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SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1



 

EJEMPLO 1: (Suma de fracciones con igual denominador)












  3


Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores; tal como se hace con la suma de fracciones numéricas de igual denominador.
Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2.



EXPLICACIÓN:


1) El denominador:

Al igual que en la suma de fracciones numéricas, si los dos denominadores son iguales, el denominador común es ese denominador, y en el numerador se hace la suma de los numeradores. Por ejemplo:

     Ejemplo con fracciones numéricas de igual denominador

Ahora hacemos lo mismo con las fracciones polinómicas:

   

2) Sumar los numeradores:

Los paréntesis los puse para que se vea cada numerador y resaltar el hecho de que los estoy sumando. Pero en esa suma no son necesarios los paréntesis, y pueden no ponerse. En el siguiente paso los quito:

          (Reglas para quitar los paréntesis)

Ahora tengo que sumar entre sí los términos de igual grado, es decir: las x con las x, y los números "sueltos" entre ellos. Porque recordemos que así se suman los polinomios. Y esto es una suma de dos polinomios: (x + 3) más (2x + 3). Si prefieren pueden hacer la suma poniéndolos en columnas, como cuando aprendieron el tema "operaciones con polinomios". Yo lo voy a hacer "juntando" los términos de igual grado, como también habrán hecho alguna vez en las ecuaciones:

x + 2x = 3x            (¿por qué?)

3 + 3 = 6

En el numerador entonces queda: 3x + 6




3) Si se puede, aplicar algún Caso de Factoreo en el numerador:

3x + 6 = 3.(x + 2)          (Primer Caso de Factoreo: Factor Común)

Luego, reemplazo el numerador por su equivalente factorizado:




4) Simplificar si se puede:

Así, me encuentro con que quedó el polinomio (x + 2) arriba y abajo. Lo puedo simplificar, como ya se vió en el tema: Simplificación de Expresiones Algebraicas Racionales.



(Si les interesa, en la parte de conceptos se puede ver una comparación de esta situación con lo que pasa en las fracciones numéricas
cuando se pueden simplificar: Ver aquí)

El resultado es entonces lo que no quedó tachado:

3                  (¿por qué?)

Y si lo piden, aclaremos para qué valores de x vale esa simplificación:

x + 2 ≠ 0
x ≠ -2            (¿por qué?)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA Y RESTA 


¿Por qué x + 2x es igual a 3x?

x + 2x es igual a 1x + 2x, ya que x es igual a 1x. Luego:

1x + 2x = 3x

Porque cuando sumamos dos términos que tienen la misma letra (parte literal), hay que "sumar los números que tienen delante", es decir: sumar los coeficientes, que en este caso son el 1 y el 2 (¿qué son los coeficientes?).

1 + 2 = 3

Así es como se suman los polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos que tienen igual parte literal (¿qué es la parte literal?). Y si el polinomio tiene un solo tipo de letra (por ejemplo la "x"), podemos decir que hay que "sumar los términos de igual grado (igual exponente): las x2 con las x2, las x con las x, las x3 con las x3, los números solos (término independiente) con los números solos, etc.
Recordemos con algunos ejemplos como se hacía la suma de polinomios:

P = -6x2 + 2x4 + 2x - 3 + 4x3
Q = 3x4 + 7 - 2x3 + 4x2 + 3x

Y queremos sumar: P + Q =

Pueden que hayan visto dos formas de hacerlo: 1) Poniéndolos uno sobre otro, como en la suma de números de varias cifras, y ubicando en columnas los términos del mismo grado, porque es entre ellos que van a sumarse. 2) Poniéndolos en línea con un signo "+" entre ellos, y luego agrupando los términos de igual grado. Un ejemplo de la segunda forma de sumarlos se puede ver aquí:
SUMA

1)         2x4 + 4x3 - 6x2 + 2x - 3
        +  3x4 - 2x3 + 4x2 + 3x + 7
           --------------------------
            5x4 + 2x3 - 2x2  + 5x + 4

En cada columnas se ponen los términos de igual grado. Y la cuenta se hace entre los coeficientes:

Para la x4 -------> 2 + 3 = 5
Para la x3 -------> 4 + (-2) = 4 - 2 = 2
Para la x2 -------> -6 + 4 = -2
Para la x --------> 2 + 3 = 5
Para los "números solos" -------> -3 + 7 = 4

Volvamos a nuestro EJEMPLO 1. Allí estamos sumando: 

P = x + 3
Q = 2x + 3

1x + 3
2x + 3
--------
3x + 6


¿Y por qué se suman así los polinomios? ¿Por qué se "juntan" los términos de igual grado (o igual parte literal)? ¿Por qué se suman los coeficientes pero la letra queda con el mismo exponente?

Supongamos que tenemos estos dos términos en una suma de polinomios:

3x2 + 5x2

Las tres preguntas anteriores se resumirían en una: ¿por qué eso dá 8x2? Y voy a tratar de responder eso:

3x2 significa 3.x2, es decir: " 3 por x2 ". Ya que el punto puede obviarse, pero cuando no hay nada entre un número y una letra, o entre dos letras, hay que asumir que hay un punto y por lo tanto es una multiplicación.

Si 3x2 es una multiplicación, significa " tres veces x2 ", ya que ése el concepto de multiplicación: multiplicar por 3 es sumar 3 veces. Es decir que el término 3x2 representa a la x2 sumada 3 veces:

3x2 = x2 + x2 + x2

Y con el mismo razonamiento, llego a la conclusión de que:

5x2 = x2 + x2 + x2 + x2 + x2

Entonces, sumar a 3x2 + 5x2 no es otra cosa que sumar lo siguiente:

x2 + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 + x2 =

Eso es sumar 8 veces x2. Lo cual, según el concepto de multiplicación, es multiplicar a 8 por x2:

8.x2

Que si no le ponemos el punto, es:

8x2

Se suman los coeficientes 3 y 5, para obtener 8, porque podemos pensar que los coeficientes nos dicen "las cantidades que tenemos de x2 en cada término". La cantidad de x2 que tenemos será la suma de las cantidades en cada término con x2. Si tengo "3 veces x2" y "5 veces x2", puedo decir que tengo "8 veces x2". Y eso puede escribirse como una multiplicación: la multiplicación de 8.x2, que también puede escribirse así: 8x2, y es un término de un polinomio.

Y no se pueden sumar términos de distinto grado por la misma razón. Si tengo:

3x2 + 5x7

Eso significa que tengo:

x2 + x2 + x2 + x7 + x7 + x7 + x7 + x7 =

Eso no puede decirse que sea 8 veces la misma cosa. No es ni 8 veces x2, ni 8 veces x7, y menos 8 veces x con otro exponente. Entonces no sirve sumar los coeficientes, porque no voy a poder escribirlo como una multiplicación de un coeficiente por la letra elevada a un exponente. No puedo escribirlo como un solo término de un polinomio. No puedo escribirlo más que como: 3x2 + 5x7.


¿Cómo llegué de al resultado final: 3?

En el apartado de Simplificación de Expresiones Algebraicas Racionales ya expliqué cómo simplificar este tipo de expresiones. Pero aquí puedo decir que, al cancelar los (x + 2), quedan números "1" en su lugar. Así:

       1

      1

 


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Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2 (Resta de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 3 (Con denominadores distintos)
EJEMPLO 4 (Con denominadores factorizables)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7 (Con tres términos)
EJEMPLO 8 (Uno de los factores es un número)
EJEMPLO 9 (Con números como factores)
EJEMPLO 10 (Uno de los factores es la x)
EJEMPLO 11 (La x como factor, a distintas potencias)
EJEMPLO 12 (Uno de los términos es un entero)
EJEMPLO 13 (En los denominadores hay un solo término)
EJEMPLO 14 (Se puede simplificar antes de sumar las fracciones)



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