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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1


EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)


x3 + 6x2  +  12x   +  8 = (x + 2)3

x                    
2
    3.x2.2  3.x.22
     6x2     12x

Las bases son x y 2. Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).
El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo".



EXPLICACIÓN:

1) Busco dos términos que sean "cubos" o "potencias terceras" (¿qué es un "cubo"?): Son x3 y 8. Porque, es evidente que x3 es "x elevado a la tercera". Y 8 es igual a "2 elevado a a la tercera", ya que 23 = 8. 
Bajo entonces las "bases" (¿a qué llamo las "bases"?), que son x y 2.

Nota: El término "6x2" no puede ser uno de los "cubos", por dos razones: El número 6 no tiene raíz cúbica exacta (¿qué es "raíz cúbica", y "exacta"?), y x2 no es una potencia tercera (¿por qué?). Y el término "12x" no puede ser "cubo", por dos razones: El número 12 no tiene raíz cúbica exacta, y "x" no es una potencia tercera.
(Los que no pueden ser "cubos")


2) Determinadas ya las dos bases (x y 2), efectúo los dos "triple-productos"
(¿qué es un triple-producto?):

3.x2.2          

(Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base: 3.a2.b)

Lo que dá como resultado: 6x2  (¿por qué?). Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x3 + 6x2 + 12x + 8). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:

3.x.22

(Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado: 3.a.b2)

Lo que dá como resultado 12x (¿por qué?). Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el tercer término (x3 + 6x2 + 12x + 8). "Dió bien". 

Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto", porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos". (conceptos)


3) El resultado de la factorización es, entonces:

(x + 2)3 

O sea: "la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".




CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Por qué busco "cubos", "bases", y verifico "triple-productos"?

Es por la fórmula del cubo de un binomio, que es así: (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3
Es una fórmula que me permite elevar a la tercera a una suma o resta de dos términos (binomio). Y en el resultado aparecen: "dos cubos" (a3 y b3) y "dos triple-productos" (3.a2.b y 3.a.b2) . El Caso se basa en esta fórmula. (más sobre esta fórmula)

Cuando tenemos que factorizar un polinomio de 4 términos (cuatrinomio), podemos sospechar que es el resultado de aplicar esa fórmula (a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3). Entonces, buscamos que nuestro polinomio concuerde con la forma que tiene ese resultado. Y esa forma consiste en: dos cubos, y dos triple-productos.
Por eso buscamos los 2 cubos; y si los hay, probamos los triple-productos con las bases de esos cubos (los dos "triple-productos"). Si los triple-productos dan correctamente, estamos ante un polinomio que es resultado de usar esa fórmula. Y entonces podemos decir que es igual a la suma de dos términos, elevada al cubo: (a + b)3.


¿Qué es raíz cúbica? ¿Por qué digo raíz cúbica "exacta"?

Así como a la potencia tercera se le llama "cubo", a la raíz de índice 3 se le llama "raíz cúbica". También se le dice "raíz tercera", o "raíz tres". Ejemplo: = 2.

Y cuando digo que 6 no tiene "raíz cúbica exacta", me refiero a que la raíz cúbica de 6 no dá un número entero ni racional, sino un número con infinitas cifras decimales (irracional). Basta usar la calculadora para ver el resultado: 1,81712059... Digo que no es "exacta", porque no hay ningún número (entero o racional) que elevado a la potencia 3 dé como resultado 6.


¿A qué números puede estar elevada una letra para que pueda ser una potencia tercera (o "cubo") que nos sirva en este tema?

Tiene que estar elevada a la 3, 6, 9, 12, etc. Es decir, a múltiplos de 3. Por ejemplo:

x3     es obviamente la potencia tercera o cubo de x

x6     es potencia tercera de x2. Porque (x2)3 es igual a x6   (potencia de potencia)

x9    es potencia tercera de x3. Porque (x3)3 es igual a x9

x12   es potencia tercera de x4. Porque (x4)3 es igual a x12

etc.

En cambio:

x2    no puede es una potencia tercera. Porque no puedo escribir a "2" como multiplicación del número 3 por otro número natural, que es lo que requiere la propiedad Potencia de Potencia. Es porque 2 no es múltiplo de 3.

x5   no es una potencia tercera, por la misma razón que la anterior.


Aclaración: Nos referimos solamente a las potencias que tienen como exponente un número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.), porque es lo que nos sirve para este tema que estamos viendo. Pero en realidad, fuera del conjunto de los número naturales, x2 y las otras sí podrían ser potencias terceras. Por ejemplo: x2 es igual a (x2/3)3. Pero ya estaríamos trabajando con exponentes fraccionarios, y no es lo que se suele ver en este tema. Aunque podría encontrarse en algún ejercicio más avanzado de este Caso de Factoreo.


Los que no pueden ser "cubos" (¿cómo los reconozco?)

6x2 no puede ser un cubo, porque 6 no tiene raíz cúbica exacta, y la x está elevada a la 2, que no es múltiplo de 3 (¿a qué números puede estar elevada la x para ser un cubo?)

12x no puede ser un cubo, porque 12 no tiene raíz cúbica exacta, y la x está elevada a la 1, que no es múltiplo de 3.

8x5 no puede ser cubo, porque si bien el 8 tiene raíz cúbica exacta, la x está elevada a la 5, que no es múltiplo de 3.

7x6 no puede ser cubo, porque 7 no tiene raíz cúbica exacta, aunque la x esté elevada a la 6 que sí es múltiplo de 3.

En los dos últimos ejemplos anteriores podemos observar que, para que una multiplicación sea "cubo", ambos factores (¿qué es un factor?) deben ser cubos (como pasaba con los cuadrados en el caso anterior). Y eso es por la misma Propiedad Distributiva entre la potencia y la multiplicación, según la cual:

(a.b)3 es igual a a3.b3

Por ejemplo:

(2.x)3 es igual a 23.x3, lo que es igual a 8x3.    (más sobre esto)

8x3 es un "cubo" entonces, porque viene de elevar a 2x al cubo. Y a su vez, también el 8 y la x3 son cubos cada uno por separado. Es decir que ambos factores de la multiplicación "8x3" son cubos. Ejemplos de multiplicaciones que son cubos:

27a3   (27 es cubo de 3, y a3 es cubo de a)
-64x6  (-64 es cubo de -4, y x6 es cubo de x2)
125b9  (125 es cubo de 5, y b9 es cubo de b3)


Multiplicaciones:

En nuestro ejemplo hicimos:

3.x2.2  

Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores (Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:

3.2.x2  

Lo que es igual a 6x2


Y el segundo triple-producto era:

3.x.22 ; que es igual a 3.x.4. Pero por la misma razón que en el otro, es igual a 3.4.x, lo que dá 12x.


Verificación de la factorización:

Ahora comprobemos que de verdad (x + 2)3 es igual a x3 + 6x2 + 12x + 8

- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):

(x + 2)3 = x3  + 3.x2.2  +  3.x.22  +  23 = x3  + 6x2  +  12x  +  8

- O usando el concepto de potencia:

(x + 2)3 = (x + 2).(x + 2).(x + 2) = (x2 + 2x + 2x + 4).(x + 2) = (x2 + 4x + 4).(x + 2) =

(x3 + 2x2 + 4x2 + 8x + 4x + 8) = x3 + 6x2 + 12x + 8

En la verificación precedente apliqué la Propiedad Distributiva: entre los dos primeros factores en un principio, y luego entre el resultado y el tercer factor.


¿Puede estar "desordenado" el cuatrinomio?

Por supuesto que los cubos y los triple-productos pueden estar en cualquier orden. Incluso el resultado lo podemos poner desordenado, dependiendo en qué orden encontremos las bases. Por ejemplo:

En vez de dar como solución de nuestro EJEMPLO 1 a (x + 2)3, podría haber dado como solución: (2 + x)3. Y eso es porque (x + 2) es igual a (2 + x). Veamos qué pasa si aplico la fórmula del cubo de un binomio a (2 + x):

(2 + x)3 = 23 + 3.22.x + 3.2.x2 + x3 = 8 + 12x + 6x2 + x3

Se puede ver que este resultado es igual al cuatrinomio de nuestro EJEMPLO 1, nada más que los términos están en distinto orden.

No caigamos por esto en la confusión de pensar que el caso dá dos resultados posibles (como sí pasaba en el Trinomio Cuadrado Perfecto). El resultado aquí es uno sólo, porque (x + 2) y (2 + x) son lo mismo. En los ejemplos que doy a continuación, hay algunos cuatrinomios "desordenados".


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1:


a3  +  12a2  +  48a  +  64  =  (a + 4)3

a                               4
       3.a2.4     3.a.42
        12a2      48a


x3  +  27  +   9x2  +   27x  =  (x + 3)3

x       3
               3.x2.3    3.x.32
                 9x2       27x


1  +  y3  +  3y2  +  3y  =  (1 + y)3

1      y
              3.y.12   3.y2.1
                3y      3y2


15x2   +  125  +  75x  +  x3(5 + x)3

              5                  x
3.x2.5              3.x.52
 15x2                75x




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
CUARTO CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2 (Con algunos términos negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a la x3)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son cubos". O "con raíces")



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