EXPLICACIÓN:
1) Factorizo los denominadores:
Primera fracción:
4x2 - 16 = 4.(x2 - 4) = 4.(x + 2).(x - 2)
con
Factor
Común
y Difer.
de Cuadrados
Segunda fracción:
6x + 12 = 6.(x + 2) con el Primer Caso: Factor Común
Ahora reemplazo los denominadores que factoricé, por sus equivalentes
factorizados. Va quedando así:
2) El denominador común: Mínimo Común Múltiplo
Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes, hay que
buscar un denominador común. Que debe ser el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m)
entre los denominadores de todas las fracciones. Una explicación completa
de cómo calcular el m.c.m. entre polinomios, con variedad de ejemplos se puede
ver aquí: M.C.M. ENTRE
POLINOMIOS.
Aquí explicaré lo que creo necesario para que se entienda en este ejemplo en
particular:
Denominadores:
4.(x + 2).(x - 2)
6.(x + 2)
Los factores son:
(x + 2)
(x - 2)
4 = 22
6 = 2.3
m.c.m. entre 4 y 6 = 22.3
= 12 (¿cómo lo calculo?)
Con el mayor exponente con que aparecen:
(x + 2) y (x - 2) no tienen exponente (quiere decir que están elevados a la
potencia 1) en ningún denominador.
Entre los números 4 y 6, el m.c.m. es 12.
m.c.m: 12.(x + 2).(x - 2)
(El m.c.m. es: "Es el producto (multiplicación) de todos los
factores, con el
mayor exponente con el que aparecen") M.C.M.
Bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, el m.c.m. que
encontré, y en el siguiente paso (paso 3) determinaré lo que queda en el
numerador:
3) El numerador:
Una vez determinado el denominador común, hay que seguir el mismo procedimiento
que para la suma de fracciones numéricas: Se divide a éste por los denominadores de cada fracción, y se
multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente (ver
ejemplo con fracciones numéricas):
Pongamos aquí los dos pasos anteriores, para que se vean los numeradores que
teníamos y el denominador común:
Primera fracción:
Divido el denominador común por el denominador de
la primera fracción:
12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2) , es igual a 3
(divisiones)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:
(x + 1).3
Me va quedando:
Segunda fracción:
Divido el denominador común por el denominador de
la segunda fracción:
12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), es igual a 2.(x - 2) (divisiones)
Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:
1.2.(x - 2) que es igual a 2.(x - 2)
Me queda:
4) Operar en el numerador para llegar a la mínima expresión:
Lo más complicado ya pasó. Ahora nos queda "trabajar" en el
numerador: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí
fuera de la fracción, para que se distinga más lo que estoy haciendo en este
paso:
(x + 1).3 + 2.(x - 2) = 3x + 3 + 2x - 4 = 5x - 1
Me quedó:
Como 5x - 1 no se puede factorizar por ningún Caso, ése es el resultado final.
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA Y RESTA
Explicación de las divisiones que se hicieron en este ejemplo:
Como ya expliqué con más detalles en otro apartado (ver
aquí), hacer estas divisiones es lo mismo que
simplificar una fracción, ya que una fracción representa a la división entre
su numerador y su denominador.
Resolver 12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2), sería lo mismo
que simplificar la fracción:
(¿por qué si
simplifica así?)
Y resolver 12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), sería lo mismo que simplificar la
fracción:
Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son
iguales, y los números se simplifican como en una fracción numérica. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando
en que algunos de cancelan y otros quedan. Así:
"Si divido a 12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2), se me va a
cancelar el (x + 2) y el (x - 2), y el 12 se simplifica con el 4, quedando como
resultado 3."
"Si divido a 12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), se me van a cancelar
el (x + 2) y me va a quedar el (x - 2). Y el 12 se simplifica con el 6, quedando
2. Así que el resultado de la división será: 2.(x - 2)"
El m.c.m. entre 4 y 6
En este EJEMPLO 9, luego de factorizar los denominadores, vemos que en dos de
ellos quedó un número multiplicando:
Numerador de la primera fracción: 4.(x + 2).(x - 2)
Numerador de la tercera fracción: 6.(x + 2)
Los números también son "factores" que deben formar parte de
denominador común. En el denominador común hay que poner el m.c.m. entre esos
números, como cuando se suman fracciones numéricas. El m.c.m. se puede buscar
con el conocido procedimiento de factorizar los números, o también de
otra manera práctica (encontrando el menor múltiplo que tengan en común).
He aquí las dos formas de encontrar el m.c.m.:
1) Con factorización de los números y la regla del m.c.m:
4 |
2
6 | 2
2 |
2
3 | 3
1 |
1
1 | 1
4 = 22
6 = 2.3
m.c.m. = 22.3
(Cálculo del M.C.M. entre números)
("El producto de todos los factores, con el mayor exponente con el que
aparecen")
2) Encontrando el menor múltiplo que tengan en común:
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24...
El menor múltiplo que ambos tienen en común es: 12.
Recordemos que múltiplos de un número son todos los aquellos números que se
obtienen multiplicando al número por otro número natural. Es decir, para
obtener los múltiplos de un números, sólo hay que multiplicarlo por 2, por 3,
por 4, por 5, etc. etc. Un número tiene infinitos múltiplos.
Observación: El denominador común "incluye" a todos los
denominadores. Divisibilidad entre polinomios factorizados.
Como dije en el EJEMPLO 3, voy a mostrar cómo siempre denominadores de cada fracción están "incluidos" en el
denominador común. Eso es lo mismo que decir que en el m.c.m. están incluidos
los polinomios entre los cuales estoy buscando el m.c.m.
En este EJEMPLO 9:
Para que se vea dónde el denominador 1 está incluido en el denominador común,
lo marcaré en rojo:
Denominador 1: 4.(x + 2).(x - 2)
Denominador común: 12.(x + 2).(x - 2) = 3.4.(x + 2).(x
- 2)
Para que se vea dónde el denominador 2 está incluido en el denominador común,
lo marcaré en azul:
Denominador 2: 6.(x + 2)
Denominador común: 12.(x + 2).(x - 2) = 2.6.(x + 2).(x
- 2)
En los siguientes ejemplos seguiré mostrando que en el m.c.m. están
"incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es
justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero
que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque el denominador
común tiene que ser divisible por todos los denominadores. A veces, darse cuenta de
eso puede servir para encontrar el denominador común sin pensar en la regla
para obtener el m.c.m.
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1 (Suma de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 2 (Resta de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 3 (Con distintos denominadores)
EJEMPLO 4 (Con denominadores factorizables)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7 (Con tres términos)
EJEMPLO 8 (Uno de los factores es un número)
EJEMPLO 10 (Uno de los factores es la x)
EJEMPLO 11 (La x como factor, a distintas potencias)
EJEMPLO 12 (Uno de los términos es un entero)
EJEMPLO 13 (En los denominadores hay un solo término)
EJEMPLO 14 (Se puede simplificar antes de sumar las
fracciones)
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