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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4


EJEMPLO 4: (Con fracciones)


x3   +   3/2 x2   +   3/4 x   +   1/8 = (x + 1/2)3

x                                        1/2
        3.x2. 1/2     3.x.(1/2)2
         3/2 x2         3/4 x

Las bases son x y 1/2, ya que (1/2)3 es igual a 1/8.



EXPLICACIÓN:

Para más detalle sobre lo que se hace en cada paso, consultar en las explicaciones de los EJEMPLO 1 y EJEMPLO 2.


1) Los cubos aquí son x3 y 1/8. Porque, x3 es evidentemente cubo de x. Y 1/8 es cubo de 1/2, ya que (1/2)3 = 1/8 (¿por qué?). Las "bases" son entonces x y 1/2.


2) Determinadas ya las dos bases (x y 1/2), efectúo los dos "triple-productos":

3.x2.(1/2)    ("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base": 3.a2.b)

Lo que dá como resultado: 3/2 x2 (¿por qué?). Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (x3 + 3/2 x2 + 3/4 x + 1/8). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:


3.x.(1/2)2    ("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado": 3.a.b2)

Lo que dá como resultado 3/4 x (¿por qué?). Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el tercer término (x3 + 3/2 x2 + 3/4 x + 1/8). "Dió bien".


Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos".


3) El resultado de la factorización es, entonces:

(x + 1/2)3 

O sea: "la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar también en el EJEMPLO 1 y EJEMPLO 2


¿Qué tiene de particular este ejemplo? ¿Cómo reconozco si una fracción es "cubo"?

Algunos de los términos son fracciones. Y eso es porque alguna de las bases es una fracción. Para que una fracción sea "cubo", tienen que ser cubos tanto su numerador (el número de arriba) como su denominador (el número de abajo). Por ejemplo:

27/8  es cubo, porque 27 es cubo (de 3), y 8 es cubo (de 2)

1/125  es cubo, porque 1 es cubo (de 1), y 125 es cubo (de 5)

-64/27  es cubo, porque -64 es cubo (de -4), y 27 es cubo (de 3)

etc.


Podemos asociar esto con el procedimiento que seguimos para elevar una fracción al cubo (o a cualquier potencia). Solemos decir "elevo el de arriba y elevo el de abajo". Así:

(2/5)3 = 23 / 53 =  8/125

Ahí se puede ver claramente, que si elevé al cubo "al de arriba" y "al de abajo", los dos son ahora necesariamente cubos. Justamente porque los elevé al cubo.
Lo que estamos haciendo en realidad, al elevar de esa manera, es usar la Propiedad Distributiva entre la potencia y la división (o cociente). Porque la fracción es una división. Y si le aplicamos una potencia, podemos "distribuir" esa potencia.
En una potencia "chica", como la potencia tercera, podemos ver la validez de esa propiedad, aplicando el concepto de potencia a un ejemplo:

(2/5)3 = 2/5 . 2/5 . 2/5 = 2.2.2 / 5.5.5 = 23 / 53

Ya que en la multiplicación de fracciones, hay que multiplicar: "el de arriba con el de arriba, y el de abajo con el de abajo". Y si multiplico tres veces, estoy elevando a la tercera (concepto de potencia).


Multiplicaciones en los "triple-productos":

En nuestro ejemplo hicimos:

3.x2.(1/2)  

Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores (Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:

3.(1/2).x2  

Lo que es igual a 3/2 x2


Y el segundo triple-producto era:

3.x.(1/2)2 ; que es igual a 3.x.(1/4) (¿por qué?). Pero por la misma razón que en el otro, es igual a 3.(1/4).x, lo que dá 3/4 x.


¿Cómo se "elevan" las fracciones?

"Elevo el de arriba y elevo el de abajo". Por ejemplo:

(5/2)3 es igual a 125/8. Porque "5 elevado a la tercera es 125, y 2 elevado a la tercera es 8"

(1/2)3 es igual a 1/8. Porque "1 elevado a la tercera dá 1, y 2 elevado a la tercera dá 8".

Lo que estamos haciendo es usar la Propiedad Distributiva entre la potencia y la división, ya que una fracción es una división. En una potencia "chica", como la potencia tercera, también podemos hacerlo usando el concepto de potencia:

(5/2)3 es igual a 5/2 . 5/2 . 5/2, lo que es igual a 125/8

(1/3)3 es igual a 1/3 . 1/3 . 1/3, lo que es igual a 1/27


Verificación de la factorización:

Ahora comprobemos que de verdad (x + 1/2)3 es igual a x3 + 3/2 x2 + 3/4 x + 1/8 :

- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):

(x + 1/2)3 = x3  + 3.x2.(1/2)  +  3.x.(1/2)2  +  (1/2)3 = x3 + 3/2 x2 + 3/4 x + 1/8

- O usando el concepto de potencia:

(x + 1/2)3 = (x + 1/2).(x + 1/2).(x + 1/2) =
(x2 + 1/2 x + 1/2 x + 1/4).(x + 1/2) = 
(x2 + x + 1/4).(x + 1/2) =
(x3 + 1/2 x2 + x2 + 1/2x + 1/4x + 1/8) =
x3 + 3/2 x2 + 3/4x + 1/8


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 4:


a3    +    4a2     +    48/9 a     +     64/27  =  (a + 4/3)3

a                                                4/3
       3.a2.(4/3)     3.a.(4/3)2
            4a2            48/9 a



x3   +   8/125     +     6x2    +    12x    =    (x + 2/5)3

x           2/5
                          3.x2.(2/5)    3.x.(2/5)2
                             6/5 x2       12/25 x



1/343   +   y3     +    3y2    +    3y    =    (1/7 + y)3

  1/7         y
                      3.(1/7).y2    3.(1/7)2.y
                         3/7 y2        3/49 y



15x2    +    125/8   +   75x    +    x3   =   (5/2 + x)3

                  5/2                       x
3.(5/2).x2              3.(5/2)2.x
 15/2 x2                  75/4 x




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
CUARTO CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a la x3)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son cubos". O "con raíces")



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