Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EJERCICIOS RESUELTOS





EJEMPLO 1
: (Todos los términos son positivos)

x3   +   6x2   +   12x   +   8  =  (x + 2)3

x                                  2
         3.x2.2     3.x.22
          6x2         12x


Las bases son x y 2.
Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2
: (Con términos negativos)

x3   -   9x2   +   27x   -   27  =  (x - 3)3

x                                 -3
     3.x2.(-3)    3.x.(-3)2
        -9x2          27x


Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27.
Y los dos "triple-productos" dan bien.
El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3
: (Con todos los términos negativos)

-x3    -    75x    -    15x2    -    125 = (-x - 5)3

-x                                          -5
       3.(-x)2.(-5)   3.(-x).(-5)2
            -15x2        -75x


Las bases son -x y -5, ya que (-x)3 es igual a -x3, y (-5)3 es igual a -125. Los dos "triple-productos" dan con los signos correctos. El resultado es
(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Con fracciones)

x3   +   3/2 x2   +   3/4 x   +   1/8 = (x + 1/2)3

x                                        1/2
        3.x2. 1/2    3.x.(1/2)2
          3/2 x2       3/4 x

Las bases son x y 1/2, ya que (1/2)3 es igual a 1/8.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4





EJEMPLO 5: (Con un número multiplicando a la x3)

64x3  +  144x2  +  108x  +  27 = (4x + 3)3

4x                                   3
          3.(4x)2.3   3.4x.32
            144x2     108x

Las bases son 4x y 3. Porque (4x)3 es igual a 64x3, y 33 es igual a 27. El número que multiplica a la x3 debe ser también un cubo para que todo el término sea cubo. Y el 64 es cubo de 4.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5





EJEMPLO 6: (Con varias letras)

a3b3  +  3a2b2x  +  3abx +  x3 = (ab + x)3

ab                                     x
         3.(ab)2.x    3.ab.x2
          3a2b2x      3abx2

Las bases son ab y x. Ya que (ab)3 es igual a a3b3.
Para que un producto sea cubo, ambos factores deben ser cubos.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6





EJEMPLO 7: (Con potencias distintas de 3)


x6 +  6x4  +  12x2  +  8 = (x2 + 2)3

x2                           2
     3.(x2)2.2  3.x2.22
         6x4        12x2

Las bases son x2 y 2, ya que (x2)3 es igual a x6.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7





EJEMPLO 8: (Un ejemplo con todo)


3/4 x4y2    -    1/8 x6y3   + 1  -  3/2 x2y = (-1/2 x2y + 1)2

                    -1/2 x2y      1
3.(-1/2 x2y)2.1                      3.(- 1/2 x2y).12
3/4 x4y2                                        -3/2 x2y


En este ejemplo tenemos: varias letras, potencias distintas de 3, fracciones, términos negativos, el número "1"; y además está "desordenado". Las bases son -1/2 x2y, y 1. Ya que (-1/2 x2y)3 es igual a -1/8 x6y3; y 13 es igual a 1.


EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8





PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel Medio)



EJEMPLO 9:  ("Con cubos que no son cubos". O "Con raíces")


5x3    +    6x2     +    12 x    +    8 = ( x + 2)3

x                                                 2
          3.(x)2.2         3.x.22
             3..x2.2       12x
               6x2

El 5 no es cubo de ningún número racional, pero hay que tomarlo como cubo si se quiere factorizar este polinomio. Se puede hacer esto porque 5 en realidad sí es cubo de algo, es cubo de un número irracional: . Ya que ()3 = 5.


EXPLICACION DEL EJEMPLO 9





CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE EL CUARTO CASO DE FACTOREO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO

Nota: Antes de estudiar este caso, conviene aprender el Caso TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Porque el procedimiento es casi idéntico. La única diferencia es que aquí usamos otra fórmula, la fórmula para el "cubo" de un binomio.


¿Por qué el caso se llama Cuatrinomio Cubo Perfecto?

Cuatrinomio se le llama a cualquier polinomio que tiene 4 términos. Y "Cubo Perfecto", porque viene de elevar al cubo un binomio (no entiendo esta frase
), con la fórmula:

(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3       (¿qué es un "cubo"?) (no conozco esa fórmula
)


¿Cómo me doy cuenta de cuándo puedo aplicar este caso?

Primero que nada el polinomio tiene que tener 4 términos. Después, tiene que haber términos que puedan ser potencia tercera de algo (¿qué es una potencia?), como x3, 8, 1, a6, -27, etc. Cumplidas esas dos condiciones, puedo intentar aplicar el Caso, y puede verificarse o no que sea un "cubo perfecto".


¿Qué es eso de "verificar que es un cubo perfecto"? ¿Por qué "perfecto"?

Muchos polinomios pueden tener potencias terceras, pero se les llama "cubo perfecto" solamente a los que son resultado de elevar a un binomio a una potencia tercera. Es decir, a los que son resultado de usar la fórmula (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3. Por ejemplo:

(x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8      (¿cómo se aplica esta fórmula?)

Podemos decir que x3 + 6x2 + 12x + 8 es un "cubo perfecto", porque viene de elevar a la tercera al binomio (x + 2). En cambio hay otros polinomios de los que no se puede decir lo mismo, por ejemplo: x3 + y2 - 15x + 3xy no viene de elevar al cubo a ningún binomio.

Cuando aplicamos este Caso, tenemos que hacer un par de verificaciones para demostrar que nuestro polinomio cumple con todas las condiciones necesarias para ser un "cubo perfecto", es decir, para ser resultado de aplicar esa fórmula.


¿Qué condiciones tiene que cumplir el polinomio para ser "cubo perfecto"?

1) Tiene que tener dos términos que sean "cubos", es decir, potencia tercera de algo (número, letra o ambos). Por ejemplo, los siguientes términos son cubos:

x3
x6         porque (x2)3 es igual a x6       (Potencia de Potencia)
-x3        porque (-x)3 es igual a -x3     (¿por qué?)
8          porque 23 es igual a 8
-1         porque (-1)3 es igual a -1
27        porque 33 es igual a 27


2) Y luego tiene que verificar los dos "triple-productos" (¿qué es "triple-producto"?). En la explicación del EJEMPLO 1 se puede ver cómo se hace esa verificación.

Esos "triple-productos" son los que están en la fórmula del cubo de un binomio:

3.a2.b  y  3.a.b2

a y b son "las bases" (¿a qué se llama "bases"?), es decir los números o letras que "provienen" de esos "cubos" que hallamos en el punto 1). Por ejemplo, si en nuestro polinomio estaba x3, la base es x. Si estaba el -8, la base es -2 (son las que siempre pongo en rojo); etc.
Luego, hay que multiplicar de esta manera: "El número 3, por una de las bases al cuadrado, por la otra base" (3a2b y 3ab2). Y el resultado tiene que coincidir con alguno de los términos del polinomio que queremos factorizar, tal como en el caso TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. En este Caso, debemos hacerlo dos veces:

- En una de ellas, ponemos una de las bases al cuadrado y la otra no (por ejemplo, la "a" al cuadrado y la "b" no).
- Y en la otra hacemos al revés (la "b" al cuadrado, y la "a" no).

Los dos resultados que obtenemos tienen que estar en el polinomio que estamos tratando de factorizar, incluso el signo (+ o -) debe coincidir.

Cumplidas estas dos condiciones, podemos decir que nuestro polinomio "cumple con el Caso", y lo podemos factorizar como "la suma de las bases, elevada a la tercera": (a + b)3.

NOTA: Aquí no se pretende explicar el procedimiento, sino aclarar dudas, exponer conceptos, definiciones y justificaciones. Para aprender a aplicar el
Caso, consultar en la EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1.


¿Qué es un cubo?

Se le llama "cubo" a la potencia tercera, o potencia 3. Es decir, cuando elevamos a la potencia 3, decimos que estamos elevando "al cubo". Por ejemplo, cuando hacemos 23, estamos elevando a 2 "al cubo" (¿qué es una potencia?). Es un nombre que se le dá a esa potencia en particular, tal como a la potencia 2 se le llama "cuadrado".
Y en este tema le llamamos "cubo", a algo que esté elevado a la potencia tercera. Decimos por ejemplo:

"x3 es un cubo". Es el cubo de x.
"8 es un cubo". Es el cubo de 2. Porque 2 elevado a la 3 dá 8.
"1 es un cubo". Es el cubo de 1. Porque 1 elevado a a la 3 dá 1.
"a6 es un cubo". Es el cubo de a2. Porque a2 elevado a la 3, dá a6  (Potencia de Potencia).
"-27 es un cubo". Es el cubo de -3. Porque -3 elevado a la 3, dá -27

Es decir, lo mismo que hacíamos con "cuadrado".
Los nombres "cuadrado" y "cubo" hacen referencia por supuesto a la figura cuadrado y el cuerpo cubo que todos conocemos en geometría. Y tiene que ver con cómo se calcula la superficie de un cuadrado y el volumen de un cubo.


¿Qué es un "triple-producto"?

En este tema, le llamamos "los dos triples productos", a esos dos términos centrales que tiene la fórmula del cubo del binomio (a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3). Ellos son: 3.a2.b y 3.a.b2

Porque "Producto" se le llama en Matemática a la multiplicación. Y el "triple" de algo, es ese algo multiplicado por 3. Por ejemplo, el triple de "b" es "3.b". 
Entonces, se le llama "triple-producto" al "triple de una multiplicación", es decir, "una multiplicación, multiplicada por 3". En nuestro caso, tenemos "El triple de a2.b" y "El triple de a.b2". Recordemos que a y b son las bases de nuestros cubos, y que tenemos que efectuar esos dos triples productos para verificar que se encuentran en el polinomio que vamos a factorizar.


Elevar a la tercera a números negativos

Un número negativo, elevado a la potencia 3, dá como resultado un número negativo, ya que el exponente 3 es un número impar. Recordemos aquello que quizás aprendimos como regla: "Potencia impar de número negativo, dá resultado negativo. Potencia par de número negativo, dá resultado positivo". Y eso tiene que ver con el concepto de potencia, con las veces que el número se multiplica por sí mismo, y con la regla de los signos de la multiplicación. Veásmolo en un ejemplo:

(-2)3 es igual a (-2).(-2).(-2), lo que es igual a -8. Porque "Menos por menos, más. Y más por menos, es menos". El resultado es entonces negativo. (Regla de los signos)

Al multiplicar tres veces un número negativo, la regla de los signos nos lleva a un resultado negativo. Por eso, como decía en un párrafo allá arriba, (-x)3 es igual a -x3

(-x)3 es igual a (-x).(-x).(-x), lo que es igual a -x3.

Lo mismo pasa si elevamos a cualquier otra potencia impar. Al multiplicar el signo menos un número impar de veces, la regla de los signos nos conduce a un resultado negativo. En cambio al multiplicarlo un número par de veces, la regla nos lleva un resultado positivo.
(más sobre esto)


Fórmula para el cubo de un binomio. Ejemplos de aplicación.

Esta fórmula sirve para elevar a la tercera a una expresión de dos términos. Conviene saber cómo aplicar esta fórmula, antes de aprender el Caso de Factoreo que estamos tratando.

(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3

Ejemplos:

(x + 2)3 = x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8

(x - 1)3 = x3 + 3.x2.(-1) + 3.x.(-1)2 + (-1)3 = x3 - 3x2 + 3x - 1

(-x + 3)3 = (-x)3 + 3.(-x)2.3 + 3.(-x).32 + 33 = -x3 + 9x2 - 27x + 27

(-x - 4)3 = (-x)3 + 3.(-x)2.(-4) + 3.(-x).(-4)2 + (-4)3 = -x3 - 12x2 - 48x - 64

(x2 + 1)3 = (x2)3 + 3.(x2)2.1 + 3.x2.12 + 13 = x6 + 3x4 + 3x2 + 1

(2x + 3)3 = (2x)3 + 3.(2x)2.3 + 3.2x.32 + 33 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27

(ax + 2b)3 = (ax)3 + 3.(ax)2.2b + 3.ax.(2b)2 + (2b)3 = a3x3 + 6x2a2b + 12axb2 + 8b3


¿Por qué usamos solamente la fórmula de la suma elevada al cubo? ¿No hay fórmula para la resta?

En realidad hay 4 fórmulas posibles para el cubo de un binomio:

(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 - b3

(-a + b)3 = -a3 + 3.a2.b - 3.a.b2 + b3

(-a - b)3 = -a3 - 3.a2.b - 3.a.b2 - b3

Y se pueden usar para resolver el Caso. Pero, para eso habría que conocer muy bien las cuatro fórmulas, y mirar con mucha atención los signos de cada una, apelando mucho más a la memoria... Para quien recién empieza con el Caso, y tiene poco tiempo para aprenderlo, le resultará más fácil manejarse solamente con la fórmula de la suma, de la manera en que está explicado en el EJEMPLO 2 y EJEMPLO 3, y como se hizo también en el caso Trinomio Cuadrado Perfecto.
En realidad, quiero aclarar que la segunda y tercera fórmula son en realidad iguales, si cambiamos "a" por "b" y desordenamos. Pero no tiene sentido hilar tan fino aquí.


¿Tiene dos soluciones posibles este Caso, como lo tenía el Trinomio Cuadrado Perfecto?

No. La solución en este Caso de Factoreo es una sola. Y eso tiene que ver con el asunto "potencia par o potencia impar". En Trinomio cuadrado perfecto teníamos dos soluciones posibles, porque:

Elevar a (a + b)2 daba igual que (-a - b)2 ; y (a - b)2 daba igual que (-a + b)2

Y por eso también había solamente dos fórmulas para el Cuadrado de un Binomio
(más sobre esto). Por ser el cuadrado una potencia par (elevar a la 2), dá lo mismo cuando elevamos a un número positivo y su opuesto (por ejemplo 32 = 9 y (-3)2 = 9)). Dá lo mismo elevar a (a + b) y a (-a -b), porque (-a -b) es el opuesto a (a + b) (¿por qué?). Al elevarlos a una potencia par, dan el mismo resultado.

Pero no pasa lo mismo cuando elevamos a la potencia 3, porque el exponente 3 es un número impar. Por ejemplo: 23 dá 8, pero (-2)3 dá -8. No dá igual elevar a un número y su opuesto. Como vemos en las 4 fórmulas de allá arriba, los 4 resultados son diferentes. Entonces, dependiendo de los signos que tenga el Cuatrinomio, corresponderá a solamente uno de los binomios ((a + b), (a -  b), (-a + b), (-a - b)). O sea que el resultado de la factorización será solamente uno de esos cuatro.


¿Por qué (-a - b) es el opuesto de (a + b)?

Dijimos con anterioridad que el opuesto de un número o una expresión, es el mismo número o expresión con el signo contrario (+ ó -) (¿qué es el opuesto?). Entonces, el opuesto de (a + b) es igual a -(a + b). Pero, si sacamos el paréntesis, nos queda: -a - b. Ya que, cuando hay un signo menos delante de un paréntesis, al quitarlo deben quedar todos los términos con el signo contrario (regla para quitar paréntesis).


"Viene de elevar al cubo a un binomio"

Se dice que un polinomio de cuatro términos (cuatrinomio) es un "cubo perfecto", si se lo puede obtener como resultado de elevar a la potencia 3 a un polinomio de dos términos (binomio). Por ejemplo: El cuatrinomio  x3 + 6x2 + 12x + 8  es un "cubo perfecto", porque viene de elevar al binomio (x + 2) a la potencia tercera. Ya que:

(x + 2)3 = x3  +  6x2  +  12x  +  8    (Aplicar la fórmula del Cubo de un binomio )


"Reglas para quitar los paréntesis, corchetes o llaves"

Si el paréntesis tiene un signo "más" (+) delante, cada término queda con el signo que ya tenía. Por ejemplo:

2 + (-5x3 - x - 3x2 + 1) =    Cuando quito el paréntesis queda:

2 - 5x3 - x - 3x2 + 1

En cambio, si el paréntesis tiene un signo "menos" (-) delante, cada término queda con el signo contrario al que tenía. Por ejemplo:

3a - (4b - 2c - 5 + d) =      Cuando quito el paréntesis queda:

3a - 4b + 2c + 5 - d

Cabe aclarar que estamos hablando aquí de paréntesis que no están multiplicados ni divididos por nada, ni elevados a potencias. Si un paréntesis está multiplicado o dividido por algo, hay que aplicar la Propiedad Distributiva. Pero eso no tiene que ver con el tema que aquí estamos tratando. Y habría que agregar que si un paréntesis no tiene nada delante hay que asumir que tiene un signo +, entonces se aplica lo que dije para un paréntesis que tiene el signo "+" adelante.


Potencias de números negativos

Si elevamos un número negativo a una potencia de exponente par (2, 4, 6, 8, etc.), el resultado será positivo. Si elevamos un número negativo a una potencia de exponente impar (1, 3, 5, 7 veces), el resultado será negativo. Veamos ejemplos:

Potencia 2:

(-3)2 es igual a (-3).(-3), y eso es igual a 9, un número positivo. Porque "menos por menos, más". Al elevar a la potencia segunda, que es un número par (2), estoy multiplicando por sí mismo dos veces al signo menos. Como "menos por menos es más", el resultado es positivo.

Potencia 4:

(-3)4 es igual a (-3).(-3).(-3).(-3), y eso es igual a 81, un número positivo. Porque "Menos por menos, más. Más por menos, menos. Y menos por menos, más"

En fin, cada vez que multiplico el signo menos un número par de veces (2, 4, 6, 8 veces), me termina dando "más", según la regla de los signos. Entonces, el resultado es positivo. En cambio con las potencias impares pasa esto:

(-2)3 es igual a (-2).(-2).(-2), y eso es igual a -8, un número negativo. Porque "Menos por menos, más. Y más por menos, menos". El resultado me dá negativo. Al multiplicar 3 veces el signo menos, obtengo "menos", según la regla de los signos. Y eso pasa cada vez que multiplico por una cantidad impar de veces (1, 3, 5, 7 veces, etc.)



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