SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EXPLICACIÓN:


1) El denominador común:

Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes, hay que buscar un denominador común. En este ejemplo, el denominador común es el producto (multiplicación) de ambos denominadores. 

Denominador común = (x + 2).(x - 3)

Ésto no será así siempre en todos los ejercicios. Pero en general, los primeros ejemplos que nos enseñan son como éste. En los siguientes Ejemplos -desde el 4 en adelante- se verá cómo es la regla para calcular el denominador común en cualquier caso. Pero por ahora sigamos con este ejemplo, y si quieren ahora una amplia explicación sobre por qué en este ejemplo es así, pueden verlo en: CONCEPTOS-DUDAS-COMENTARIOS.







2) El numerador:

Una vez determinado el denominador común, hay que seguir el mismo procedimiento que para la suma de fracciones numéricas: Se divide a éste por los denominadores de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente (ver ejemplo con fracciones numéricas):

Primera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2), es igual a (x - 3) (¿cómo se hacen esas divisiones?)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

x.(x - 3)

Me va quedando:



Segunda fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3), es igual a (x + 2)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

2.(x + 2)

Me queda:



(Quizás puedan darse cuenta aquí de que, cuando divido (x + 2).(x - 3) por uno de los binomios, el resultado es el otro binomio. Y sino, consultar en el enlace: DIVISIONES)


3) Operar en el numerador para llegar a la mínima expresión:

Lo más complicado ya pasó. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí fuera de la fracción, para que se distinga mejor lo que estoy haciendo en este paso:

x.(x - 3) + 2.(x + 2) = x² - 3x + 2x + 4 = x² - x + 4    (suma de términos)

Los siguientes pasos son, entonces:





Si se pudiese, habría que factorizar al polinomio x² - x + 4, porque quizás uno de sus factores podría simplificarse con algún factor del denominador, como sucedió en el EJEMPLO 1. Pero ya comprobé que x² - x + 4 no puede factorizarse por ningún Caso de Factoreo (hay que probar con el Tercero: Trinomio Cuadrado Perfecto, y el Séptimo: Trinomio de Segundo Grado ("cuadrática") o Gauss)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA Y RESTA 


Sobre el denominador común en este ejemplo y otros similares:

Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores comunes son distintos entre sí, hay que buscar un denominador común. Ese denominador común debe ser el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores. No expliqué nada todavía acerca de cómo hallar el m.c.m. entre polinomios, ni siquiera entre números, porque en este ejemplo en particular, como en muchos otros que nos dan al empezar el tema, el denominador común es simplemente el producto (multiplicación) de los dos denominadores:

denominador común = (x + 2).(x - 3)         (¿y por qué?)

Porque en este ejemplo, el m.c.m. es (x + 2).(x - 3).

Por supuesto, no siempre el m.c.m. entre dos polinomios es el producto de ambos. Pero en este ejemplo sí lo es, y hay muchos ejemplos en donde pasa esto. Y no hace falta todavía saber la regla del m.c.m. para darse cuenta de eso. Lo que hay que aclarar es cómo debe ser un ejercicio para que el denominador común pueda calcularse de esa forma. Y la respuesta es ésta:

"Cuando los denominadores de las fracciones son polinomios distintos y que no se pueden factorizar, el denominador común es el producto de ambos denominadores."

Cualquier ejercicio que cumpla eso, puede resolverse como el EJEMPLO 3 de esta página. Por ejemplo, los siguientes ejercicios (para que vayan identificando su forma):

      Denominador común: (x +1).(x + 5)

        Denominador común: (x - 2).(x + 8)

             Denominador común: (x - 1).x

Qué tienen en común estos tres ejemplos: los dos denominadores de las fracciones son distintos y no se pueden factorizar. Hay muchos ejercicios con esa forma. Y no hace falta conocer y aplicar la regla del m.c.m. para resolverlos, porque el denominador común es el producto de ambos denominadores. Por eso, el primer ejemplo que estoy explicando de suma de fracciones de distinto denominador (el EJEMPLO 3, el desarrollado en esta página), es un ejemplo de este tipo. Porque quizás al profesor le parece que son los ejemplos más fáciles para empezar, y por eso siempre nos enseñan éstos primero. Pero lo difícil es explicar que no siempre el denominador se calcula así, cuando en general el alumno quiere desde el primer ejemplo tener una regla que le sirva para todo.  En el EJEMPLO 4 es donde explicaré la regla para calcular el m.c.m., que se usará para todos los ejemplos siguientes.


Comparación con la suma de fracciones numéricas:

Podemos comparar este EJEMPLO 3 y los otros mostrados en el punto anterior, con una suma de fracciones numéricas como la siguiente, situación a la que estarán uds. más acostumbrados:



Al ver esa suma de fracciones, seguramente deducen ustedes con facilidad que el denominador común es 6, número que viene de multiplicar los dos denominadores: 2 por 3. Podrían ustedes ni siquiera saber que 6 es el mínimo común múltiplo entre 2 y 3, ni aplicar la regla para encontrarlo. Pero se dan cuenta de, entre 2 y 3, hay que poner 6. Porque 6 se puede dividir por 2, y se puede dividir por 3. Y es el número más chico con el que se puede hacer eso (porque también servirían el 12, 18, 24, etc.). Y es necesario que se pueda dividir al 6 por 2 y por 3, porque es lo que hay que hacer en el siguiente paso: dividir.
Pero saben también que no siempre el denominador común se saca así, porque hay otros ejemplos donde si multiplican los denominadores, queda un número grande y que hay otro más chico que es más correcto poner como denominador. Un ejemplo donde pasa eso:



Aquí, el denominador común no es la multiplicación de los denominadores: 4.6 = 24. Sino que es 12, el número más chico que se puede dividir por 4 y por 6. Se podría hacer la suma usando al 24 como denominador común (se llega al mismo resultado); pero cuando nos enseñan sumas de fracciones nos piden que usemos el menor número (porque sino después quedan todos números más grandes que hay que simplificar). Nos dicen que hay que usar el 12, porque el 12 es el mínimo común múltiplo (m.c.m) entre 4 y 6, el cual se puede deducir pensando un poco o usando la regla para hallarlo (que todavía no expliqué).

El ejemplo de fracciones numéricas con denominadores 2 y 3, se puede comparar con el EJEMPLO 3 de fracciones polinómicas explicado en esta página. Porque en el EJEMPLO 3 decía que los denominadores "no se podían factorizar", y por eso su m.c.m. era el producto de ambos denominadores. Con los números 2 y 3 pasa lo mismo: podríamos decir que son números que "no se pueden factorizar", en realidad, que no tienen ningún factor diferente a ellos mismos en su descomposición (números primos):

2 | 2        3 | 3
1 | 1        1 | 1

En cambio el 4 y el 6 son números que "se pueden factorizar", es decir: aparecen factores diferentes a ellos mismos en su descomposición:

4 | 2        6 | 2
2 | 2        3 | 3
1 | 1        1 | 1

Cuando los dos denominadores de las fracciones son números primos, se puede asegurar que su m.c.m. es el producto de ambos números. Para sumar dos fracciones cuyos denominadores son primos los dos, puedo usar como denominador común el producto de ambos números, porque éste producto es con seguridad el m.c.m. entre los números.
Pero cuando al menos uno de los denominadores no es primo, ya no se puede asegurar eso. Esto tiene que ver con lo que es el m.c.m. y la regla para calcularlo, que aquí no veremos todavía. Entonces, no sería conveniente usar como denominador común el producto de ambos, porque no es el m.c.m., hay un denominador común menor que podría usarse.
Y eso es lo que pasa con la suma de dos fracciones con polinomios. Si los dos denominadores no se pueden factorizar por ningún Caso (también se les llama "primos"), podemos usar su producto como denominador común, porque es con seguridad el m.c.m. Pero si al menos uno de los dos polinomios puede factorizarse, ya no es conveniente usar el producto de ambos, porque no se tiene la seguridad de que sea el m.c.m. Y sobretodo trabajando con polinomios, usar un denominador que no sea el m.c.m. complicaría mucho más los cálculos. En el EJEMPLO 4 ya pasa eso y allí explicaré la regla para hallar el m.c.m.


Divisiones entre el denominador común y los denominadores de cada fracción:

En este tema tendremos que dividir entre sí polinomios que están factorizados. En este EJEMPLO 3 tuvimos que hacer dos divisiones:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2)

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3)

Para entender cómo se encuentra el resultado de estas divisiones, podemos pensar en el tema simplificación. Porque dividir polinomios en este tema ¡es como simplicarlos! Y a simplificar ya aprendimos en la parte de SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES FRACCIONARIAS

Sí, porque:

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2) es lo mismo que:

     ya que la línea de fracción significa división

Y como ya aprendimos que en una fracción se simplifica cancelando los polinomios iguales ("uno de arriba con uno de abajo"), ya sabemos que podemos hacer esto:

    (x - 3)

Como se cancelaron los polinomios iguales (x + 2), quedó como resultado el que era diferente: (x - 3). Y así va a pasar siempre en ejemplos como éste: se cancelan los iguales y queda el diferente como resultado de la división. Por eso, no hace falta plantearlo como fracción y cancelar (aunque pueden hacerlo al principio si quieren hasta estar más seguros), porque se puede deducir ("cancelando mentalmente") cuál o cuáles polinomios se cancelan y cuál es el resultado. Por ejemplo, en la otra división:

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3)

Puedo pensar así: "Los (x - 3) se van a cancelar, entonces el resultado es (x + 2)".

Otros ejemplos:

(x + 5).(x - 1) dividido (x - 1) es igual a (x - 5)

(x + 5).(x - 1) dividido (x + 5) es igual a (x - 1)

Caso particular:

(x + 3).(x + 5) dividido (x + 3).(x + 5) es igual a 1. Porque si cancelo todo, queda un 1. O también puedo pensar que: "Si divido algo por sí mismo, el resultado es 1. Por ejemplo:
8:8 = 1; 14:14 = 1; a:a = 1; (x + 4):(x + 4) = 1, etc.

Me pueden preguntar: ¿Y si tengo que dividir polinomios que no se cancelan, por ejemplo:
(x + 5).(x - 1) dividido (x + 2)?. Bueno, pero eso en este tema no va a pasar nunca. Porque en este tema estamos dividiendo el denominador común, que es el m.c.m. entre los denominadores, y siempre se me va a cancelar algo de esa manera.
Y esto no es necesario saberlo, pero eso pasa porque el denominador común tiene que tener los "factores" de ambos denominadores. Justamente, el m.c.m se forma con los factores de ambos denominadores, como ya se verá cuando explique cómo se calcula el m.c.m. Entonces siempre se van a poder cancelar los denominadores.

De todos modos, en todos los ejemplos resueltos (desde este EJEMPLO 3 en adelante) mostraré siempre cómo se hacen estas divisiones, para que no queden dudas.


Observación: El denominador común "incluye" a todos los denominadores. Divisibilidad entre polinomios factorizados.

Sin aprender todavía la regla para hallar el Mínimo Común Múltiplo, podemos ir observando lo siguiente, lo cual tiene que ver con lo que es el Mínimo Común Múltiplo y cómo se obtiene: Los denominadores de cada fracción están "incluidos" en el denominador común.

En nuestro EJEMPLO 3, por ser un ejemplo muy sencillo, se puede ver muy claramente:

Denominador común: (x + 2).(x - 3)

Denominador 1: (x + 2)
Denominador 2: (x - 3)

En los siguientes ejemplos iré mostrando cómo, siempre, en el m.c.m. están "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque, el denominador común, tiene que ser divisible por todos los denominadores.


Más ejercicios resueltos, similares al EJEMPLO 3:

   












Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 2 (Resta de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 4 (Con denominadores factorizables)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7 (Con tres términos)
EJEMPLO 8 (Uno de los factores es un número)
EJEMPLO 9 (Con números como factores)
EJEMPLO 10 (Uno de los factores es la x)
EJEMPLO 11 (La x como factor, a distintas potencias)
EJEMPLO 12 (Uno de los términos es un entero)
EJEMPLO 13 (En los denominadores hay un solo término)
EJEMPLO 14 (Se puede simplificar antes de sumar las fracciones)

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