EJEMPLO 6: ("Cuando quedan números para simplicar")
Después de factorizar, quedan números multiplicando tanto en el
numerador como en el denominador. El "6" y el "8" se pueden
simplificar dividiendo por 2 (como en las fracciones numéricas).
Condición para simplificar: ninguna.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 7: ("Cuando los números que quedan son fracciones")
Después de factorizar, quedan fracciones multiplicando en el
numerador y en el denominador. Se puede dividir la fracción de
"arriba" con la de "abajo" para que quede una sola fracción
en el resultado. Aquí dividí 1/2 : 1/3 = 3/2.
Condición para simplificar: ninguna.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7
MÁS EJEMPLOS:
EJEMPLO 8:
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8
EJEMPLO 9:
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9
EJEMPLO 10:
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10
EJEMPLO 11:
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11
EJEMPLO 12:
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
¿Cómo se simplifica en una fracción "con polinomios arriba y
abajo"?
Como ya comenté antes, el conjunto de los polinomios "se comporta"
igual que el conjunto de los Números Enteros ().
Eso quiere decir que, "lo mismo que se hace con los números enteros se
puede hacer con los polinomios". Veamos entonces lo que ya se sabe que
podemos hacer con los números enteros para comparar ambos temas. Supongamos que tenemos
la siguiente fracción con números enteros multiplicando en el numerador y en
el denominador:
Sabemos que se pueden simplificar los números que se encuentren repetidos,
"uno de arriba con uno de abajo" (no lo sabía
¿por qué se puede?). Así, tachamos "el 2 con el
2", "el 3 con el 3" y el "5 con el 5":
7 (Lo
único que no se simplificó fue el 7) (¿por qué quedó
7?)
Con los polinomios vamos a hacer lo mismo: Si "arriba y abajo" de la fracción
hay un mismo polinomio multiplicando o solo (¿por qué
cuando está solo?: ver EJEMPLO 3), puedo
simplificarlos. Es decir: cancelar uno con uno.
Nota: esta
simplificación de polinomios no vale para cualquier valor de la x (o la letra
que tenga el polinomio). Esta simplificación no vale para valores de x que
hagan que el polinomio dé cero, al igual que no valdría simplificar el número
cero en una fracción numérica (¿por
qué?). En Nivel Medio puede que no te pidan que
aclares esto, pero antes de simplificar habría que aclararlo (cómo sería eso).
Por ejemplo:
Aquí puedo "tachar" el (x + 1) que está multiplicando
"arriba" con el (x + 1) que está multiplicando "abajo". Lo
mismo con el (x - 5), y también con el (x2 + 1). Así:
Luego, solo quedan sin tachar el (x - 3) arriba y el (x + 5). El resultado
es:
Por supuesto que los resultados pueden tener distinta forma, dependiendo si se
simplifica todo arriba, todo abajo, si hay números multiplicando también, etc.
Todas esas posibilidades se contemplan en los diferentes EJEMPLOS que expuse
arriba, y son explicadas en cada apartado.
Puede observarse también que en este ejemplo todos los polinomios que puse son
"binomios", y casi todos de grado 1. Elegí ese tipo de polinomios
porque es con lo que nos vamos a encontrar la mayoría de las veces en este
tema. Pero también se pueden simplificar polinomios de grado más alto, o
"letras solas" que estén multiplicando (monomios), o números que
queden multiplicando (polinomios de grado 0). Esas variantes se ven y explican
en los EJEMPLOS que dí arriba en esta página.
Ahora bien: los ejercicios que nos dan para resolver no tienen en un principio binomios repetidos multiplicando arriba y abajo como en el ejemplo
anterior. Son más bien así:
Pero si factorizamos los polinomios en el numerador y en el denominador (los que
se puedan factorizar), llegaremos a la forma que tiene el ejemplo que dí:
Ahora sí tenemos "polinomios multiplicando arriba y abajo". Y es
porque al factorizar estamos transformando en multiplicación. Y justamente, el
que queden multiplicando, es lo que nos permite simplificar los "polinomios
repetidos", tal como decía que hacemos con los número enteros:
Hagamos una analogía entre esta situación (que los polinomios no están
factorizados en un principio) y la simplificación de las fracciones numéricas.
Si tenemos que simplificar una fracción con números compuestos (¿qué
son los números compuestos?), los podemos descomponer
(¡que también se le llama "factorizar"!), y luego "tachar"
los factores repetidos. Por ejemplo:
Descomponer los números en sus factores primos sería lo análogo a factorizar
los polinomios:
24 = 2.2.2.3
20 = 2.2.5
La fracción entonces queda así:
Donde podemos simplificar así:
Como en general no hacemos esto para simplificar fracciones numéricas (sino que
dividimos el numerador y el denominador por un mismo número), la analogía
puede no resultarnos tan evidente.
Los polinomios que factorizamos ¡también son compuestos!, y los estamos
factorizando "en sus factores primos", tal como a los números enteros
(¿primos y
compuestos?).
¿Por qué en una fracción se puede simplificar "algo que está
multiplicando arriba con algo que está multiplicando abajo?
Ya hablé de esto en otro apartado (Ver
aquí), pero allí expliqué más que nada el
"cómo" simplificar. Ahora voy a tratar de justificar un poco más a
fondo el "por qué". Usemos el siguiente ejemplo
Esa fracción equivale a la siguiente operación:
(2.3.5):(2.7)
ya que la línea de fracción representa división. En (2.3.5), estamos multiplicando
por 2 a (3.5) (la multiplicación "es asociativa"). Luego, al
dividir por (2.7), estamos dividiendo por 2 y dividiendo por
7, ya que hay una
propiedad de los números enteros que dice algo
así:
a:(b.c) = (a:b):c
Es decir, dividir por una multiplicación es lo mismo que dividir por uno de los
factores, y al resultado dividirlo por el otro. No voy a ahondar en esto:
simplemente lo estoy usando para justificar que en el ejemplo estoy
multiplicando por 2 y luego dividiendo por 2. Y si multiplico y divido por el
mismo número (distinto de cero, aclaremos), es lo mismo que si no hiciera nada:
como son operaciones opuestas, vuelvo al resultado inicial. Si vuelvo al
resultado inicial, entonces puedo no hacer nada, y por eso puedo
"tachar" los dos números y no hacer nada. Eso es simplificar. Tachar
algo porque no hace falta hacer nada con ello, ya que si lo hiciera no
cambiaría el resultado.
En el caso particular en que haya un solo número arriba o abajo, podemos pensar
igual que ese número está multiplicando: está multiplicando a "1".
Por ejemplo:
¿Por qué es 7 el resultado primer ejemplo que dí?
En el ejemplo que dí arriba:
simplifiqué todo menos el 7. Al simplificar, cada número que tacho queda en 1.
Porque recordemos que otra forma de pensar la simplificación (la más común)
es: "divido el de arriba y el de abajo por el mismo número". Si a 2
lo divido por 2 me queda 1. Lo mismo con el 2 de abajo. Y lo mismo con los dos
"3" y los dos "5". Se suele poner así:
1 1 1
1 1 1
Entonces, arriba me queda: 1.1.7.1 = 7. Y abajo, 1.1.1 = 1. El resultado es la
fracción 7/1, que es igual a 7.
¿Se puede simplificar cualquier número?
No, el cero no se puede simplificar de esta manera. En un principio, por el
hecho de que "no se puede dividir por cero" o "la división por
cero no está permitida", nunca en una fracción numérica voy a encontrar
un ejercicio así:
Porque es esa fracción el cero está dividiendo, y eso no se puede. En cuanto a
simplificar, habíamos dicho que se podía porque "multiplicar por un
número y luego dividir por ese mismo número es lo mismo que no hacer nada, ya
que el resultado no cambia". Eso pasa con todos los números, con
excepción del cero. Porque por cero no se puede dividir. Por ejemplo:
(7.2):2 = 7
Puedo simplificar el 2 con el 2, porque el resultado es 7; entonces no hace
falta multiplicar por 2 y dividir por 2, porque es lo mismo no hacerlo: dá el
mismo resultado si no haga nada. En cambio:
(7.0):0 no es igual a 7. Ni siquiera se puede calcular, porque no se puede
dividir por cero. Entonces no puedo simplificar el cero; ya que si simplifico,
el resultado sería 7; pero eso no es verdad: no dá 7 esa cuenta, esa cuenta no
se puede hacer: no tiene resultado.
Por eso, cuando simplifico polinomios, tengo que aclarar que la simplificación
vale solamente para todos los valores de la x (o la letra del polinomio) que no
hagan que el polinomio dé cero. A ver con un ejemplo si se entiende
mejor:
Allí se pueden simplificar los (x - 3), siempre que (x - 3) no valga cero. Por
lo que dijimos antes. ¿Y cuándo (x - 3) vale cero?: cuando la x vale 3. Porque
(3 - 3) = 0. Entonces, debo aclarar que vale simplificación para todo valor de
x desigual a 3:
En el ejemplo que dí más arriba:
La simplificación vale para todo x desigual a -1 y 5:
¿Por qué?
a) Porque puedo simplificar a los (x + 1) siempre que no valgan cero. Y (x + 1)
vale cero cuando x = -1. Ya que (-1 + 1) = 0. ¿Y si no me doy cuenta
"mentalmente" cuál es el valor de x que hace que dé cero? Entonces
planteo la siguiente ecuación y la resuelvo:
x + 1 = 0
x = 0 - 1
x = -1
Así puedo encontrar el número si no me doy cuenta.
b) Y puedo simplificar a los (x - 5) siempre que no valgan cero. Y (x - 5) vale
cero cuando
x = 5. Ya que (5 - 5) = 0. Para averiguar ese número podría haber hecho:
x - 5 = 0
x = 0 + 5
x = 5
c) Y puedo simplificar a los (x2 + 1) siempre que no valgan cero.
Pero resulta que (x2 + 1) no puede valer cero: no hay ningún valor
de x que haga que (x2 + 1) sea igual a cero. Y para averiguar eso
podría haber hecho:
x2 + 1 = 0
x2 = 0 - 1
x2 = -1
Y esa ecuación no tiene solución, ya que no hay ningún número (dentro de los
conjuntos con los que trabajamos: Enteros, Racionales, Reales) que elevado al
cuadrado dé como resultado -1. (O "no se puede calcular la raíz cuadrada
de -1". La calculadora dá "error")
Entonces, el (x2 + 1) lo podemos simplificar siempre, para cualquier
valor de x. No hace falta aclarar nada respecto a esa simplificación: vale para
todos los valores de x.
De los puntos a), b) y c), concluimos que la simplificación de los polinomios
repetidos en ese ejercicio vale para todo número distinto de -1 y 5.
Propiedad asociativa de la multiplicación:
(a.b).c = a.(b.c) = a.b.c
Es decir, si tengo el producto de varios factores, puedo "asociarlos"
de distinta manera, es decir: hacer las multiplicaciones en distinto orden, pero
el resultado al que llego es el mismo. Por ejemplo:
(2.3).5 = 6.5 = 30
2.(3.5) = 2.15 = 30
2.3.5 = 30
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