FACTOREO COMBINADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 4: (Factor Común y Factor Común en Grupos)

30a⁴x - 15a³xz - 10a³y + 5a²yz =

5a².(6a²x - 3axz - 2ay + yz) =

5a².[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =

5a².[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] =

5a².(2a - z).(3ax - y)

Primero se puede sacar factor común 5a², y luego agrupar para sacar factor común en grupos (2do Caso). Fue necesario incorporar el uso de corchetes son para no usar "paréntesis dentro de paréntesis". El tercer paso está de más si se prefiere sacar factor común negativo.

EXPLICACIÓN:

Nota: Para seguir la siguiente explicación es recomendable saber aplicar los Casos:
FACTOR COMÚN y FACTOR COMÚN EN GRUPOS.


1) Primero saco factor común "5a²":

5a².(6a²x - 3axz - 2ay + yz) =


2) Luego, dentro del paréntesis se puede agrupar para sacar factor común en grupos. Agrupo el primero con el segundo, y tercero con cuarto:

5a².[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =

Como al aplicar el Segundo Caso debo usar los paréntesis, tuve que usar corchetes en el lugar que antes estaban los paréntesis. Mientras haya más de un término en el polinomio que estoy factorizando, debo mantenerlo encerrado, porque está multiplicando a 5a². (no entiendo eso)

5a².[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =

5a².[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] =   (no entiendo estos cambios de signos)

5a².(2a - z).(3ax - y)

Ahora ya no es necesario el corchete, pues se trata de una multiplicación de tres factores. (no entiendo eso)

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales están en CONCEPTOS - EJERCICIOS COMBINADOS


¿Por qué tuve que usar corchetes?

En 5a².(6a²x - 3axz - 2ay + yz), el 5a² está multiplicando a cuatro términos, y por eso hay que ponerlos entre paréntesis (que lo hacemos cuando sacamos factor común). En casos como ése ponemos paréntesis para aclarar que estamos multiplicando a todo eso por 5a². En un ejemplo con todos números se podría entender mejor por qué usamos así el paréntesis:

5.(8 + 3 + 1) =

Usamos ese paréntesis para aclarar que a 5 hay que multiplicarlo por el resultado de sumar a 8 + 3 + 1. Es decir, para aclarar que primero hay que sumar 8 + 3 + 1, y luego multiplicar al resultado por 5:

5.12 = 60

Si no pusiéramos ese paréntesis, estaríamos indicando que el 5 sólo multiplica al 8, es decir al primer término; y a los otros términos no los multiplica:

5.8 + 3 + 1 =

40 + 3 + 1 = 44      (Sin paréntesis daría un resultado diferente)

Entonces, para aclarar que multiplicamos a el resultado de una suma o resta, debemos usar paréntesis, u otros símbolos que "encierran". Esos otros símbolos que existen son: los corchetes ([ ]) y las llaves ({ }). Se recurre a los corchetes cuando es necesario encerrar algo que ya tiene paréntesis. En el ejemplo:

7. [2.(1 + x) + 3x]

Como tuve que encerrar entre paréntesis a 1 + x, para indicar que está todo multiplicado por 2, luego tuve que usar corchetes, para indicar que toda la expresión 2.(1 + x) + 3x está multiplicada por 7.

En el EJEMPLO 4 que se explica en esta página:

5a².(6a²x - 3axz - 2ay + yz) =

5a².[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =

luego de sacar factor común en grupos me quedaron dos términos ("3ax.(2a - z)" y "y.(-2a + z)") que deben ir multiplicando por 5a². Por eso tuve que encerrar la expresión para indicar que todo está multiplicando por 5a². Pero como en esa expresión ya hay paréntesis, tuve que recurrir a otro de los símbolos que "encierran": los corchetes.


¿Y por qué luego se sacan los corchetes?

Cuando los que estaba dentro del corchete, que eran dos términos:

5a².[3ax(2a - z) - y.(2a - z)]

se transforma en multiplicación:

5a².(2a - z).(3ax - y)

ya no hace falta el corchete. Porque una multiplicación es un solo término, no hay que indicar que 5a² está multiplicando a dos términos. Con un ejemplo numérico se puede ver mejor:

5.(3.2.7) =

En ese ejemplo, no hace falta "encerrar" a la multiplicación 3.2.7 para indicar que hay que multiplicar al resultado por 5. Porque la multiplicación cumple la Propiedad Asociativa, entonces:

5.(3.2.7) = (5.3).(2.7) = (5.3.2).7 = 5.(3.2).7 = 5.3.2.7 = 210

Es decir que no importa cuál multiplicación se haga primero, el resultado final siempre es el mismo. No hace falta "encerrar" una parte para indicar que primero se resuelve eso y luego se multiplica por lo otro. De cualquier manera dá igual. Por eso, en la multiplicación:

5a².(2a - z).(3ax - y)

no hace falta encerrar entre corchetes a (2a - z).(3ax - y).


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva primero entre 5a² y (2a - z), y luego entre lo que queda:

5a².(2a - z).(3ax - y) = (10a³ - 5a²z).(3ax - y) = 30a⁴x - 10a³y - 15a³xz + 5a²zy =

30a⁴x - 15a³xz  - 10a³y + 5a²zy


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 4:


2bd + 2bc - 2ad - 2ac =

2.(bd + bc - ad - ac) =

2.[(b.(d + c) - a.(d + c)] =

2.(d + c).(b - a)


10xy² - 2xyz + 5xyw - xwz =

x.(10y² - 2yz + 5yw - wz) =

x.[2y.(5y - z) + w.(5y - z)] =

x.(5y - z).(2y + w)


9ax³ - 3bx³ - 27a²x³ + 9abx³ =

3x³.(3a - b - 9a² + 3ab) = 

3x³.[3a.(1 - 3a) - b.(1 - 3a)] =

3x³.(1 - 3a).(3z - b)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
EJERCICIOS COMBINADOS DE FACTOREO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Factor Común y Trinomio Cuadrado Perfecto)
EJEMPLO 2 (Factor Común y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 3 (Factor Común y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)
EJEMPLO 5 (Factor Común y Séptimo Caso)
EJEMPLO 6 (Diferencia de Cuadrados y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 7 (Resta de Potencias Pares de Igual Grado y Factor Común en Grupos)
EJEMPLO 8 (Factor Común en Grupos y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 9 (Factor Común en Grupos y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)
EJEMPLO 10 (Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados)
EJEMPLO 11 (Factor Común, F. C. en Grupos y Diferencia de Cuadrados)

AVANZADOS (Agrupando y aplicando distintos Casos en cada grupo) :
EJEMPLO 12
EJEMPLO 13
EJEMPLO 14
EJEMPLO 15
EJEMPLO 16
EJEMPLO 17
EJEMPLO 18
EJEMPLO 19

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