EXPLICACIÓN:
1) Factorizar y reemplazar:
Factorizo todos los polinomios que se puedan factorizar (Hay
que saber aplicar los Casos de Factoreo),
y los reemplazo en la fracción:
x3 + 5x = con
el Primer Caso de Factoreo (Factor
Común)
x.(x2 + 5)
Entonces, reemplazo en la fracción a (x3 + 5x) por su
equivalente x.(x2 + 5).
La fracción va quedando así:
x4 + 2x3 = con el Primer Caso de Factoreo (Factor
Común)
x3.(x + 2)
Entonces, reemplazo en la fracción a x4 + 2x3 por su equivalente
x3.(x + 2).
La fracción va quedando así:
2) Simplificar:
Así, me encuentro con que la letra "x" está multiplicando "arriba
y abajo" en la fracción ("en el numerador y en el denominador").
Eso es algo que quizás ya sepan simplificar por haberlo visto en temas
anteriores. En ese caso aplicarán lo que ya saben, que no es otra cosa que la
Propiedad de la división de potencias de igual base. Si no lo saben o quieren
recordarlo, pueden consultar la explicación detallada que dí en el ejemplo
anterior: Ver aquí. En este ejemplo
quedaría así:
(no entiendo esta forma de simplificar)
Pero también podemos relacionarlo ahora con lo que venimos viendo en los
ejemplos anteriores. Para esto, podemos ver a la "x" como un
polinomio. Es un polinomio de un sólo término (monomio). El polinomio
"x" está arriba una sola vez, y abajo "está tres veces"
(elevado a la tercera, multiplicado 3 veces). Si "desarrollo" esa
potencia, me quedaría así:
donde, tal como vimos en los ejemplos anteriores, puedo simplificar la
"x" de arriba con una "x" de abajo, porque es el mismo
polinomio que está multiplicando "arriba y abajo". Así:
3) Condición para simplificar:
Como ya lo expliqué los conceptos generales, la mayoría de las veces la
simplificación no vale para todos los valores de x. Sólo vale para aquellos
valores de x para los cuales el o los polinomios que simplifiqué no tomen el
valor cero (Ver aquí)
(recordemos que por cero no se puede dividir, y al simplificar estamos
dividiendo).
Y algunos profesores pueden pedir que lo aclaremos. En este ejercicio
simplifiqué solamente el polinomio "x". Entonces, lo único que hay
que aclarar es que, para poder simplificar, x debe ser desigual a cero:
Esto es un caso particular respecto a lo que hice en los ejemplos anterior.
Allí, igualaba a cero el/los polinomios que simplificaba, justamente para
calcular cuándo ese polinomio daba cero. Por ejemplo, si el polinomio era (x -
3), planteaba la siguiente ecuación para calcular cuándo ese polinomio era
igual a cero:
x - 3 = 0
x = 0 + 3
x = 3
Así, decía que la condición para simplificar era que x fuera desigual a 3,
porque justamente hay que descartar los valores para los cuales el polinomio que
simplifico vale cero. Pero en este EJEMPLO 5, el polinomio que simplifiqué es
"x". Si planteo la ecuación igualando el polinomio a cero, queda
así:
x = 0
Esa ecuación ya está resuelta, el resultado es x = 0. Por eso es un caso
particular donde no hay ninguna ecuación para resolver porque ya queda resuelta
con sólo plantearla.
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en: SIMPLIFICACION
Cómo se simplificaron las potencias en este EJEMPLO:
En este ejemplo tuvimos que simplificar a x con x3. Olvídemos del
resto de los polinomios y pensemos que estamos simplificando esto:
En el EJEMPLO 4 dí una amplia explicación de cómo simplificar esto y
por qué. Pueden consultarla aquí: Ver
explicación. Allí decía que se podía simplificar usando la Propiedad de
la división de potencias de igual base, o "desarrollando las
potencias" según el concepto de lo que es una potencia. Ahora lo voy a
explicar de las dos formas para este ejemplo en particular:
1) Usando la Propiedad de la división de potencias de igual base:
La x en el numerador está a la potencia 1, porque no tiene exponente (x1
es lo mismo que x). Si le pongo el 1 al ejercicio, se vería así:
Ahora resto los exponentes:
3 - 1 = 2
Como el exponente de la x de abajo es mayor, quedan dos x en el denominador, y
ninguna en el numerador. Así:
Ahora pueden preguntarse por qué hice 3 - 1 = 2, en lugar
de 1 - 3 = -2, que es lo que en realidad dice que haga la Propiedad de las
potencias de igual base. Eso es porque en este tema no se usan las potencias
negativas. Observen que el resultado es el mismo con el signo contrario (2 y
-2). En vez de usar potencias negativas, en este tema se usan potencia positivas
en el denominador, lo cual es equivalente, ya que:
x-2 = 1/x2
Eso está explicado con más detalle en el apartado que antes le comenté: Ver
aquí
Y en el siguiente punto se puede entender mejor el por qué quedan las x abajo y
la de arriba desaparece.
2) "Desarrollando las potencias":
Usando el concepto de
potencia, puedo decir que:
x3 = x.x.x
x1 = x
Entonces los pongo así en el ejercicio, y tacho de a "uno con uno":
Como se ve, se tacha una x de arriba con una de abajo. Y no queda arriba ninguna
x, mientras que abajo quedan dos x. De ahí que el resultado después de
simplificar es:
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 5:
(x3y + 5x2y)/(x4 + 2x) =
x2y.(x + 5)/x.(x3 + 2)= (Factor
Común)
x2y.(x + 5)/x.(x3 + 2)=
xy.(x + 5)/(x3 + 2)=
(x4 - 2x3 + x2)/(3x5 + 3x4) =
x2.(x - 1)2/3x4.(x + 1) =
(Trinomio
Cuadrado Perfecto - Factor Común)
2
x2.(x - 1)2/3x4.(x +
1) =
(x - 1)2/3x2.(x + 1) =
(x5 + 8x6)/(4x3 - x2) =
x5.(1 + 8x)/x2.(4x - 1) =
(Factor
Común)
3
x5.(1 + 8x)/x2.(4x
- 1) =
x3.(1 + 8x)/(4x - 1) =
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2 (Cuando se
cancela todo el denominador)
EJEMPLO 3 (Cuando se cancela todo el numerador)
EJEMPLO 4 (Se simplifica un polinomio que está
elevado al cuadrado)
EJEMPLO 6 (Cuando quedan números para
simplificar)
EJEMPLO 7 (Cuando los números que quedan son
fracciones)
EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12
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