Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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EJERCICIOS COMBINADOS DE FACTOREO / EJERCICIOS RESUELTOS

 



EJEMPLO 1: (Factor Común y Diferencia de Cuadrados)

2x2 - 18 =

2.(x2 - 9) =
    x    3

2.(x + 3).(x - 3)


Primero se puede sacar factor común "2". Luego, en x2 - 9 se puede aplicar el 5to Caso (Diferencia de Cuadrados). En cualquier ejercicio combinado, se aconseja empezar por aplicar Factor Común si se puede.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2: (Factor Común y Trinomio Cuadrado Perfecto)

3x2 + 30x + 75 =

3.(x2 + 10x + 25) =
     x                  5 
             2.x.5

3.(x + 5)2


Aquí primero se puede sacar factor común "3", y luego aplicar el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3: (Factor Común y Suma o Resta de Potencias de Igual Grado)

5x3 + 40 =

5.(x3 + 8) =
     x      2

5.(x + 2).(x2 - 2x + 4)


Primero se puede sacar factor común "5", y luego aplicar el Sexto Caso. El trinomio que queda luego de aplicar el Sexto Caso no se puede factorizar por ningún Caso (es un polinomio "primo").

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Factor Común y Factor Común en Grupos)

30a4x - 15a3xz - 10a3y + 5a2yz =

5a2.(6a2x - 3axz - 2ay + yz) =

5a2.[3ax(2a - z) + y.(-2a + z)] =

5a2.[3ax(2a - z) - y.(2a - z)] =

5a2.(2a - z).(3ax - y) =


Primero se puede sacar factor común 5a2, y luego agrupar para sacar factor común en grupos (2do Caso). Fue necesario incorporar el uso de corchetes son para no usar "paréntesis dentro de paréntesis". El tercer paso está de más si se prefiere sacar factor común negativo.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5: (Factor Común y Séptimo Caso)

2ax2 + 6ax - 20a =

2a.(x2 + 3x - 10) = 

2a.(x - 2).(x + 5)


Se puede sacar factor común "2a", y luego aplicar el Séptimo Caso: Trinomio de Segundo Grado.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5





EJEMPLO 6: (Diferencia de Cuadrados y Diferencia de Cuadrados)

x4 - 81 =
x2     9

(x2 + 9).(x2 - 9) =
                 x     3

(x2 + 9).(x + 3).(x - 3)


Se puede aplicar el 5to Caso: Diferencia de Cuadrados. Y luego en el resultado aparece otra "diferencia de cuadrados".
También se podía aplicar otro caso en un principio: 6to Caso (Suma o Resta de Potencias de Igual Grado). Y sería también un ejercicio combinado, porque se puede seguir con otro Caso (Ver EJEMPLO 7)

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6





EJEMPLO 7: (Suma o Resta de Potencias de Igual Grado y Factor Común en Grupos)

x4 - 81 =
x       3

(x - 3).(x3 + 3x2 + 9x + 27)

(x - 3).[x2.(x + 3) + 9.(x + 3)]

(x - 3).(x + 3).(x2 + 9)


Primero se puede aplicar el Sexto Caso. Luego en el cociente se puede agrupar para sacar "factor común en grupos". Eso sucede siempre que se use el Sexto Caso para factorizar restas de potencias pares.
Este ejercicio es igual que el EJEMPLO 6, pero aplicando otros Casos de Factoreo. Puede apreciarse que, al factorizarlos completamente, se llega al mismo resultado por dos caminos diferentes.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7





EJEMPLO 8: (Factor Común en Grupos y Diferencia de Cuadrados)

x3 + x2 - 9x - 9 =

x2.(x + 1) + 9.(-x - 1) =

x2.(x + 1) - 9.(x + 1) =

(x + 1).(x2 - 9) =

(x + 1).(x + 3).(x - 3)


Primero se puede agrupar para aplicar el 2ndo Caso. Luego, hay una diferencia de cuadrados. El tercer paso está de más si se prefiere sacar factor común negativo.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8





EJEMPLO 9: (Factor Común en Grupos y Suma o Resta de Potencias...)

x4 + ax3 + 8x + 8a =

x3.(x + a) + 8.(x + a) =

(x + a).(x3 + 8) =
               x      2

(x + a).(x + 2).(x2 - 2x + 4)


Primero se puede agrupar para aplicar el 2ndo Caso. Luego queda una suma de potencias impares, entonces puede aplicarse el 6to Caso. El trinomio que queda luego de aplicar el Sexto Caso no se puede factorizar por ningún Caso.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9





EJEMPLO 10: (Trinomio Cuadrado Perfecto y Diferencia de Cuadrados)

x4 - 2x2 + 1 =
x2              -1
     2.x2.(-1)

(x2 - 1)2 =
  x      1

[(x + 1).(x - 1)]2 =

(x + 1).(x - 1).(x + 1).(x - 1)

(x + 1)2.(x - 1)2



Primero se puede aplicar el 3er Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. Luego queda una Diferencia de Cuadrados dentro del cuadrado. Se puede dejar expresado de cualquiera de las 3 maneras resaltadas en negritas.
Este ejercicio también podría haberse hecho aplicando la "bicuadrada". En tal caso, no sería un ejercicio combinado ya que factoriza de una sola vez.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10





EJEMPLO 11: (Factor Común, F. C. en Grupos y Diferencia de Cuadrados)

1/2 x4 + 3/4 x3 - 1/2 x2 - 3/4 x =

1/2 x.(x3 + 3/2 x2 - x - 3/2) =

1/2 x.[x.(x2 - 1) + 3/2 (x2 - 1)]=

1/2 x.(x2 - 1).(x + 3/2)=
         x      1

1/2 x.(x + 1).(x - 1).(x + 3/2)=


Primero se puede sacar factor común 1/2 x. Luego agrupar para aplicar el 2ndo Caso. Y después aparece una diferencia de cuadrados.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11



CON AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS (AVANZADOS) 
(Raramente se ve en Nivel Medio)


Hay ejercicios de Factoreo donde se agrupa antes de factorizar, y en los distintos grupos se pueden aplicar Casos. Es algo similar a lo que sucede en el 2do Caso: Factor Común en Grupos, sólo que en los grupos no se aplica necesariamente Factor Común, sino cualquier otro Caso.


EJEMPLO 12:

x3 + y3 + 2x + 2y =

(x + y).(x2 - xy + y2) + 2.(x + y)=

(x + y).(x2 - xy + y2 + 2)=


En el primer grupo apliqué el Sexto Caso (Suma o Resta de Potencias de Igual Grado), y en el segundo grupo saqué factor común "2". Luego saqué como factor común a la expresión (x + y), a semejanza de lo que se hace en el último paso del 2ndo Caso.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 12





EJEMPLO 13:

x3 + 2x2 + 2xy + 2y2 - y3 =

x3 - y32x2 + 2xy + 2y2 =

(x - y).(x2 + xy + y2) + 2.(x2 + xy + y2)=

(x2 + xy + y2).(x - y + 2)


Primero cambié el orden de los términos para que se entienda cómo agrupé. En el primer grupo apliqué el Sexto Caso (Suma o Resta de Potencias de Igual Grado), y en el segundo grupo saqué factor común "2". Luego saqué como factor común a la expresión (x2 + xy + y2), a semejanza de lo que se hace en el último paso del 2do Caso.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 13





EJEMPLO 14
:

x4 -16y4 - 4x3y + 16xy3 =
x2    4y2

(x2 + 4y2).(x2 - 4y2) - 4xy(x2 - 4y2) =

(x2 - 4y2).(x2 + 4y2 - 4xy) =
  x      2y      x      -2y

(x + 2y).(x - 2y).(x - 2y)2 =

(x + 2y).(x - 2y)3


En el primer grupo hay un diferencia de cuadrados, y en el segundo grupo hay factor común 4xy (saqué directamente factor común negativo, porque es un ejercicio para avanzados). Luego, se puede sacar como factor común a la expresión x2 - 4y2, ya que está multiplicando en los dos términos que quedan. Pero después nos queda una diferencia de cuadrados y un trinomio cuadrado perfecto. Finalmente, como dos de los factores del resultado son iguales (x - 2y), los junté todos en uno solo elevado al cubo.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 14





EJEMPLO 15:

x5 - a5 - 5x + 5a =
x     a

(x - a).(x4 + x3a + x2a2 + xa3 + a4) - 5.(x - a) =

(x - a).(x4 + x3a + x2a2 + xa3 + a4 - 5)


El primer grupo es una resta de potencias de igual grado (Sexto Caso). Y en el otro grupo hay factor común "5". Luego se puede sacar como factor común a (x - a).

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 15





EJEMPLO 16:

2x3 - 3x2 - 3x + 2 =

2x3 + 2 - 3x2 - 3x =

2.(x3 + 1) - 3x.(x + 1) =
     x      1

2.(x + 1).(x2 - x + 1) - 3x.(x + 1) =

(x + 1)[2.(x2 - x + 1) - 3x)] =

(x + 1)(2.x2 - 2x + 2 - 3x) =

(x + 1)(2x2 - 5x + 2) =

(x + 1).2.(x - 2).(x - 1/2)

2.(x + 1).(x - 2).(x - 1/2)


Primero cambié el orden de los términos para que se vea cómo agrupé. Luego apliqué factor común en cada grupo, pero los "resultados" no son iguales como para seguir con el 2do Caso. Sin embargo se puede aplicar el Sexto Caso en el resultado del primer término (x3 + 1). Luego de eso sí que quedan dos términos donde hay un factor en común (x + 1). Saco ese factor común, y en el resultado aplico distributiva y "junto" las x para reducir a la mínima expresión. Así me encuentro con un Trinomio de Segundo Grado que tiene dos raíces reales, entonces aplico el Séptimo Caso.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 16





EJEMPLO 17:

x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 =

x4 + 2x2 + 1 + 2x3 + 2x =
x2               1
      2.x2.1


(x2 + 1)2 + 2x.(x2 + 1) =

(x2 + 1).(x2 + 1 + 2x) =
                x       1
                               2.x.1


(x2 + 1).(x + 1)2


Primero cambié el orden de los términos para que se vea cómo agrupé. Luego apliqué Trinomio Cuadrado Perfecto en el primer grupo, y Factor Común en el segundo grupo. Quedaron dos términos que tienen como factor común a (x2 + 1). Saco ese factor común, y en lo que queda puedo aplicar Trinomio Cuadrado Perfecto.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 17





EJEMPLO 18:

x2 - 10x + 25 + x2a - 25a =
x                 -5

(x - 5)2 + a.(x2 - 25) =
                  x       5

(x - 5)2 + a.(x + 5).(x - 5) =

(x - 5).[x - 5 + a.(x + 5)] =

(x - 5).(x - 5 + ax + 5a) =


En el primer grupo tengo un Trinomio Cuadrado Perfecto, y en el segundo grupo puedo sacar factor común "a". En el segundo paso aplico Diferencia de Cuadrados en el segundo término. Luego, queda (x - 5) como factor común.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 18





EJEMPLO 19:

x3 + x2 - 2 =

x3 + x2 - 1 - 1 =

x3 - 1 + x2 - 1 =

(x - 1).(x2 + x + 1) + (x + 1).(x - 1) =

(x - 1).(x2 + x + 1 + x + 1) =

(x - 1).(x2 + 2x + 2)


Con algo de inventiva nos damos cuenta de que -2 es igual a -1 -1, y eso nos serviría para poder aplicar el Sexto y el Quinto Caso con esas dos potencias de x. Luego de aplicar dichos casos, se puede sacar factor común (x - 1). El trinomio de segundo grado que queda no se factoriza, porque sus raíces son irracionales.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO
19



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


SOBRE LOS "EJERCICIOS COMBINADOS" DE FACTOREO:


¿A qué se le llama "ejercicios combinados" de factoreo?

A aquellos ejercicios en donde, luego de aplicar algún Caso de factoreo, se puede volver a factorizar algunos de los "factores" que quedaron (¿qué es un factor?).
Luego de estudiar todos los Casos de Factoreo, nos darán este tipo de ejercicios donde "se puede factorizar varias veces". Por ejemplo:

5x2 - 5 =         Se puede ver claramente que hay factor común "5".

5.(x2 - 1) =     Saco factor común, y descubro que hay una diferencia de cuadrados.
    x     1

5.(x + 1).(x - 1)   Aplico Diferencia de Cuadrados, y ya no se puede factorizar más nada.


Factor Común es lo primero que hay que aplicar (si hay)

Para los ejercicios combinados, se recomienda primero que nada sacar Factor Común si lo hay. Y recién después analizar si hay otros Casos. Podría decirse que por dos razones:

- La mayoría de los ejercicios vienen combinados con algún factor común y recién después de extraerlo será "visible" otro Caso que haya.

- Aunque se pudiera aplicar otro Caso desde un principio, luego seguiría habiendo factor común y habría que sacarlo. Esto no sería práctico, ya que podría dispersarse el factor común en varios factores y habría que sacarlo para cada uno. Con unos ejemplos se entiende mejor:

4x2 - 4 =     

¿Qué pasa si aplico Diferencia de Cuadrados antes de sacar factor común "4"?

(2x + 2).(2x - 2) =

Resulta que ahora tengo factor común en dos lados. Tengo que sacar dos veces factor común en vez de una vez:

2.(x + 1).2.(x - 1) =

Y ahora quedaron dos factores comunes que saqué. Tengo que cambiar el orden y juntarlos:

4.(x + 1).(x - 1)

Así, se complicó un poco por no sacar el Factor Común "4" en primer lugar, antes de aplicar la Diferencia de Cuadrados. Otro ejemplo:

4x2 + 8x + 4 =
2x               2
     2.2x.2 = 8x

Si aplico Trinomio Cuadrado Perfecto en vez de sacar factor común "4", me queda así:

(2x + 2)2

Pero quedó factor común 2 dentro del cuadrado, entonces ahora hay que sacarlo:

[2.(x + 1)]2

Ya se ve cómo se va complicando, ya que hasta requirió el uso de corchetes, y encima ahora habría que aplicar el cuadrado, si se quiere que quede como es costumbre:

4.(x + 1)2

Esos son entonces ejemplos de lo que puede suceder si no aplicamos en primer lugar el Caso Factor Común.


¿Cuándo se termina de factorizar un polinomio?

Cuando en los factores que quedaron (¿qué es un factor?) ya no se pueda aplicar ningún Caso de Factoreo. ¿Y cómo sé cuándo en un polinomio no se puede aplicar ningún Caso? Bien, al tema de combinar Casos, aquí se suma la dificultad de reconocer cuando en un polinomio puede aplicar algún Caso de Factoreo. Porque cuando aprendemos Caso por Caso, practicamos con ejercicios del Caso que estamos viendo, y ya sabemos que se va a factorizar por ese Caso. Pero luego de verlos todos, nos dan un polinomio y... ¿cómo nos damos cuenta de cuál de los 6, 7 u 8 Casos se puede usar?
A la hora de encarar ejercicios combinados, debe ser una cuestión superada el tema del "reconocimiento" de Casos. Para eso, antes de hacer ejercicios combinados, conviene practicar con "ejercicios mezclados". Es decir, un grupo de ejercicios simples (para aplicar un sólo Caso), de los cuáles no se sepa de qué Caso son, y donde la principal consigna sea "reconocer el Caso" que se puede aplicar (Consultar en CLAVES PARA RECONOCER EL CASO).

Se podría decir que, en general, los polinomios que suelen quedar al final de un ejercicio, es decir los que ya no pueden factorizarse, son casi siempre:

- Polinomios de grado 1, cuando hay una sola letra: (x - 3), (x + 1), (2 - a), (3b + 1), etc. 

- Sumas de potencias pares: (x2 + 4), (1 + a2), (b4 + 9), (x2y2 + 1), etc.

- Trinomios de segundo grado que no pueden factorizarse por no tener raíces reales, o tener raíces irracionales. Es seguro que un trinomio que sea cociente en el Sexto Caso (cociente de la división), no será factorizable. Por ejemplo: (x2 + x + 1), (x2 - 2x + 4), etc. 

Pero esto apenas puede servir de referencias, ya que también hay otras posibilidades.


¿Cómo reconocer qué Caso de Factoreo se puede aplicar en un polinomio?

Cuando aprendemos cada Caso, debemos observar muy bien y tratar de recordar la "forma" que tienen los ejercicios de cada Caso. Eso nos dará la clave para luego, cuando tengamos que enfrentar un ejercicio sin saber de qué Caso es, reconocer el o los posibles Casos que pueden aplicarse. Casi siempre, debido a la "forma" del polinomio, sólo habrá una o dos posibilidades de Casos a elegir. Lo cuál hace que, con un poco de práctica, el reconocimiento sea casi instantáneo. 
El número de términos de un polinomio es la característica principal que nos servirá de clave para determinar cuál Caso le es aplicable:

1) FACTOR COMÚN: El polinomio puede tener cualquier número de términos. Es decir que, en cualquier polinomio que veamos podría haber Factor Común. Parecería que este dato no sirve de mucho, pero pensemos que si aprendimos bien el Caso, no debe ser dificultoso reconocer que haya factor común en un polinomio: Tiene que haber una letra que figure en todos los términos, y/o los números de todos los términos deben ser múltiplos de algún número.

2) FACTOR COMÚN EN GRUPOS: Tiene que tener un número par de términos (4, 6 u  8 términos). Recordemos que en este Caso hay que tomar grupos de igual número de términos, y eso sólo puede hacerse con los números pares.

3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Tiene que tener 3 términos. Luego, debe haber dos términos que sean "cuadrados" (¿qué es un cuadrado?): Si son letras, deben ser potencias pares; si son números, deben tener raíz cuadrada exacta- Ejemplo: a6x2 + 6a3x + 9

4) CUATRINOMIO CUBO PERFECTO: Tiene que tener 4 términos. Luego, debe haber dos términos que sean "cubos" (potencias terceras): Si son letras, deben ser potencias múltiplo de 3 (3, 6, 9, 12, etc.); si son números deben tener raíz cúbica exacta.
Ejemplo: a6x3 - 6a4x2 + 12a2x - 8

5) DIFERENCIA DE CUADRADOS: Tiene que tener 2 términos. Luego, debe ser una resta (diferencia), y de dos "cuadrados" (letras con exponente par, números con raíz cuadrada exacta). Ejemplo: x4y6 - 25a2

6) SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO ("Ruffini"): Tiene que tener 2 términos. Luego, deben ser dos potencias del mismo exponente: si hay un número, debe ser potencia de igual exponente que la letra. Ejemplo: x3 - 8, donde 8 es igual a 23.

7) TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO ("Cuadrática"): Tiene que tener 3 términos. Luego, debe tener un sólo tipo de letra. Uno de los términos debe tener la letra elevada al cuadrado, otro debe tener la letra sin elevar, y el otro término debe ser un número solo (sin letra). Por ejemplo: x2 + 3x + 2

8) FACTOREO CON GAUSS: El polinomio puede tener cualquier número de términos, pero uno de los términos debe ser un número solo (término independiente). Si bien se puede aplicar con cualquier número de términos, se aconseja dejar este Caso como último recurso. Es decir, primero analizar si se puede aplicar cualquiera de los otros Casos.
Ejemplo: 2x3 - 3x2 - 11x + 6

Parece mucho, pero veamos en unos ejemplos cómo con estas claves se descartan rápidamente los Casos que no se aplican, y siempre hay que analizar uno o dos Casos solamente.

Ejemplo 1:

36x2 - a6b4 =

Así es como hay que pensar: "Factor Común no hay. Tiene 2 términos, así que sólo puede ser el Quinto Caso o el Sexto Caso. Pero las potencias son todos cuadrados y es una resta. Mejor analizo si es una Diferencia de Cuadrados (5to Caso)".

Ejemplo 2:

x2 + 4x + 4 =

"Factor Común no hay. Como tiene 3 términos podría ser Trinomio Cuadrado Perfecto o el Séptimo Caso (con "cuadrática"). Primero analizo si es el Tercero. Y sino, pruebo si es el Séptimo. Si no es ninguno de esos, tampoco será con Gauss (¿por qué?)".

Ejemplo 3:

4x3  -  4x2  +  x - 1 =

"Factor común no hay. Como tiene 4 términos, podría ser un Cuatrinomio..., ya que hay potencias terceras ("cubos"). Y si no lo es, pruebo a ver si se puede sacar Factor Común en Grupos. De últimas, pruebo el Caso de Gauss".

Ejemplo 4:

x3 - 1 =

"Factor común no hay. Como tiene 2 términos hay dos Casos posibles: Quinto o Sexto. Pero como las potencias son impares, el Quinto no puede ser. Analizo si es el Sexto Caso".


¿Por qué digo que si en un trinomio de segundo grado no se puede aplicar el Tercer Caso ni el Séptimo, tampoco se podrá aplicar el Caso de Gauss?

Porque en el Caso de Factoreo con Gauss hay que buscar una raíz del polinomio. Y si el polinomio tiene raíces, se podrá aplicar, o Tercer Caso (Trinomio Cuadrado Perfecto) o Séptimo Caso (Trinomio de Segundo Grado). Es decir que, si previamente se trató de aplicar alguno de esos dos Casos y no se pudo factorizar, es porque el polinomio no tiene raíces. Y si no tiene raíces, tampoco se podrá aplicar el Factoreo con Gauss.
Entonces, si hemos aprendido el Tercer y Séptimo Caso, nunca llegaremos a factorizar un trinomio de segundo grado por Gauss; ya que, como se recomienda intentar primero con los otros dos Casos, se lo habrá logrado factorizar con alguno de ellos. Y si no se pudo por ninguno de esos dos Casos, no tiene sentido probar con Gauss, porque como lo dije antes: no se podrán encontrar raíces.  Por ejemplo:

x2 + 3x + 2 =

Tercer Caso no es. Aplico Séptimo Caso y encuentro que las raíces son: x1 = -1 y x2 = -2. Se puede entonces factorizar con el Séptimo Caso, y queda así:

(x + 1).(x + 2)

Esas dos raíces son las mismas que hubiera encontrado con Gauss (son "los números hacen que el polinomio dé cero", o "los números que hacen que el Resto de la división dé cero").

Otro ejemplo:

x2 + 10x + 25 =
x                 5
        2.x.5 = 10x


Es un Trinomio Cuadrado Perfecto, y la factorización queda así:

(x + 5)2

La raíz de este polinomio es -5, y es la misma que hubiera encontrado con el método de Gauss. Un Trinomio Cuadrado Perfecto tiene una sola raíz (raíz doble), y estando factorizado se le puede ver también la raíz:

(x - x1)2

En los ejemplos se puede ver que, si el polinomio tiene raíces, lo puedo factorizar por Tercer o por Séptimo Caso. Así que no hace falta llegar al Caso de Gauss. Y si no tuviera raíces, no se podría factorizar por Gauss (ya que lo que hacemos en Gauss es justamente buscar una raíz).

Sin embargo, hay cursos de Nivel Medio donde no se enseñan todos los Casos, y por ejemplo, si no ven el Séptimo Caso, ven el Caso de Gauss. En esos cursos, los trinomios que no son "cuadrados perfectos" los factorizan con Gauss, lo cual no parece muy apropiado porque la división por Ruffini es un poco "particular" para un dividendo de segundo grado. Quedaría así:


Raíz: -1

  | 1  3    2
  |
  |
-1|   -1   -2 
    1  2 |  0


Cociente: (x + 2)

Divisor: (x + 1)

Factorización: (x + 1).(x + 2)



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