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SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7



 

EJEMPLO 7: (Con tres términos)



















EXPLICACIÓN:


1) Factorizo los denominadores:



Primera fracción:

x + 2      no se puede factorizar por ningún Caso (los que no se pueden factorizar)

Segunda fracción:

x2 + 4x + 4 = (x + 2)2       con el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto
x               2
    2.x.2
       4x


Tercera fracción:

x3  +  6x2  +  12x  +  8 = (x + 2)3    con el 4to Caso Cuatrinomio Cubo Perfecto
x                                   2
        3.x2.2     3.x.22
          6x2         4x


Ahora reemplazo los denominadores que factoricé, por sus equivalentes factorizados. Va quedando así:




2) El denominador común: Mínimo Común Múltiplo

Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes, hay que buscar un denominador común. Que debe ser el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) entre los denominadores de todas las fracciones. Una explicación completa de cómo calcular el m.c.m. entre polinomios, con variedad de ejemplos se puede ver aquí: M.C.M. ENTRE POLINOMIOS. Aquí explicaré lo que creo necesario para que se entienda en este ejemplo en particular:

Denominadores:

(x + 2)

(x + 2)2

(x + 2)3

Hay un solo factor:

(x + 2)

Con el mayor exponente con que aparece:

(x + 2)3                   En el denominador de la tercera fracción

m.c.m: (x + 2)3


(El m.c.m. es: "Es el producto (multiplicación) de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen") M.C.M.


Bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, el m.c.m. que encontré, y en el siguiente paso (paso 3) determinaré lo que queda en el numerador:




3) El numerador:

Una vez determinado el denominador común, hay que seguir el mismo procedimiento que para la suma de fracciones numéricas: Se divide a éste por los denominadores de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente (ver ejemplo con fracciones numéricas):

Pongamos aquí los dos pasos anteriores, para que se vean los numeradores que teníamos y el denominador común:






Primera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:

(x + 2)3 dividido (x + 2) , es igual a (x + 2)2          (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

1.(x + 2)2

Me va quedando:



Segunda fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:

(x + 2)3 dividido (x + 2)2, es igual a (x + 2)           (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

(x - 2).(x + 2)

Me va quedando:



Tercera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la tercera fracción:

(x + 2)3 dividido (x + 2)3, es igual a 1.                   (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la tercera fracción:

1.(x - 1), que es igual a (x - 1)

Me quedó:




4) Operar en el numerador para llegar a la mínima expresión:

Lo más complicado ya pasó. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí fuera de la fracción, para que se distinga más lo que estoy haciendo en este paso:

1.(x + 2)2 - (x - 2).(x + 2) - (x - 1) = x2 + 4x + 4 - (x2 + 2x - 2x - 4) - x + 1 =

x2 + 4x + 4 - x2 + 4 - x + 1 = 3x + 9


Me quedó:




5) Si se puede, aplicar algún Caso de Factoreo en el numerador:

Pero como en 3x + 9 se puede aplicar un Caso de Factoreo, lo tengo que hacer, porque quizás después pueda simplificar algún factor del numerador con alguno del denominador:

3x + 9 = 3.(x + 3)   por el Primer Caso de Factoreo: Factor Común

Reemplazo en la fracción con el polinomio del numerador, ya factorizado:



Pero no se puede simplificar nada, porque no me quedaron polinomios iguales arriba y abajo. Así  que ése es el resultado final del ejercicio.



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA Y RESTA 


Explicación de las divisiones que se hicieron en este ejemplo:

Como ya expliqué con más detalles en otro apartado (ver aquí), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fracción, ya que una fracción representa a la división entre su numerador y su denominador.

Resolver (x + 2)3 dividido (x + 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:

          (¿por qué si simplifica así?)

Resolver (x + 2)3 dividido (x + 2)2, sería lo mismo que simplificar la fracción:

          

Resolver (x + 2)3 dividido (x + 2)3, sería lo mismo que simplificar la fracción:



Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos de cancelan y otros quedan. Así:

"Si divido a (x + 2)3 dividido (x + 2), se me va a cancelar un (x + 2), y me queda como resultado un (x - 2)2"

"Si divido a (x + 2)3 dividido (x + 2)2, se me van a cancelar dos (x + 2), y me queda un
(x + 2) como resultado.

"Si divido a (x + 2)3 dividido (x + 2)3, se me van a cancelar todos, entonces el resultado es 1.


Observación: El denominador común "incluye" a todos los denominadores. Divisibilidad entre polinomios factorizados.

Como dije en el EJEMPLO 3, voy a mostrar cómo siempre denominadores de cada fracción están "incluidos" en el denominador común. Eso es lo mismo que decir que en el m.c.m. están incluidos los polinomios entre los cuales estoy buscando el m.c.m.

En este EJEMPLO 7:

Para que se vea dónde el denominador 1 está incluido en el denominador común, lo marcaré en rojo:

Denominador 1: (x + 2)

Denominador común: (x + 2)3 = (x + 2).(x + 2).(x + 2)


Para que se vea dónde el denominador 2 está incluido en el denominador común, lo marcaré en azul:

Denominador 2: (x + 2)2 = (x + 2).(x + 2)

Denominador común: (x + 2)3 = (x + 2).(x + 2).(x + 2)


Para que se vea dónde el denominador 2 está incluido en el denominador común, lo marcaré en violeta:

Denominador 3: (x + 2)3

Denominador común: (x + 2)3


En los siguientes ejemplos seguiré mostrando que en el m.c.m. están "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque el denominador común tiene que ser divisible por todos los denominadores. A veces, darse cuenta de eso puede servir para encontrar el denominador común sin pensar en la regla para obtener el m.c.m.




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 2 (Resta de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 3 (Con distintos denominadores)
EJEMPLO 4 (Con denominadores factorizables)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 8 (Uno de los factores es un número)
EJEMPLO 9 (Con números como factores)
EJEMPLO 10 (Uno de los factores es la x)
EJEMPLO 11 (La x como factor, a distintas potencias)
EJEMPLO 12 (Uno de los términos es un entero)
EJEMPLO 13 (En los denominadores hay un solo término)
EJEMPLO 14 (Se puede simplificar antes de sumar las fracciones)



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