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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5
EJEMPLO 5: (Con un número multiplicando a la x3)
64x3 + 144x2 + 108x + 27 = (4x
+ 3)3
4x 3
3.(4x)2.3
3.4x.32
144x2 108x
Las
bases son 4x y 3. Porque (4x)3 es igual a 64x3, y 33
es igual a 27. El número que multiplica a la x3 debe ser también un cubo
para que todo el término sea cubo. Y el 64 es cubo de 4.
EXPLICACIÓN:
Para más detalle, consultar en las
explicaciones de los EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2.
1) Los cubos aquí son 64x3
y 3. Porque, 64x3 es cubo de
4x, ya que (4x)3 es igual a 64x3 (¿por
qué?). Y 27 es
cubo de 3, ya que 33 es igual a 27. Las "bases"
son entonces 4x y
3.
2) Determinadas ya las dos bases (4x y 3), efectúo los dos "triple-productos":
3.(4x)2.3
("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base":
3.a2.b)
Lo que dá como resultado: 144x2 (¿por
qué?). Miro el polinomio que tenía
que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (64x3 + 144x2 + 108x + 27).
"Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.4x.32
("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al
cuadrado": 3.a.b2)
Lo que dá como resultado 108x (¿por
qué?). Miro el polinomio, y veo que
ese término está: es el segundo término (64x3 + 144x2 + 108x + 27). "Dió
bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir,
en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un
"cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene
que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los
dos triple-productos".
3) El resultado de la factorización es, entonces:
(4x + 3)3
O sea:
"la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar
también en el EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2
¿Qué tiene de particular este ejemplo? ¿Cómo reconozco si una
multiplicación es cubo?
El término 64x3 es cubo, y está compuesto por dos factores:
el 64 y la x3. Y en los ejemplos
precedentes no se presentaban cubos con esa forma. Éso es lo nuevo que
este ejemplo tiene. Para nuestro caso, reconocemos que una multiplicación es cubo, cuando los
dos factores son cubos. Por ejemplo:
64x3 es cubo, porque 64 es cubo (de 4), y x3 es cubo
(de x)
8a3 es cubo, porque 8 es cubo (de 2), y a3 es cubo
(de a)
1/27 y3 es cubo, porque 1/27 es cubo (de 1/3), y y3
es cubo (de y)
Y eso tiene que ver con el procedimiento que usamos para elevar al cubo (o
a cualquier potencia), a una multiplicación: "Elevo uno y elevo el
otro". Lo que es en realidad la aplicación de la Propiedad
Distributiva entre la potencia y la multiplicación:
(a.b)n = an.bn
Y para la potencia tercera:
(a.b)3 = a3.b3
Se puede ver así que los dos factores del resultado son cubos (a3
y b3). Es decir que, cuando elevo una multiplicación al cubo
((a.b)3), obtengo dos cubos (a3 y b3). Y
al revés: si tengo una multiplicación de dos cubos (8.x3 por
ejemplo), puedo decir que viene
de elevar al cubo a una multiplicación de dos factores (2.x en nuestro
ejemplo). Puedo decir que esa multiplicación (8.x3) es un cubo.
Multiplicaciones en los "triple-productos":
En nuestro ejemplo hicimos:
3.(4x)2.3 , que es igual a 3.16.x2.3
(¿por qué?)
Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores
(Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:
3.16.3.x2
Lo que es igual a 144x2
Y el segundo triple-producto era:
3.4x.32 ; que es igual a 3.4x.9. Pero por la misma razón que en
el otro, es igual a 3.4.9.x, lo que dá 108x.
Multiplicaciones al cuadrado y multiplicaciones al cubo:
(4x)2 es igual a 42.x2, como expliqué
también en el Tercer Caso de Factoreo. Y es a causa de la Propiedad
Distributiva entre la Potencia y la Multiplicación (Potencia
de un Producto). Y luego, 42.x2 es igual a
16x2.
Y lo mismo con:
(4x)3, que es igual a 43.x3, por esa
misma propiedad, ya que vale para cualquier potencia. Y luego, 43.x3 es igual a
64x3.
Verificación de la factorización:
Ahora comprobemos que de verdad (4x + 3)3 es igual a 64x3 + 144x2 + 108x + 27:
- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):
(4x + 3)3 = (4x)3 + 3.(4x)2.3
+ 3.4x.32 + 33 =
64x3 +
3.16x2.3 + 108x + 27 =
64x3 + 144x2 + 108 x + 27
- O usando el concepto de potencia:
(4x + 3)3 = (4x + 3).(4x + 3).(4x + 3) =
(16x2 + 12x + 12x + 9).(4x + 3) =
(16x2 + 24x + 9).(4x + 3) =
(64x3
+ 48x2 + 96x2 + 72x + 36x + 27) =
64x3
+ 144x2 + 108x + 27
Más ejercicios resueltos, similares al Ejemplo 5:
8a3
+ 48a2 + 96
a + 64 = (2a
+ 4)3
2a 4
3.(2a)2.4
3.2a.42
3.4a2.4
96a
48a2
27x3 +
125 + 135x2
+ 225x = (3x + 5)3
3x
5
3.(3x)2.5
3.3x.52
3.9x2.5
225x
135x2
343 + 125y3
+ 525y2 + 735y = (7 +
5y)3
7
5y
3.7.(5y)2 3.72.5y
3.7.25.y2 735y
525y2
15/4 x2
+ 125 + 75/2 x +
1/8 x3 = (5
+ 1/2 x)3
5
1/2 x
3.5.(1/2 x)2 3.52.
1/2 x 3.5. 1/4 x2 75/2 x
15/4 x2
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
CUARTO CASO:
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
(Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos
negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son
cubos". O "con raíces")
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