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SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1:





Simplificar




Hay que factorizar todo lo que se pueda, tanto en el numerador como en el denominador. En el numerador apliqué el 5to Caso (Diferencia de Cuadrados); y en el denominador, el 1er Caso (Factor Común).
Luego, se simplifican los polinomios que "aparezcan repetidos", siempre tachando "uno de arriba con uno de abajo", como en este caso el binomio (x - 2).
Condición para simplificar: x desigual a 2.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2: ("Cuando se cancela todo el denominador")

Expresiones Algebraicas Racionales


En este ejemplo se simplificó el único polinomio que había en el denominador. El resultado es lo que queda sin tachar en el numerador de la fracción.
Condición para simplificar: x desigual a -3.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3: ("Cuando se cancela todo el numerador")

Expresiones Algebraicas Racionales


En este ejemplo se simplificó el único polinomio que había en el numerador. Entonces la fracción queda con un "1" como numerador.
Condición para simplificar: x desigual a -4.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Se simplifica un polinomio que está elevado al cuadrado)




Hay un polinomio al cuadrado que se puede simplicar con otro. Tacho el "2" del cuadrado y tacho el otro polinomio.
Condición para simplificar: x desigual a 3.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5: ("Cuando se simplifica la x")




Después de factorizar, queda la "x" (o cualquier letra del polinomio) multiplicando tanto en el numerador como en el denominador, entonces se puede simplicar.
Condición para simplificar: x desigual a 0.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

 


EJEMPLO 6: ("Cuando quedan números para simplicar")



Después de factorizar, quedan números multiplicando tanto en el numerador como en el denominador. El "6" y el "8" se pueden simplificar dividiendo por 2 (como en las fracciones numéricas).
Condición para simplificar: ninguna.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6





EJEMPLO 7: ("Cuando los números que quedan son fracciones")



Después de factorizar, quedan fracciones multiplicando en el numerador y en el denominador. Se puede dividir la fracción de "arriba" con la de "abajo" para que quede una sola fracción en el resultado. Aquí dividí 1/2 : 1/3 = 3/2.
Condición para simplificar: ninguna.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7




MÁS EJEMPLOS:


EJEMPLO 8:




EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8




EJEMPLO 9:




EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9




EJEMPLO 10:




EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10




EJEMPLO 11
:




EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11





EJEMPLO 12:




EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


¿Cómo se simplifica en una fracción "con polinomios arriba y abajo"?

Como ya comenté antes, el conjunto de los polinomios "se comporta" igual que el conjunto de los Números Enteros (Numeros Enteros). Eso quiere decir que, "lo mismo que se hace con los números enteros se puede hacer con los polinomios". Veamos entonces lo que ya se sabe que podemos hacer con los números enteros para comparar ambos temas. Supongamos que tenemos la siguiente fracción con números enteros multiplicando en el numerador y en el denominador: 



Sabemos que se pueden simplificar los números que se encuentren repetidos, "uno de arriba con uno de abajo" (no lo sabía ¿por qué se puede?). Así, tachamos "el 2 con el 2", "el 3 con el 3" y el "5 con el 5":

Simplificar 7             (Lo único que no se simplificó fue el 7) (¿por qué quedó 7?)

Con los polinomios vamos a hacer lo mismo: Si "arriba y abajo" de la fracción hay un mismo polinomio multiplicando o solo (¿por qué cuando está solo?: ver EJEMPLO 3), puedo simplificarlos. Es decir: cancelar uno con uno. 

Nota: esta simplificación de polinomios no vale para cualquier valor de la x (o la letra que tenga el polinomio). Esta simplificación no vale para valores de x que hagan que el polinomio dé cero, al igual que no valdría simplificar el número cero en una fracción numérica (¿por qué?). En Nivel Medio puede que no te pidan que aclares esto, pero antes de simplificar habría que aclararlo (cómo sería eso). 

Por ejemplo:



Aquí puedo "tachar" el (x + 1) que está multiplicando "arriba" con el (x + 1) que está multiplicando "abajo". Lo mismo con el (x - 5), y también con el (x2 + 1). Así:



Luego, solo quedan sin tachar el (x - 3) arriba y el (x + 5). El resultado es:  



Por supuesto que los resultados pueden tener distinta forma, dependiendo si se simplifica todo arriba, todo abajo, si hay números multiplicando también, etc. Todas esas posibilidades se contemplan en los diferentes EJEMPLOS que expuse arriba, y son explicadas en cada apartado.

Puede observarse también que en este ejemplo todos los polinomios que puse son "binomios", y casi todos de grado 1. Elegí ese tipo de polinomios porque es con lo que nos vamos a encontrar la mayoría de las veces en este tema. Pero también se pueden simplificar polinomios de grado más alto, o "letras solas" que estén multiplicando (monomios), o números que queden multiplicando (polinomios de grado 0). Esas variantes se ven y explican en los EJEMPLOS que dí arriba en esta página.

Ahora bien: los ejercicios que nos dan para resolver no tienen en un principio binomios repetidos multiplicando arriba y abajo como en el ejemplo anterior. Son más bien así:



Pero si factorizamos los polinomios en el numerador y en el denominador (los que se puedan factorizar), llegaremos a la forma que tiene el ejemplo que dí: 



Ahora sí tenemos "polinomios multiplicando arriba y abajo". Y es porque al factorizar estamos transformando en multiplicación. Y justamente, el que queden multiplicando, es lo que nos permite simplificar los "polinomios repetidos", tal como decía que hacemos con los número enteros:



Hagamos una analogía entre esta situación (que los polinomios no están factorizados en un principio) y la simplificación de las fracciones numéricas. Si tenemos que simplificar una fracción con números compuestos (¿qué son los números compuestos?), los podemos descomponer (¡que también se le llama "factorizar"!), y luego "tachar" los factores repetidos.  Por ejemplo:

fracciones

Descomponer los números en sus factores primos sería lo análogo a factorizar los polinomios:

24 = 2.2.2.3

20 = 2.2.5

La fracción entonces queda así:



Donde podemos simplificar así:



Como en general no hacemos esto para simplificar fracciones numéricas (sino que dividimos el numerador y el denominador por un mismo número), la analogía puede no resultarnos tan evidente.

Los polinomios que factorizamos ¡también son compuestos!, y los estamos factorizando "en sus factores primos", tal como a los números enteros (¿primos y compuestos?).


¿Por qué en una fracción se puede simplificar "algo que está multiplicando arriba con algo que está multiplicando abajo?

Ya hablé de esto en otro apartado (Ver aquí), pero allí expliqué más que nada el "cómo" simplificar. Ahora voy a tratar de justificar un poco más a fondo el "por qué". Usemos el siguiente ejemplo 



Esa fracción equivale a la siguiente operación:

(2.3.5):(2.7)

ya que la línea de fracción representa división. En (2.3.5), estamos multiplicando por 2 a (3.5) (la multiplicación "es asociativa"). Luego, al dividir por (2.7), estamos dividiendo por 2 y dividiendo por 7, ya que hay una propiedad de los números enteros que dice algo así:

a:(b.c) = (a:b):c

Es decir, dividir por una multiplicación es lo mismo que dividir por uno de los factores, y al resultado dividirlo por el otro. No voy a ahondar en esto:  simplemente lo estoy usando para justificar que en el ejemplo estoy multiplicando por 2 y luego dividiendo por 2. Y si multiplico y divido por el mismo número (distinto de cero, aclaremos), es lo mismo que si no hiciera nada: como son operaciones opuestas, vuelvo al resultado inicial. Si vuelvo al resultado inicial, entonces puedo no hacer nada, y por eso puedo "tachar" los dos números y no hacer nada. Eso es simplificar. Tachar algo porque no hace falta hacer nada con ello, ya que si lo hiciera no cambiaría el resultado.

En el caso particular en que haya un solo número arriba o abajo, podemos pensar igual que ese número está multiplicando: está multiplicando a "1". Por ejemplo:




¿Por qué es 7 el resultado primer ejemplo que dí?

En el ejemplo que dí arriba:



simplifiqué todo menos el 7. Al simplificar, cada número que tacho queda en 1. Porque recordemos que otra forma de pensar la simplificación (la más común) es: "divido el de arriba y el de abajo por el mismo número". Si a 2 lo divido por 2 me queda 1. Lo mismo con el 2 de abajo. Y lo mismo con los dos "3" y los dos "5". Se suele poner así:

1 1   1

 1 1 1

Entonces, arriba me queda: 1.1.7.1 = 7. Y abajo, 1.1.1 = 1. El resultado es la fracción 7/1, que es igual a 7.


¿Se puede simplificar cualquier número?

No, el cero no se puede simplificar de esta manera. En un principio, por el hecho de que "no se puede dividir por cero" o "la división por cero no está permitida", nunca en una fracción numérica voy a encontrar un ejercicio así:



Porque es esa fracción el cero está dividiendo, y eso no se puede. En cuanto a simplificar, habíamos dicho que se podía porque "multiplicar por un número y luego dividir por ese mismo número es lo mismo que no hacer nada, ya que el resultado no cambia". Eso pasa con todos los números, con excepción del cero. Porque por cero no se puede dividir. Por ejemplo:

(7.2):2 = 7

Puedo simplificar el 2 con el 2, porque el resultado es 7; entonces no hace falta multiplicar por 2 y dividir por 2, porque es lo mismo no hacerlo: dá el mismo resultado si no haga nada. En cambio:

(7.0):0 no es igual a 7. Ni siquiera se puede calcular, porque no se puede dividir por cero. Entonces no puedo simplificar el cero; ya que si simplifico, el resultado sería 7; pero eso no es verdad: no dá 7 esa cuenta, esa cuenta no se puede hacer: no tiene resultado.

Por eso, cuando simplifico polinomios, tengo que aclarar que la simplificación vale solamente para todos los valores de la x (o la letra del polinomio) que no hagan que el polinomio dé cero. A ver con un ejemplo si se entiende mejor: 



Allí se pueden simplificar los (x - 3), siempre que (x - 3) no valga cero. Por lo que dijimos antes. ¿Y cuándo (x - 3) vale cero?: cuando la x vale 3. Porque (3 - 3) = 0. Entonces, debo aclarar que vale simplificación para todo valor de x desigual a 3:




En el ejemplo que dí más arriba:



La simplificación vale para todo x desigual a -1 y 5:



¿Por qué?

a) Porque puedo simplificar a los (x + 1) siempre que no valgan cero. Y (x + 1) vale cero cuando x = -1. Ya que (-1 + 1) = 0. ¿Y si no me doy cuenta "mentalmente" cuál es el valor de x que hace que dé cero? Entonces planteo la siguiente ecuación y la resuelvo:

x + 1 = 0
x = 0 - 1 
x = -1

Así puedo encontrar el número si no me doy cuenta.

b) Y puedo simplificar a los (x - 5) siempre que no valgan cero. Y (x - 5) vale cero cuando
x = 5. Ya que (5 - 5) = 0. Para averiguar ese número podría haber hecho:

x - 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5

c) Y puedo simplificar a los (x2 + 1) siempre que no valgan cero. Pero resulta que (x2 + 1) no puede valer cero: no hay ningún valor de x que haga que (x2 + 1) sea igual a cero. Y para averiguar eso podría haber hecho:

x2 + 1 = 0
x2 = 0 - 1
x2 = -1

Y esa ecuación no tiene solución, ya que no hay ningún número (dentro de los conjuntos con los que trabajamos: Enteros, Racionales, Reales) que elevado al cuadrado dé como resultado -1. (O "no se puede calcular la raíz cuadrada de -1". La calculadora dá "error")
Entonces, el (x2 + 1) lo podemos simplificar siempre, para cualquier valor de x. No hace falta aclarar nada respecto a esa simplificación: vale para todos los valores de x.

De los puntos a), b) y c), concluimos que la simplificación de los polinomios repetidos en ese ejercicio vale para todo número distinto de -1 y 5.


Propiedad asociativa de la multiplicación:

(a.b).c = a.(b.c) = a.b.c

Es decir, si tengo el producto de varios factores, puedo "asociarlos" de distinta manera, es decir: hacer las multiplicaciones en distinto orden, pero el resultado al que llego es el mismo. Por ejemplo:

(2.3).5 = 6.5 = 30

2.(3.5) = 2.15 = 30

2.3.5 = 30



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