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EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: SUMAS Y RESTAS / EJERCICIOS RESUELTOS

 

EJEMPLO 1: (Suma de fracciones con igual denominador)












  3


Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores; tal como se hace con la suma de fracciones numéricas de igual denominador.
Y si lo piden, aclaremos que la simplificación vale para todo x ≠ -2
.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2: (Resta de fracciones con igual denominador)










Las dos fracciones tienen el mismo denominador. El denominador común es ese denominador, y se suman los numeradores. Si el segundo numerador tiene más de un término, hay que ponerlo entre paréntesis para restarlo, ya que es signo menos afectará a todos los términos.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2




EJEMPLO 3: (Con denominadores distintos)










En este ejemplo el denominador común es el producto de los dos denominadores. Luego se procede como en la suma de fracciones numéricas: se divide al denominador común por el denominador de la primera fracción, y al resultado se lo multiplica por el numerador. Lo mismo con la segunda fracción. Y luego se trabaja en el numerador para llegar a la mínima expresión.
No siempre el denominador común es el producto de los dos denominadores. En realidad hay que buscar el mínimo común múltiplo entre ellos. Pero, en ejemplos como éste, el m.c.m es el produco de los denominadores. En los siguientes ejemplos se verá cómo calcular el m.c.m. en todos los otros casos. Para una explicación detallada de este ejemplo entrar en el siguiente enlace:

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Con denominadores factorizables)














Primero hay que factorizar los denominadores que se puedan. El denominador común va a ser el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores de las fracciones, como en la suma o resta de fracciones numéricas. El m.c.m. entre polinomios se calcula de la misma forma que el m.c.m entre números: es el producto de todos los factores que aparecen en las descomposiciones, elevados a la mayor potencia con que aparecen.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5:




















EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5




EJEMPLO 6:













EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6



MÁS EJEMPLOS: Los EJEMPLOS desde el 7 hasta el 14 están en otra página, para que no tarden tanto en cargarse las imágenes:

PAGINA 2 - EJEMPLOS RESUELTOS DESDE EL 7 AL 14



TEMA RELACIONADO: CALCULO DEL MINIMO COMUN MULTIPLO (MCM) ENTRE NUMEROS



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES


¿Cómo se suman y/o restan las fracciones "con polinomios arriba y/o abajo"?

Igual que se suman y/o restan las fracciones numéricas: se busca un denominador común, y luego se sigue el procedimiento que ya es conocido para sumar fracciones numéricas. Recordémoslo con un ejemplo:



1) Se busca un denominador común, que debe ser el llamado Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) entre los denominadores. El m.c.m. de 4 y 6 es 12 (¿cómo se calcula el m.c.m. entre números?). Porque 12 es divisible por 4 y por 6, y es el menor número que cumple con eso. A veces, ese m.c.m. es el producto de los dos denominadores, por ejemplo si ellos fueran 3 y 7, el m.c.m es 3.7 = 21.

2) Luego se divide a éste por los denominadores de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente: 

12:4 = 3   y se multiplica por el numerador:  5.3 = 15

12:6 = 2   y se multiplica por el numerador:  1.2 = 2

3) Finalmente se hace la operación indicada en el numerador: suma o resta. Y si se puede, simplificamos la fracción que nos dá como resultado.

Con las fracciones polinómicas tenemos que hacer lo mismo. Voy a mostrar, con un ejemplo, cómo es en general el procedimiento. Pero para entender cómo hacer cualquier ejercicio será necesario ver varios ejemplos de los que presenté en esta página y leer sus respectivas explicaciones.



1) El denominador común entre (x + 2) y (x - 3) es el m.c.m. entre esos polinomios, que en este caso es el producto de ambos: (x + 2).(x - 3). Ya en otro apartado explicaré en detalle cómo calcular el m.c.m. entre polinomios (ver aquí).

2) Luego se divide el denominador común por el numerador de cada fracción, y se multiplica el resultado por el numerador de la fracción correspondiente:

En la primera fracción: 

(x + 2).(x - 3) dividido (x + 2) es igual a (x - 3). Y se multiplica el resultado por el numerador: x.(x - 3)

(Luego explicaré cómo se hacen esas divisiones:
Ver aquí. Pero si se dan cuenta pueden ir observando que se "cancela" el polinomio por el cual se está dividiendo, y queda el otro).

(x + 2).(x - 3) dividido (x - 3) es igual a (x + 2). Y se multiplica el resultado por el numerador: 2.(x + 2).



Y luego se efectúan las multiplicaciones, que a veces requieren de aplicar la propiedad distributiva:



3) Luego se hace la operación indicada en el numerador. En este ejemplo es una suma, así que hay que sumar los dos polinomios que quedaron: (x2 - 3x) + (2x + 4). Recordemos que en la suma de polinomios se suman los términos de igual grado.
En este tema ya no es necesario interpretar que en el numerador hay una suma o resta de polinomios: simplemente se pueden quitar los paréntesis y "juntar" los términos de igual grado, para llegar a la mínima expresión del polinomio (es decir, que sólo haya un término de cada grado). En este ejemplo "junté" el -3x con el 2x, para que quede un sólo término de grado 1: -x



Luego, si en el numerador se pudiera aplicar un Caso de Factoreo, se hace. Porque en la factorización podría aparecer polinomio que se podría simplificar con uno  del denominador. En este ejemplo en particular no se puede factorizar a x2 - x + 4 por ningún Caso de Factoreo.

En los 14 EJEMPLOS que presenté en esta página, se puede ver la variedad de situaciones que se presentan a la hora de buscar denominador común. En los enlaces de EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO se puede encontrar una detallada descripción de todos los pasos a seguir en cada ejercicio, cómo se halló el denominador común o m.c.m., etc.


¿Cómo se determina el denominador común entre dos fracciones con polinomios?

El denominador común a usar en una suma o resta de fracciones es siempre el mínimo común múltiplo (m.c.m.) entre todos los denominadores de las fracciones que se están sumando y restando. Como ya dije antes, en otra sección explicaré cómo hallar el m.c.m. entre polinomios (ver aquí). Pero por ahora, podemos ver algunos casos particulares en donde hallar el denominador común es muy fácil, y no requiere saber calcular el m.c.m. entre polinomios.

1) Cuando los denominadores de las fracciones son iguales: Igual que en la suma de las fracciones numéricas, si los denominadores son iguales, el denominador común es ése denominador. Por ejemplo:



En el EJEMPLO 1 presentado en esta página se puede ver esta situación en una suma de fracciones con polinomios

2) Cuando alguno de los términos no tiene denominador: El denominador común es el el único denominador que hay. Por ejemplo: 



En el EJEMPLO 12 presentado en esta página se puede ver esta situación en una suma de fracciones con polinomios

3) Cuando los denominadores son polinomios distintos y que no se pueden factorizar: El denominador común es el producto de ambos polinomios. Por ejemplo:

    

4) Cuando los denominadores tienen un solo término, y es la misma letra aunque con distinto exponente: El denominador común es esa letra con el mayor exponente:



Éstas, y el resto de las situaciones están explicadas en detalle en los 14 Ejemplos presentados en esta página.




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