exponente queda con el resultado de la resta como exponente, y la otra letra desaparece. Así:

         4
 

Allí, tacho el 7 y me queda un 4 (resultado de la resta), porque a 7 le resto 3 y me quedan 4. Y como de las tres x de x3 no queda ninguna, tacho x3.

En este otro ejemplo, la letra con mayor exponente está abajo. Entonces hago así:



porque si desarrollo las potencias y tacho las letras una a una, pasa esto:



quedan letras abajo, y las de arriba se tacharon todas; y eso es porque eran más las de abajo que las de arriba (¿y por qué arriba queda un 1?).

Ésas son entonces la dos situaciones que tendré al simplificar potencias de la misma base en una fracción: 

1) Si es mayor el exponente de arriba, resto los exponentes y queda la letra de arriba con el exponente resultado.

          4
           El exponente de arriba era mayor (7 es mayor que 4)


2) Si es mayor el exponente de abajo, resto los exponentes (al mayor le resto el menor), y queda la letra de abajo con el exponente resultado. Como numerador de la fracción queda el número 1, porque en una fracción debe haber numerador.

      El exponente de abajo era mayor (11 es mayor que 5)

Ahora podrán preguntarse: Según la Propiedad de la división de potencias de igual base, al primer exponente se le resta el segundo. Siendo así, en el segundo ejemplo me daría un número negativo (-6), y según la Propiedad no quedaría ninguna fraccción, sino x-6. Bueno, es que 1/x6 es igual a x-6, y si les interesa profundizar en eso lo explicaré en otro apartado (ver aquí).

¿Qué relación tienen las simplificaciones explicadas arriba con el tema que estamos tratando? Y, es que al simplificar polinomios, nos podemos encontrar con polinomios que estén a la potencia 2 o la potencia 3, y tenemos que simplificarlos uno con otro, de esa manera explicada arriba. Esto sucede en el EJEMPLO 4 que tratamos en esta página. 
En general, en este tema no tendremos polinomios a potencias más grandes, porque al factorizar con los Casos de Factoreo lo más que podemos obtener son cuadrados (potencia 2) o cubos (potencia 3) (por los Casos: Trinomio Cuadrado Perfecto y Cuatrinomio Cubo Perfecto). Pero pondré algunos ejemplos con potencias mayores, para que se entienda la relación con lo explicado arriba. Por ejemplo:

                         4


Eso se simplificó como lo hicimos con x7/x3, usando la Propiedad de la división de las potencias de igual base. La base aquí es (x - 3). La base de una potencia no necesariamente debe ser una sola letra. Cualquier expresión algebraica (suma y/o restas de términos con letras) que esté entre paréntesis elevada a algún número, es la base (¿qué era la base de una potencia?). Por ejemplo, en:

(x5a + 2x - 7 + x3a)7     la base es (x5a + 2x - 7 + x3a)

entonces se podrían aplicar la Propiedades de las potencias de igual base en ella si está multiplicando o dividiendo a otra potencia con la misma base.

Volvemos al ejemplo anterior. Si "desarrollo las potencias", puedo quizás entender por qué se llega a ese resultado:

                                   quedaron cuatro (x - 3) sin tachar


Es elección de ustedes al momento de resolverlo.: pensar en la Propiedad (restar los exponentes), o pensar en la potencias "desarrolladas" y cómo se tachan uno con uno los polinomios para concluir con lo que queda luego de los tachados.
Y ahora, un ejemplo con la potencia más alta en el denominador:



o de la otra manera:




Ejemplos de las simplificaciones de potencias que veremos en este tema:

Como les decía antes, en este tema las potencias que podremos simplificar casi siempre serán sólo cuadrados y cubos, y muchas veces la simplificación será con polinomios que "no están a ninguna potencia" (en realidad, están a la potencia 1). Estos son casos particulares, y a veces en esos casos es dónde más cuesta ver la relación con lo anterior. Vamos a los ejemplos:



El polinomio de abajo parece "no estar a ninguna potencia". Pero, hay que asumir que algo que no está "a ninguna potencia" está en realidad elevado a la 1 (
¿por qué?). (x - 3) es igual a (x - 3)1. Ahora se lo voy a poner en la fracción, así puedo ver los dos exponentes de las bases en los que usaré la Propiedad:



Según lo que expliqué en el punto anterior (
ver aquí), tengo que restar los exponentes:
2 - 1 = 1. Me queda (x - 3)1 en el numerador, porque allí la potencia era mayor que en el denominador. Y el denominador desaparece: 
                        
1


Pero si no están habituados a simplificar de esa manera y no quieren aprenderlo, pueden hacerlo "desarrollando" las potencias y tachando los polinomio "uno a uno". Así:



Más ejemplos:

a) Cuadrado en el denominador con potencia 1 en el numerador:



Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual base:



O desarrollando las potencias:



b) Cubo en el numerador y potencia 1 en el denominador:



Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual base:

         
2


O desarrollando las potencias:



c) Cuadrado en el numerador y cubo en el denominador:



Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual base:



O desarrollando las potencias:



d) Cubo en el denominador y potencia 1 en el numerador:



Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual base:



O desarrollando las potencias:



e) Cubo en el numerador y cuadrado en el denominador:



Aplicando la Propiedad de la división de potencias de igual base:

       
1


O desarrollando las potencias:




¿Por qué x-6 es igual a  ? 

Porque x-6 es igual a (1/x)6 = 16/x6 = 1/x6 

Recordemos que cuando teníamos una "potencia negativa" (el exponente negativo, como en el ejemplo: "-6"), había que "dar vuelta la fracción". Veámoslo en ejemplos numéricos:

(2/3)-1 = 3/2     (Elevar a la "-1" es "dar vuelta la fracción")

(3/5)-2 = (5/3)2 = 25/9   (Elevar a la "-2" es "dar vuelta la fracción y elevarla a la 2")

etc.

Si en vez de una fracción teníamos un número entero, había que recordar que el número entero "tiene un 1 abajo" (es decir: es igual a una fracción con denominador 1):

7-1 = (7/1)-1 = 1/7

7-2 = (7/1)-2 = (1/7)2 = 12/72 = 1/49

7-3 = (7/1)-3 = (1/7)3 = 13/73 = 1/343

Recordado esto, hagamos lo mismo con la x:

x-2 = (1/x)2 = 12/x2 = 1/x2

x-6 = (1/x)6 = 16/x6 = 1/x6 

Puedo decir entonces que, una letra elevada a una potencia negativa es igual a una fracción con un "uno" arriba y la letra en el denominador, elevada a una potencia positiva del mismo valor.

x-n = 1/xn

(Aclaremos que esto vale sólo para valores de x desiguales a cero)

Por eso, cuando estábamos simplificando así:

 

restando los exponentes por la Propiedad de la división de potencias de igual base, se presentó esta pregunta, ya que si aplicamos la Propiedad tal como es tendríamos que hacer esta resta:

5 - 11 = -6

Esa resta dá -6, entonces al aplicar la Propiedad podíamos pensar que tendría que quedar x-6 y no 1/x6. Pero en este tema que estamos viendo no se usan las potencias negativas, así que el resultado de la simplificación debe quedar como una fracción con la potencia en el denominador. Es decir que, en vez de poner x-6 ponemos 1/x6, ya que son cosas equivalentes como mostré recién.


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 4:


(x2y + 5xy)/(2x2 + 20x + 50) =

xy.(x + 5)/2.(x + 5)2 =       (Factor Común- Trinomio Cuadrado Perfecto)

xy.(x + 5)/2.(x + 5)2 =

xy/(x + 5)


(x2 - 2x + 1)/(3x2 - 3) =

(x - 1)2/3.(x + 1).(x - 1) =  (Trinomio Cuadrado Perfecto - Factor Común - Diferencia de Cuadrados)

(x - 1)2/3.(x + 1).(x - 1)

(x - 1)/3.(x + 1)


(x3 + 8)/(x2 + 4x + 4) =

(x + 2).(x2 + 2x + 4)/(x + 2)2 =   (Sexto Caso - Trinomio Cuadrado Perfecto)

(x + 2).(x2 + 2x + 4)/(x + 2)2 =

(x2 + 2x + 4)/(x + 2)



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1
EJEMPLO 2  (Cuando se cancela todo el denominador)
EJEMPLO 3  (Cuando se cancela todo el numerador)
EJEMPLO 5  (Cuando se simplifica la "x")
EJEMPLO 6  (Cuando quedan números para simplificar)
EJEMPLO 7  (Cuando los números que quedan son fracciones)
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12


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