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SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2



 

EJEMPLO 2: (Resta de fracciones con igual denominador)










Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se restan los numeradores. Si el segundo numerador tiene más de un término, hay que ponerlo entre paréntesis para restarlo, ya que es signo menos afectará a todos los términos.



EXPLICACIÓN:


1) El denominador:

Al igual que en la resta de fracciones numéricas, si los dos denominadores son iguales, el denominador común es ese denominador, y en el numerador se hace la resta de los numeradores. Por ejemplo:

     Ejemplo con fracciones numéricas de igual denominador

Ahora hacemos lo mismo con las fracciones polinómicas:

 




2) Restar los numeradores:

Al segundo polinomio hay que ponerlo entre paréntesis, porque tiene más de un término. Cuando hay que restar algo que tiene más de un término, hay que poner esa expresión entre paréntesis, porque el signo menos de la resta "afecta a todos los términos" (¿por qué? no entiendo).
En el próximo paso quito los paréntesis, recordando la regla para quitar paréntesis: "si el paréntesis está precedido de un signo menos, hay que cambiar los signos de todos los términos que estaban dentro de él". 

      (Reglas para quitar los paréntesis)

Así, el término 2x cambió a -2x, y el término -4 cambió a +4. Éso es lo más importante a recordar en la resta de polinomios. Por lo demás, es como una suma de polinomios.
En este tema es más práctico restar así, pero si saben restar polinomios poniéndolos en columnas, como se aprende en el tema "operaciones con polinomios", podrían hacer la resta en un lugar aparte y luego poner el resultado en el numerador (¿cómo se restaba de esa forma?).

Ahora tengo que "juntar" entre sí los términos de igual grado, es decir: las x con las x, y los números "sueltos" entre ellos, como también habrán hecho alguna vez en las ecuaciones:

5x - 2x = 3x                  (suma de polinomios)

1 + 4 = 5

En el numerador entonces queda: 3x + 5, al que no se le puede aplicar ningún caso de factoreo, porque es un polinomio de grado 1 y no hay factor común. El resultado final es entonces:




CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA Y RESTA 


¿Por qué tengo que poner entre paréntesis a 2x - 4, el polinomio que resto?

Como corresponde en una resta de fracciones de igual denominador, al numerador de la primera fracción (5x + 1), le tengo que restar el numerador de la segunda fracción: 2x - 4. Pero como 2x - 4 tiene más de un término (dos términos), lo tengo que poner entre paréntesis. Eso es es consecuencia de lo que significa restar polinomios: se restan entre sí los términos de igual grado, como en la suma se sumaban los términos de igual grado
(suma de polinomios). Seguramente en el tema "operaciones con polinomios" habrán
  aprendido a restarlos de esta manera:

     5x + 1
-    2x - 4
-----------
     3x + 5

Las cuentas que hubo que hacer para llegar a ese resultados, son las siguientes restas entre coeficientes:

5 - 2 = 3

1 - (-4) = 1 + 4 = 5

O quizás, lo que es muy frecuente, en vez de restar coeficiente a coeficiente, hayan aprendido a "transformar la resta en suma y cambiar todos los signos del polinomio de abajo". Con lo cual hubieran hecho así:

      5x + 1
+   -2x + 4
-----------
     3x + 5

Las cuentas serían entonces:

5 + (-2) = 5 - 2 = 3

1 + (+4) = 1 + 4 = 5

(con ambos métodos se llega al mismo resultado obviamente)

En ambos caso se ve como el número 4 termina siendo positivo. Pero en este tema de las expresiones racionales tratamos de restar los polinomios ahí arriba del numerador ("en línea"), sin ponerlos en columnas, porque es más práctico. Si al segundo polinomio no le hubiera puesto el paréntesis, en el numerador hubiera quedado lo siguiente:

5x + 1 - 2x - 4 =

Y en el siguiente paso tendría que "juntar" los términos de igual grado de la siguiente manera:

5x - 2x = 3x

1 - 4 = -3       Y así no dá lo mismo

Si no se coloca un paréntesis para abarcar los dos términos del segundo polinomio (2x - 4), corresponde interpretar que el signo menos de la resta afecta solamente al primer término. Entonces no se estaría restando a todo el polinomio (2x - 4), sino que solamente se estaría restando al primer término 2x. Y se puede observar que dá diferente a la resta que hice antes con el método de encolumnar los polinomios. Por eso, cuando restamos "en línea" dos polinomios y el segundo tiene más de un término, hay que poner al polinomio segundo entre paréntesis, para que se interprete que se está restando todo el polinomio, es decir, cada uno de sus términos. Al quitar luego el paréntesis, se cambiará los signos de todos los términos, siguiendo la "regla para quitar paréntesis" cuando está precedido de un signo menos:

- (2x - 4) = -2x + 4

- (-7x2 + 3x - 1) = 7x2 - 3x + 1

- (x - 2) = -x + 2

etc.

Se puede observar que esto viene a ser lo mismo que se hace en el segundo procedimiento para restar en columnas que mostré ahí arriba, cuando se transforma a la resta en suma y "se cambian todos los signos del segundo polinomio". Si no lo aprendieron antes en el tema "operaciones con polinomios", es mejor acostumbrarse desde ahora a restar "en línea" los polinomios. Ejemplos:

Resta de polinomios "en línea":

(3x2 - 5x4 + 2x - 6) - (- 2x2 - x3 + 3x4 + 5x) =

3x2 - 5x4 + 2x - 6 + 2x2 + x3 - 3x4 - 5x =  (
quito paréntesis/cambio los signos del 2do polinomio)

3x2 + 2x2 - 5x4 - 3x4 + 2x - 5x - 6 =      (
este paso no es obligatorio)

5x2 - 8x4 - 3x - 6   (hago la cuenta entre los coeficientes de los términos del mismo grado)


(-x - 5 + 2x3 - 4x2) - (3x2 - 1 - 8x + x3) = 

-x - 5 + 2x3 - 4x2 - 3x2 + 1 + 8x - x3

-x + 8x - 5 + 1 + 2x3 - x3 - 4x2 - 3x2 =

7x - 4 + x3 - 7x2


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Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 3 (Con denominadores distintos)
EJEMPLO 4 (Con denominadores factorizables)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7 (Con tres términos)
EJEMPLO 8 (Uno de los factores es un número)
EJEMPLO 9 (Con números como factores)
EJEMPLO 10 (Uno de los factores es la x)
EJEMPLO 11 (La x como factor, a distintas potencias)
EJEMPLO 12 (Uno de los términos es un entero)
EJEMPLO 13 (En los denominadores hay un solo término)
EJEMPLO 14 (Se puede simplificar antes de sumar las fracciones)




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