EJERCICIOS COMBINADOS DE FACTOREO / EJERCICIOS RESUELTOS

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


SOBRE LOS "EJERCICIOS COMBINADOS" DE FACTOREO:


¿A qué se le llama "ejercicios combinados" de factoreo?

A aquellos ejercicios en donde, luego de aplicar algún Caso de factoreo, se puede volver a factorizar algunos de los "factores" que quedaron (¿qué es un factor?).
Luego de estudiar todos los Casos de Factoreo, nos darán este tipo de ejercicios donde "se puede factorizar varias veces". Por ejemplo:

5x² - 5 =         Se puede ver claramente que hay factor común "5".

5.(x² - 1) =     Saco factor común, y descubro que hay una diferencia de cuadrados.
    x     1

5.(x + 1).(x - 1)   Aplico Diferencia de Cuadrados, y ya no se puede factorizar más nada.


Factor Común es lo primero que hay que aplicar (si hay)

Para los ejercicios combinados, se recomienda primero que nada sacar Factor Común si lo hay. Y recién después analizar si hay otros Casos. Podría decirse que por dos razones:

- La mayoría de los ejercicios vienen combinados con algún factor común y recién después de extraerlo será "visible" otro Caso que haya.

- Aunque se pudiera aplicar otro Caso desde un principio, luego seguiría habiendo factor común y habría que sacarlo. Esto no sería práctico, ya que podría dispersarse el factor común en varios factores y habría que sacarlo para cada uno. Con unos ejemplos se entiende mejor:

4x² - 4 =     

¿Qué pasa si aplico Diferencia de Cuadrados antes de sacar factor común "4"?

(2x + 2).(2x - 2) =

Resulta que ahora tengo factor común en dos lados. Tengo que sacar dos veces factor común en vez de una vez:

2.(x + 1).2.(x - 1) =

Y ahora quedaron dos factores comunes que saqué. Tengo que cambiar el orden y juntarlos:

4.(x + 1).(x - 1)

Así, se complicó un poco por no sacar el Factor Común "4" en primer lugar, antes de aplicar la Diferencia de Cuadrados. Otro ejemplo:

4x² + 8x + 4 =
2x               2
     2.2x.2 = 8x

Si aplico Trinomio Cuadrado Perfecto en vez de sacar factor común "4", me queda así:

(2x + 2)²

Pero quedó factor común 2 dentro del cuadrado, entonces ahora hay que sacarlo:

[2.(x + 1)]²

Ya se ve cómo se va complicando, ya que hasta requirió el uso de corchetes, y encima ahora habría que aplicar el cuadrado, si se quiere que quede como es costumbre:

4.(x + 1)²

Esos son entonces ejemplos de lo que puede suceder si no aplicamos en primer lugar el Caso Factor Común.


¿Cuándo se termina de factorizar un polinomio?

Cuando en los factores que quedaron (¿qué es un factor?) ya no se pueda aplicar ningún Caso de Factoreo. ¿Y cómo sé cuándo en un polinomio no se puede aplicar ningún Caso? Bien, al tema de combinar Casos, aquí se suma la dificultad de reconocer cuando en un polinomio puede aplicar algún Caso de Factoreo. Porque cuando aprendemos Caso por Caso, practicamos con ejercicios del Caso que estamos viendo, y ya sabemos que se va a factorizar por ese Caso. Pero luego de verlos todos, nos dan un polinomio y... ¿cómo nos damos cuenta de cuál de los 6, 7 u 8 Casos se puede usar?
A la hora de encarar ejercicios combinados, debe ser una cuestión superada el tema del "reconocimiento" de Casos. Para eso, antes de hacer ejercicios combinados, conviene practicar con "ejercicios mezclados". Es decir, un grupo de ejercicios simples (para aplicar un sólo Caso), de los cuáles no se sepa de qué Caso son, y donde la principal consigna sea "reconocer el Caso" que se puede aplicar (Consultar en CLAVES PARA RECONOCER EL CASO).

Se podría decir que, en general, los polinomios que suelen quedar al final de un ejercicio, es decir los que ya no pueden factorizarse, son casi siempre:

- Polinomios de grado 1, cuando hay una sola letra: (x - 3), (x + 1), (2 - a), (3b + 1), etc. 

- Sumas de potencias pares: (x² + 4), (1 + a²), (b⁴ + 9), (x²y² + 1), etc.

- Trinomios de segundo grado que no pueden factorizarse por no tener raíces reales, o tener raíces irracionales. Es seguro que un trinomio que sea cociente en el Sexto Caso (cociente de la división), no será factorizable. Por ejemplo: (x² + x + 1), (x² - 2x + 4), etc. 

Pero esto apenas puede servir de referencias, ya que también hay otras posibilidades.


¿Cómo reconocer qué Caso de Factoreo se puede aplicar en un polinomio?

Cuando aprendemos cada Caso, debemos observar muy bien y tratar de recordar la "forma" que tienen los ejercicios de cada Caso. Eso nos dará la clave para luego, cuando tengamos que enfrentar un ejercicio sin saber de qué Caso es, reconocer el o los posibles Casos que pueden aplicarse. Casi siempre, debido a la "forma" del polinomio, sólo habrá una o dos posibilidades de Casos a elegir. Lo cuál hace que, con un poco de práctica, el reconocimiento sea casi instantáneo. 
El número de términos de un polinomio es la característica principal que nos servirá de clave para determinar cuál Caso le es aplicable:

1) FACTOR COMÚN: El polinomio puede tener cualquier número de términos. Es decir que, en cualquier polinomio que veamos podría haber Factor Común. Parecería que este dato no sirve de mucho, pero pensemos que si aprendimos bien el Caso, no debe ser dificultoso reconocer que haya factor común en un polinomio: Tiene que haber una letra que figure en todos los términos, y/o los números de todos los términos deben ser múltiplos de algún número.

2) FACTOR COMÚN EN GRUPOS: Tiene que tener un número par de términos (4, 6 u  8 términos). Recordemos que en este Caso hay que tomar grupos de igual número de términos, y eso sólo puede hacerse con los números pares.

3) TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Tiene que tener 3 términos. Luego, debe haber dos términos que sean "cuadrados" (¿qué es un cuadrado?): Si son letras, deben ser potencias pares; si son números, deben tener raíz cuadrada exacta- Ejemplo: a⁶x² + 6a³x + 9

4) CUATRINOMIO CUBO PERFECTO: Tiene que tener 4 términos. Luego, debe haber dos términos que sean "cubos" (potencias terceras): Si son letras, deben ser potencias múltiplo de 3 (3, 6, 9, 12, etc.); si son números deben tener raíz cúbica exacta.
Ejemplo: a⁶x³ - 6a⁴x² + 12a²x - 8

5) DIFERENCIA DE CUADRADOS: Tiene que tener 2 términos. Luego, debe ser una resta (diferencia), y de dos "cuadrados" (letras con exponente par, números con raíz cuadrada exacta). Ejemplo: x⁴y⁶ - 25a²

6) SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO ("Ruffini"): Tiene que tener 2 términos. Luego, deben ser dos potencias del mismo exponente: si hay un número, debe ser potencia de igual exponente que la letra. Ejemplo: x³ - 8, donde 8 es igual a 2³.

7) TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO ("Cuadrática"): Tiene que tener 3 términos. Luego, debe tener un sólo tipo de letra. Uno de los términos debe tener la letra elevada al cuadrado, otro debe tener la letra sin elevar, y el otro término debe ser un número solo (sin letra). Por ejemplo: x² + 3x + 2

8) FACTOREO CON GAUSS: El polinomio puede tener cualquier número de términos, pero uno de los términos debe ser un número solo (término independiente). Si bien se puede aplicar con cualquier número de términos, se aconseja dejar este Caso como último recurso. Es decir, primero analizar si se puede aplicar cualquiera de los otros Casos.
Ejemplo: 2x³ - 3x² - 11x + 6

Parece mucho, pero veamos en unos ejemplos cómo con estas claves se descartan rápidamente los Casos que no se aplican, y siempre hay que analizar uno o dos Casos solamente.

Ejemplo 1:

36x² - a⁶b⁴ =

Así es como hay que pensar: "Factor Común no hay. Tiene 2 términos, así que sólo puede ser el Quinto Caso o el Sexto Caso. Pero las potencias son todos cuadrados y es una resta. Mejor analizo si es una Diferencia de Cuadrados (5to Caso)".

Ejemplo 2:

x² + 4x + 4 =

"Factor Común no hay. Como tiene 3 términos podría ser Trinomio Cuadrado Perfecto o el Séptimo Caso (con "cuadrática"). Primero analizo si es el Tercero. Y sino, pruebo si es el Séptimo. Si no es ninguno de esos, tampoco será con Gauss (¿por qué?)".

Ejemplo 3:

4x³  -  4x²  +  x - 1 =

"Factor común no hay. Como tiene 4 términos, podría ser un Cuatrinomio..., ya que hay potencias terceras ("cubos"). Y si no lo es, pruebo a ver si se puede sacar Factor Común en Grupos. De últimas, pruebo el Caso de Gauss".

Ejemplo 4:

x³ - 1 =

"Factor común no hay. Como tiene 2 términos hay dos Casos posibles: Quinto o Sexto. Pero como las potencias son impares, el Quinto no puede ser. Analizo si es el Sexto Caso".


¿Por qué digo que si en un trinomio de segundo grado no se puede aplicar el Tercer Caso ni el Séptimo, tampoco se podrá aplicar el Caso de Gauss?

Porque en el Caso de Factoreo con Gauss hay que buscar una raíz del polinomio. Y si el polinomio tiene raíces, se podrá aplicar, o Tercer Caso (Trinomio Cuadrado Perfecto) o Séptimo Caso (Trinomio de Segundo Grado). Es decir que, si previamente se trató de aplicar alguno de esos dos Casos y no se pudo factorizar, es porque el polinomio no tiene raíces. Y si no tiene raíces, tampoco se podrá aplicar el Factoreo con Gauss.
Entonces, si hemos aprendido el Tercer y Séptimo Caso, nunca llegaremos a factorizar un trinomio de segundo grado por Gauss; ya que, como se recomienda intentar primero con los otros dos Casos, se lo habrá logrado factorizar con alguno de ellos. Y si no se pudo por ninguno de esos dos Casos, no tiene sentido probar con Gauss, porque como lo dije antes: no se podrán encontrar raíces.  Por ejemplo:

x² + 3x + 2 =

Tercer Caso no es. Aplico Séptimo Caso y encuentro que las raíces son: x₁ = -1 y x₂ = -2. Se puede entonces factorizar con el Séptimo Caso, y queda así:

(x + 1).(x + 2)

Esas dos raíces son las mismas que hubiera encontrado con Gauss (son "los números hacen que el polinomio dé cero", o "los números que hacen que el Resto de la división dé cero").

Otro ejemplo:

x² + 10x + 25 =
x                 5
        2.x.5 = 10x

Es un Trinomio Cuadrado Perfecto, y la factorización queda así:

(x + 5)²

La raíz de este polinomio es -5, y es la misma que hubiera encontrado con el método de Gauss. Un Trinomio Cuadrado Perfecto tiene una sola raíz (raíz doble), y estando factorizado se le puede ver también la raíz:

(x - x₁)²

En los ejemplos se puede ver que, si el polinomio tiene raíces, lo puedo factorizar por Tercer o por Séptimo Caso. Así que no hace falta llegar al Caso de Gauss. Y si no tuviera raíces, no se podría factorizar por Gauss (ya que lo que hacemos en Gauss es justamente buscar una raíz).

Sin embargo, hay cursos de Nivel Medio donde no se enseñan todos los Casos, y por ejemplo, si no ven el Séptimo Caso, ven el Caso de Gauss. En esos cursos, los trinomios que no son "cuadrados perfectos" los factorizan con Gauss, lo cual no parece muy apropiado porque la división por Ruffini es un poco "particular" para un dividendo de segundo grado. Quedaría así:


Raíz: -1

  | 1  3    2
  |
  |
-1|   -1   -2 
    1  2 |  0

Cociente: (x + 2)

Divisor: (x + 1)

Factorización: (x + 1).(x + 2)

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