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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3
EJEMPLO 3: (Con todos los términos negativos)
-x3 - 75x -
15x2 - 125 = (-x - 5)3
-x
-5
3.(-x)2.(-5) 3.(-x).(-5)2
-15x2
-75x
Las bases son -x y -5, ya que (-x)3 es igual a -x3,
y (-5)3 es igual a -125. Los dos "triple-productos"
dan con los signos correctos.
El resultado de la factorización es
(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.
EXPLICACIÓN:
Para más detalle sobre lo que se hace en cada paso, consultar en las
explicaciones de los EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2.
1) Los cubos aquí son -x3
y -125. Porque, -x3 es
cubo de -x, ya que (-x)3 dá como resultado -x3. Y -125 es
cubo de -5, ya que (-5)3 = -125. Las "bases"
son entonces -x y -5.
2) Determinadas ya las dos bases (-x y -5), efectúo los dos "triple-productos":
3.(-x)2.(-5)
("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base":
3.a2.b)
Lo que dá como resultado: -15x2 (¿por
qué?). Miro el polinomio que tenía
que factorizar, y veo que este término está: es el tercer término (-x3 - 75x - 15x2 - 125).
"Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.(-x).(-5)2
("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al
cuadrado": 3.a.b2)
Lo que dá como resultado -75x (¿por
qué?). Miro el polinomio, y veo que
ese término está: es el segundo término (-x3 - 75x
- 15x2 - 125). "Dió
bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en
consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un
"cuatrinomio cubo perfecto", porque cumple con todo lo que tiene
que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los
dos triple-productos".
3) El resultado de la factorización es, entonces, (-x + (-5))3,
que es igual a:
(-x - 5)3
O sea:
"la suma de las bases, elevada a la potencia tercera"
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar
también en el EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2
¿Qué tiene de diferente este Ejemplo, respecto al Ejemplo 2?
En este ejemplo, TODOS los términos son negativos. Esto pasa porque ambas bases son negativas. Recordemos que al elevar
un número negativo a la potencia tercera, el resultado es negativo. Por
ejemplo:
(-5)3 es igual a -125
Nuestros cubos eran "-x3" y "-125", entonces nuestras bases
son "-x" y "-5". Luego, cuando verificamos los dos triple-productos, tenemos
que respetar a esas bases como negativas al reemplazar:
En 3.a2.b tuvimos que reemplazar así: 3.(-x)2.(-5). Y por eso nos dió
-15x2. Y en 3.a.b2, tuvimos que reemplazar así: 3.(-x).(-5)2.
Sino, no nos hubieran dado los resultados
con el signo correcto. Es lo mismo que hacíamos en
Trinomio cuadrado perfecto cuando había un término negativo. Pero con la
diferencia que ahora, ya desde el "cubo", podemos ver que la
base es negativa. Porque a -125 le corresponde -5, y ningún otro. Lo
mismo para -x3, que sólo puede venir de elevar al cubo a -x.
Multiplicaciones:
En nuestro ejemplo hicimos:
3.(-x)2.(-5)
Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores
(Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:
3.(-5).(-x)2
Lo que es igual a -15x2
Y el segundo triple-producto era:
3.(-x).(-5)2 ; que es igual a -3.x.25. Pero por la misma razón que en
el otro, es igual a -3.25.x, lo que dá -75x.
Verificación de la factorización:
Ahora comprobemos que de verdad (-x - 5)3 es igual a -x3 - 75x - 15x2 - 125:
- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):
(-x - 5)3 = (-x)3 + 3.(-x)2.(-5)
+ 3.(-x).(-5)2 + (-5)3 =
x3 - 15x2 - 75x - 125
- O usando el concepto de potencia:
(-x - 5)3 = (-x - 5).(-x - 5).(-x - 5) =
(x2 + 5x +
5x + 25).(x - 5) =
(x2 + 10x + 25).(-x - 5) =
(-x3 -
5x2 -10x2 - 50x - 25x - 125) =
-x3
- 15x2 - 75x - 125
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 3:
-a3
- 12a2 - 48a
- 64 = (-a -
4)3
-a
-4
3.(-a)2.(-4) 3.(-a).(-4)2
-12a2
-48a
-x3 -
8 - 6x2
- 12x = (-x - 2)3
-x -2
3.(-x)2.(-2) 3.(-x).(-2)2
-6x2 12x
-1 - y3 -
3y2 -
3y = (-1 - y)3
-1 -y
3.(-1).(-y)2 3.(-1)2.(-y)
-3y2
-3y
-15x2
- 125 -
75x - x3 = (-5 - x)3
-5
-x
3.(-5).(-x)2 3.(-5)2.(-x)
-15x2
-75x
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
CUARTO CASO:
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
(Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos
negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a
la x3)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son
cubos". O "con raíces")
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