EXPLICACIÓN:


1) Factorizar todos los denominadores que se puedan:



Primera fracción:

x² - 4 = (x + 2).(x - 2)       con el Quinto Caso: Diferencia de Cuadrados

Segunda fracción:

x + 2  no se puede factorizar (¿por qué?) Queda así.

Ahora reemplazo el denominador que factoricé (x² - 4), por su equivalente factorizado (x + 2).(x - 2). Va quedando así:




2) El denominador común: Mínimo Común Múltiplo

Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes, hay que buscar un denominador común. Que debe ser el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) entre los denominadores de todas las fracciones. Una explicación completa de cómo calcular el m.c.m. entre polinomios, con variedad de ejemplos se puede ver aquí: M.C.M. ENTRE POLINOMIOS. Aquí explicaré lo que creo necesario para que se entienda en este ejemplo en particular:

Denominadores:

(x + 2).(x - 2)

(x + 2)


m.c.m: (x + 2).(x - 2) 


Porque, el m.c.m. es: "Es el producto (multiplicación) de todos los factores (¿qué era un "factor"?), con el mayor exponente con el que aparecen". 
Entonces, en el m.c.m. hay que poner, multiplicando, a todos los factores de los denominadores. Si un factor está en dos denominadores, hay que poner uno sólo, no ponerlo dos veces (eso pasó aquí con el (x + 2)). Y si alguno hubiera quedado a alguna potencia (cuadrado, cubo), habría que ponerlo a la potencia más alta con la que aparece. Por ejemplo, si en algún denominador hubiera quedado (x + 2)², en el m.c.m. habría que ponerlo elevado al cuadrado.
(más sobre esto en M.C.M.)

Entonces, bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, el m.c.m. que encontré, y en el siguiente paso determinaré lo que queda en el numerador:



(Más sobre cómo determiné el m.c.m. en este ejemplo)


3) El numerador:

Una vez determinado el denominador común, hay que seguir el mismo procedimiento que para la suma de fracciones numéricas: Se divide a éste por los denominadores de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente (ver ejemplo con fracciones numéricas):

Pongamos aquí los dos pasos anteriores, para que se vean los numeradores que teníamos y el denominador común:





Primera fracción:

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA Y RESTA 


El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre polinomios

Recordemos primero con un ejemplo cómo se calculaba el mínimo común múltiplo entre números enteros:

Hallar el mínimo común múltiplo entre 120 y 36.

Primero había que "factorizar" o descomponer a los números. Así:

120 | 2         36 | 2
 60 | 2         18 | 2
 30 | 2          9 | 3
 15 | 3          3 | 3
  5 | 5          1 | 1
  1 | 1

120 = 2³.3.5                 36 = 2².3²

Luego, en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores" (los números que aparecen en la columna derecha de la factorización), y había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen, ya sea en un número o en el otro.
Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos números primos (¿primos?)

m.c.m. = 2³.3².5

Porque:

- Los factores que aparecieron en las descomposiciones son: 2, 3 y 5. Y hay que ponerlos todos.

- El 2: El exponente más alto con que aparece el 2 es 3. "Porque en el 120, el 2 está tres veces en la columna de la derecha", en cambio en el 36 el 2 está menos veces (dos veces). En el m.c.m, entonces, al 2 hay que ponerlo elevado a la tercera: 2³ (Aclaremos, por la dudas, que el exponente que se le pone a un factor es igual a la cantidad de veces que aparece en la descomposición de un número, en la columna de la derecha).

- El 3: El exponente más alto con que aparece el 3 es 2. Porque en el 36, el 3 está dos veces", en cambio en el 120 el 3 está una sola vez. Por eso en el m.c.m. al 3 hay que ponerlo elevado a la potencia segunda: 3².  

- El 5: El 5 aparece solamente en la descomposición del 120. Y aparece una sola vez, lo que significa que su exponente es 1, aunque no se lo pone: 5 = 5¹. En el m.c.m hay que poner el 5. Y el 5 hay que ponerlo así, sin exponente (o con el 1), porque obviamente es el mayor exponente con que aparece (porque otro 5 no hay).

Más sobre el MCM entre números en: CALCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)

Bueno, para hallar el mínimo común múltiplo entre polinomios, hay que hacer exactamente lo mismo. Con la diferencia de que los que se "factorizan" ya no son números, sino polinomios. Y los factores son también polinomios. Ya no se factoriza dividiendo, con las 2 columnas, sino que para factorizar los polinomios se usan los Casos de Factoreo. Los siguientes son ejemplos donde se busca el m.c.m. Por practicidad, para algunos de esos ejemplos uso polinomios que ya están factorizados.

EJEMPLO 1:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios (ya factorizados):

(x + 2)³.(x + 5).(x - 1)

(x + 2)².(x + 5)²

m.c.m.= (x + 2)³.(x + 5)².(x - 1)

Porque:

- Los factores que se pueden ver en la factorización de los polinomios son los siguientes:
(x + 2), (x - 1) y (x + 5). Eso es todo, otros diferentes no hay.

- El mayor exponente con que aparece el (x + 2) es 3, porque en el primer polinomio está (x + 2)³, y en el segundo polinomio está (x + 2)². Obviamente, el exponente 3 es mayor que el exponente 2. Por eso, en el m.c.m. hay que poner (x + 2)³.

- El mayor exponente con que aparece (x + 5) es 2. Porque en el primer polinomio está
(x + 5) sin exponente (quiere decir que exponente es 1), y en el segundo polinomio está
(x + 5)². Como 2 es mayor exponente que 1, en el m.c.m. hay que poner (x + 5)².

- El factor (x - 1) aparece solamente en el primer polinomio, y está así sin elevar (significa que el exponente es 1). Así que no queda otra que ponerlo así, ya que no hay otro exponente con cual compararlo: es el mayor. Por eso en el m.c.m. hay que poner (x - 1).

Recordemos que en el m.c.m. había que poner, multiplicando, a cada uno de los distintos "factores", y había que ponerlos con el mayor exponente con el que aparecen en los polinomios. Habría que aclarar que los factores tienen que ser todos polinomios primos, es decir, polinomios que ya no tienen factorización posible.

EJEMPLO 2:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios:

x² - 9 =
x² + 6x + 9 =
x³ + 9x² + 27x + 27 =

1) Hay que factorizar:

x² - 9 = (x + 3).(x - 3)                      (Diferencia de Cuadrados)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²                       (Trinomio Cuadrado Perfecto)
x³ + 9x² + 27x + 27 = (x + 3)³            (Cuatrinomio Cubo Perfecto)

2) Los polinomios, ya factorizados, son:

(x + 3).(x - 3)
(x + 3)²
(x + 3)³

3) Los factores: (x + 3) y (x - 3) son los únicos factores que hay en estos polinomios.

4) (x + 3): El mayor exponente con que aparece es 3, en el tercer polinomio. En el m.c.m hay que poner entonces (x + 3)³
    (x - 3): Aparece solamente en el primer polinomio, y está sin elevar (o sea que el exponente es 1). No está con otro exponente mayor, así que en el m.c.m. hay que poner entonces (x - 3).

5) m.c.m.: (x + 3)³.(x - 3)

EJEMPLO 3:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios:

x⁵ - x³ =
x⁴ + 2x³ + x² =

1) Factorizo:

x⁵ - x³ = x³.(x² - 1) = x³.(x + 1).(x - 1)           (Factor común y Diferencia de cuadrados)
x⁴ + 2x³ + x² = x².(x² + 2x + 1) = x².(x + 1)²    (Factor común y Trinomio cuadrado perfecto)

2) Los polinomios, ya totalmente factorizados, son:

x³.(x + 1).(x - 1)
x².(x + 1)²

3) Los factores que aparecen son: x, (x + 1) y (x - 1)

4) x: El mayor exponente con que aparece es 3, en el primer polinomio. En el m.c.m. hay que poner entonces x³.
   (x + 1): El mayor exponente con que aparece es 2, en el segundo polinomio. En el m.c.m hay que poner entonces (x + 1)².
   (x - 1): Aparece solamente en el primer polinomio y está sin elevar (o sea que el exponente es 1). No aparece con otro exponente mayor, así que en el m.c.m. hay que poner entonces (x - 1).

5) m.c.m.: x³.(x + 1)².(x - 1)

EJEMPLO 4:

Hallar el m.c.m entre los siguientes polinomios:

2x² - 8x + 8
4x + 8
3x + 6

1) Factorizo:

2x² - 8x + 8 = 2.(x² - 4x + 4) = 2.(x - 2)²          (Factor común y Trinomio cuadrado perfecto)
4x + 8 = 4.(x + 2)                                          (Factor común)
3x + 6 = 3.(x + 2)                                          (Factor común)

2) Los polinomios, ya totalmente factorizados son:

2.(x - 2)²
4.(x + 2)
3.(x + 2)

3) Los factores que aparecen son: (x - 2), (x + 2) y los números 4, 2, y 3. Pero cuando hay números como factores, hay que buscar el m.c.m. entre los números (porque algunos de esos números no están "factorizados en sus factores primos", como el 4 en este caso):

2 | 2       4 | 2          3 | 3
1 | 1       2 | 2          1 | 1
              1 | 1

2 = 2       4 = 2²        3 = 3

m.c.m.: 2².3 = 12

4) (x - 2): El mayor exponente con el que aparece es 2, en el primer polinomio. Entonces en el m.c.m. hay que poner (x - 2)².
    (x + 2): Aparece sin elevar (o sea que el exponente es 1) en el segundo y en el tercer polinomio. No aparece con otro exponente mayor, así que en el m.c.m. hay que poner entonces (x + 2).
    Y entre los números, hay que poner el m.c.m. que ya calculé en el paso anterior: 12.

5) m.c.m.: 12.(x - 2)².(x + 2)

EJEMPLO 5:

Hallar el m.c.m. entre los siguientes polinomios:

a³b + a²b
a³ + 2a² + a

1) Factorizo:

a³b + a²b = a²b.(a + 1)
a³ + 2a² + a = a.(a² + 2a + 1) = a.(a + 1)²

2) Los polinomios ya factorizados quedaron así:

a²b.(a + 1)
a.(a + 1)²

3) Los factores que aparecieron son: a, b, y (a + 1)

4) a: El mayor exponente con que aparece es 2, en el primer polinomio. Entonces en el m.c.m. hay que poner a².
   b: Aparece solamente en el primer polinomio, sin exponente (está elevado a la 1). El mayor exponente es entonces 1. En el m.c.m. hay que poner b.
   (a + 1): El mayor exponente con que aparece es 2, en el segundo polinomio. Entonces en el m.c.m. hay que poner (a + 1)².

5) m.c.m.: a²b.(a + 1)²


Polinomios que no se pueden factorizar

En este tema conviene tener presente que en los polinomios de grado 1, si no se puede aplicar el Caso Factor Común, no se pueden factorizar por ningún otro Caso. Si no practicaron mucho factoreo quizás no se dieron cuenta de eso. Hablo de polinomios como los siguientes:

(x + 1)
(x - 5)
(x + 3)
(x - 1/2)
(1 - x)

etc.

Porque estos polinomios aparecen muchas veces como denominadores, y es bueno darse cuenta enseguida de que no hay que pensar en factorizar esos denominadores, porque no se puede. En cambio, aunque sean de grado 1, sí se pueden factorizar los siguientes polinomios, porque en ellos hay factor común:

2x - 4
6x - 2
3x + 3
12 - 4x

etc.

Con menos frecuencia, pero también pueden encontrarse en este tema polinomios que son sumas de potencias pares, que tampoco pueden factorizarse. Por ejemplo:

x² + 4
x² + 1
x⁴ + 16
x² + 9


Explicación de las divisiones que se hicieron en este ejemplo:

Como ya expliqué con más detalle en otro apartado (ver aquí), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fracción, ya que una fracción representa a la división entre su numerador y su denominador.

Resolver (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:

    1          1
          (SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES)
    1          1

Resolver (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2), es como simplificar la fracción:



Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos se cancelan y otros quedan. Así:

"Si divido a (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2).(x - 2), se me va a cancelar todo. El resultado es 1."

"Si divido a (x + 2).(x - 2) dividido (x + 2), se me va a cancelar (x + 2), y me queda como resultado (x - 2)"


Observación: El denominador común "incluye" a todos los denominadores. Divisibilidad entre polinomios factorizados.

Como dije en el EJEMPLO 3, voy a mostrar cómo siempre denominadores de cada fracción están "incluidos" en el denominador común. Eso es lo mismo que decir que en el m.c.m. están incluidos los polinomios entre los cuales estoy buscando el m.c.m.

En este EJEMPLO 4:

Para que se vea dónde el denominador 1 está incluido en el denominador común, lo marcaré en rojo:

Denominador 1: (x + 2).(x - 2)

Denominador común: (x + 2).(x - 2)


Para que se vea dónde el denominador 2 está incluido en el denominador común, lo marcaré en azul:

Denominador 2: (x + 2)

Denominador común: (x + 2).(x - 2)


En los siguientes ejemplos seguiré mostrando que en el m.c.m. están "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque el denominador común tiene que ser divisible por todos los denominadores. A veces, darse cuenta de eso puede servir para encontrar el denominador común sin pensar en la regla para obtener el m.c.m.


Más acerca cómo determiné el m.c.m. en este EJEMPLO 4:

El denominador de la primera fracción había quedado factorizado asi:

(x + 2).(x - 2)      (Los "factores" son (x + 2) y (x - 2) )

Y el denominador de la segunda ya no tenía más factorización posible:

(x + 2)                (El único "factor" es (x + 2) )

Y recordemos que si algo "no tiene exponente", se puede considerar que su exponente es "1". Por ejemplo: (x + 2) es igual a (x + 2)¹. Así que en este ejercicio que estamos haciendo, el exponente de los factores es 1. Por lo cual, el "mayor exponente" del que habla la regla será "1": Casi que esa parte de la regla no hace falta tenerla en cuenta para este ejemplo, porque aquí no tenemos ningún exponente a la vista. Hay que hacer otros ejemplos para ver eso.

Entonces, los factores que vemos en estos dos denominadores, los factores con los que vamos a armar el m.cm. entre ellos, son solamente dos:

(x + 2) y (x - 2)         (únicos factores que forman los denominadores)

El factor (x + 2) está en el primer denominador, y también en el segundo, pero es el mismo factor. En cambio el factor (x - 2) está solamente en el primer denominador. En el m.c.m. tenemos que poner multiplicando a esos factores, y el mayor exponente con que aparecen todos es "1", porque no tienen exponente. Así que hay que ponerlos así, sin exponente (que es como si estuvieran elevados a la "1").

m.c.m.: (x + 2).(x - 2)

Si no quedó claro cómo se obtuvo el m.c.m., convendría ver el apartado donde se explica exclusivamente el tema M.C.M. ENTRE POLINOMIOS. Allí se verán otros ejemplos en donde se aprecia mejor el uso de la regla porque en un principio no son casos particulares cómo el de este EJEMPLO 4, y el ver varios ejemplos comparados ayuda a la compresión definitiva de cómo se aplica la regla en cualquier caso. También se remite al m.c.m. entre números naturales, que se calcula de igual manera, sólo que con números en vez de con polinomios, y que se aprende en general en la escuela primaria.


Más ejercicios resueltos, similares al EJEMPLO 4:













Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 2 (Resta de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 3 (Con distintos denominadores)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7 (Con tres términos)
EJEMPLO 8 (Uno de los factores es un número)
EJEMPLO 9 (Con números como factores)
EJEMPLO 10 (Uno de los factores es la x)
EJEMPLO 11 (La x como factor, a distintas potencias)
EJEMPLO 12 (Uno de los términos es un entero)
EJEMPLO 13 (En los denominadores hay un solo término)
EJEMPLO 14 (Se puede simplificar antes de sumar las fracciones)

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