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SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9



 

EJEMPLO 9: (Hay varios números como factores)












Luego de factorizar los denominadores, aparecen el 4 y el 6 como factores. En el denominador común hay que poner al mínimo común múltiplo entre esos números (12).



EXPLICACIÓN:


1) Factorizo los denominadores:



Primera fracción:

4x2 - 16 = 4.(x2 - 4) = 4.(x + 2).(x - 2)   con Factor Común y Difer. de Cuadrados

Segunda fracción:

6x + 12 = 6.(x + 2)     con el Primer Caso: Factor Común  


Ahora reemplazo los denominadores que factoricé, por sus equivalentes factorizados. Va quedando así:




2) El denominador común: Mínimo Común Múltiplo

Como en la suma de fracciones numéricas, si los denominadores son diferentes, hay que buscar un denominador común. Que debe ser el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) entre los denominadores de todas las fracciones. Una explicación completa de cómo calcular el m.c.m. entre polinomios, con variedad de ejemplos se puede ver aquí: M.C.M. ENTRE POLINOMIOS. Aquí explicaré lo que creo necesario para que se entienda en este ejemplo en particular:

Denominadores:

4.(x + 2).(x - 2)

6.(x + 2)

Los factores son:

(x + 2)
(x - 2)
4 = 22
6 = 2.3
m.c.m. entre 4 y 6 = 22.3 = 12      (¿cómo lo calculo?)

Con el mayor exponente con que aparecen:

(x + 2) y (x - 2) no tienen exponente (quiere decir que están elevados a la potencia 1) en ningún denominador. 

Entre los números 4 y 6, el m.c.m. es 12. 

m.c.m: 12.(x + 2).(x - 2)


(El m.c.m. es: "Es el producto (multiplicación) de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen") M.C.M.


Bajo una sola línea de fracción pongo el denominador común, el m.c.m. que encontré, y en el siguiente paso (paso 3) determinaré lo que queda en el numerador:




3) El numerador:

Una vez determinado el denominador común, hay que seguir el mismo procedimiento que para la suma de fracciones numéricas: Se divide a éste por los denominadores de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente (ver ejemplo con fracciones numéricas):

Pongamos aquí los dos pasos anteriores, para que se vean los numeradores que teníamos y el denominador común:






Primera fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la primera fracción:

12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2) , es igual a 3          (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la primera fracción:

(x + 1).3

Me va quedando:



Segunda fracción:

Divido el denominador común por el denominador de la segunda fracción:

12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), es igual a 2.(x - 2)          (divisiones)

Luego, multiplico ese resultado por el numerador de la segunda fracción:

1.2.(x - 2) que es igual a 2.(x - 2)

Me queda:




4) Operar en el numerador para llegar a la mínima expresión:

Lo más complicado ya pasó. Ahora nos queda "trabajar" en el numerador: distributiva, juntar términos de igual grado, etc. Lo hago aquí fuera de la fracción, para que se distinga más lo que estoy haciendo en este paso:

(x + 1).3 + 2.(x - 2) = 3x + 3 + 2x - 4 = 5x - 1

Me quedó:



Como 5x - 1 no se puede factorizar por ningún Caso, ése es el resultado final.



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los Conceptos Generales de este tema están en: SUMA Y RESTA 


Explicación de las divisiones que se hicieron en este ejemplo:

Como ya expliqué con más detalles en otro apartado (ver aquí), hacer estas divisiones es lo mismo que simplificar una fracción, ya que una fracción representa a la división entre su numerador y su denominador.

Resolver 12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:

          (¿por qué si simplifica así?)

Y resolver 12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), sería lo mismo que simplificar la fracción:



Puede observarse que lo que sucede es que se cancelan los polinomios que son iguales, y los números se simplifican como en una fracción numérica. Teniendo en cuenta esto, se pueden resolver mentalmente estas divisiones, pensando en que algunos de cancelan y otros quedan. Así:

"Si divido a 12.(x + 2).(x - 2) dividido 4.(x + 2).(x - 2), se me va a cancelar el (x + 2) y el (x - 2), y el 12 se simplifica con el 4, quedando como resultado 3."

"Si divido a 12.(x + 2).(x - 2) dividido 6.(x + 2), se me van a cancelar el (x + 2) y me va a quedar el (x - 2). Y el 12 se simplifica con el 6, quedando 2. Así que el resultado de la división será: 2.(x - 2)"


El m.c.m. entre 4 y 6

En este EJEMPLO 9, luego de factorizar los denominadores, vemos que en dos de ellos quedó un número multiplicando:

Numerador de la primera fracción: 4.(x + 2).(x - 2)

Numerador de la tercera fracción: 6.(x + 2)

Los números también son "factores" que deben formar parte de denominador común. En el denominador común hay que poner el m.c.m. entre esos números, como cuando se suman fracciones numéricas. El m.c.m. se puede buscar con el conocido procedimiento de factorizar los números, o también de otra manera práctica (encontrando el menor múltiplo que tengan en común). He aquí las dos formas de encontrar el m.c.m.:

1) Con factorización de los números y la regla del m.c.m:

4 | 2             6 | 2
2 | 2             3 | 3
1 | 1             1 | 1

4 = 22           6 = 2.3

m.c.m. = 22.3                     (Cálculo del M.C.M. entre números)

("El producto de todos los factores, con el mayor exponente con el que aparecen")

2) Encontrando el menor múltiplo que tengan en común:

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24...

El menor múltiplo que ambos tienen en común es: 12. Recordemos que múltiplos de un número son todos los aquellos números que se obtienen multiplicando al número por otro número natural. Es decir, para obtener los múltiplos de un números, sólo hay que multiplicarlo por 2, por 3, por 4, por 5, etc. etc. Un número tiene infinitos múltiplos.


Observación: El denominador común "incluye" a todos los denominadores. Divisibilidad entre polinomios factorizados.

Como dije en el EJEMPLO 3, voy a mostrar cómo siempre denominadores de cada fracción están "incluidos" en el denominador común. Eso es lo mismo que decir que en el m.c.m. están incluidos los polinomios entre los cuales estoy buscando el m.c.m.

En este EJEMPLO 9:

Para que se vea dónde el denominador 1 está incluido en el denominador común, lo marcaré en rojo:

Denominador 1: 4.(x + 2).(x - 2)

Denominador común: 12.(x + 2).(x - 2) = 3.4.(x + 2).(x - 2)


Para que se vea dónde el denominador 2 está incluido en el denominador común, lo marcaré en azul:

Denominador 2: 6.(x + 2)

Denominador común: 12.(x + 2).(x - 2) = 2.6.(x + 2).(x - 2)

En los siguientes ejemplos seguiré mostrando que en el m.c.m. están "incluidos" todos los denominadores. Y es porque el m.c.m. es justamente un producto de factores que incluya a todos los denominadores, pero que use la menor cantidad de factores posibles. Y eso es porque el denominador común tiene que ser divisible por todos los denominadores. A veces, darse cuenta de eso puede servir para encontrar el denominador común sin pensar en la regla para obtener el m.c.m.




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SUMAS Y RESTAS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 2 (Resta de fracciones con igual denominador)
EJEMPLO 3 (Con distintos denominadores)
EJEMPLO 4 (Con denominadores factorizables)
EJEMPLO 5
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7 (Con tres términos)
EJEMPLO 8 (Uno de los factores es un número)
EJEMPLO 10 (Uno de los factores es la x)
EJEMPLO 11 (La x como factor, a distintas potencias)
EJEMPLO 12 (Uno de los términos es un entero)
EJEMPLO 13 (En los denominadores hay un solo término)
EJEMPLO 14 (Se puede simplificar antes de sumar las fracciones)



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