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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5


EJEMPLO 5: (Con un número multiplicando a la x3)


64x3  +  144x2  +  108x  +  27 = (4x + 3)3

4x                                   3
           3.(4x)2.3   3.4x.32
            144x2     108x

Las bases son 4x y 3. Porque (4x)3 es igual a 64x3, y 33 es igual a 27. El número que multiplica a la x3 debe ser también un cubo para que todo el término sea cubo. Y el 64 es cubo de 4.



EXPLICACIÓN:

Para más detalle, consultar en las explicaciones de los EJEMPLO 1 y EJEMPLO 2.


1) Los cubos aquí son 64x3 y 3. Porque, 64x3 es cubo de 4x, ya que (4x)3 es igual a 64x3 (¿por qué?). Y 27 es cubo de 3, ya que 33 es igual a 27. Las "bases" son entonces 4x y 3.


2) Determinadas ya las dos bases (4x y 3), efectúo los dos "triple-productos":

3.(4x)2.3      ("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base": 3.a2.b)

Lo que dá como resultado: 144x2 (¿por qué?). Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (64x3  + 144x2 +  108x  +  27). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:

3.4x.32        ("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado": 3.a.b2)

Lo que dá como resultado 108x (¿por qué?). Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el segundo término (64x3  +  144x2  + 108x  +  27). "Dió bien".

Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos".


3) El resultado de la factorización es, entonces:

(4x + 3)3 

O sea: "la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".




CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar también en el EJEMPLO 1 y EJEMPLO 2


¿Qué tiene de particular este ejemplo? ¿Cómo reconozco si una multiplicación es cubo?

El término 64x3 es cubo, y está compuesto por dos factores: el 64 y la x3. Y en los ejemplos precedentes no se presentaban cubos con esa forma. Éso es lo nuevo que este ejemplo tiene. Para nuestro caso, reconocemos que una multiplicación es cubo, cuando los dos factores son cubos. Por ejemplo:

64x3 es cubo, porque 64 es cubo (de 4), y x3 es cubo (de x)

8a3 es cubo, porque 8 es cubo (de 2), y a3 es cubo (de a)

1/27 y3 es cubo, porque 1/27 es cubo (de 1/3), y y3 es cubo (de y)


Y eso tiene que ver con el procedimiento que usamos para elevar al cubo (o a cualquier potencia), a una multiplicación: "Elevo uno y elevo el otro". Lo que es en realidad la aplicación de la Propiedad Distributiva entre la potencia y la multiplicación:

(a.b)n = an.bn

Y para la potencia tercera:

(a.b)3 = a3.b3

Se puede ver así que los dos factores del resultado son cubos (a3 y b3). Es decir que, cuando elevo una multiplicación al cubo ((a.b)3), obtengo dos cubos (a3 y b3). Y al revés: si tengo una multiplicación de dos cubos (8.x3 por ejemplo), puedo decir que viene de elevar al cubo a una multiplicación de dos factores (2.x en nuestro ejemplo). Puedo decir que esa multiplicación (8.x3) es un cubo.


Multiplicaciones en los "triple-productos":

En nuestro ejemplo hicimos:

3.(4x)2.3 , que es igual a 3.16.x2.3   (¿por qué?)

Pero al ser una multiplicación, puedo cambiar el orden de los factores (Propiedad Conmutativa). Entonces, lo anterior es igual a:

3.16.3.x2  

Lo que es igual a 144x2


Y el segundo triple-producto era:

3.4x.32 ; que es igual a 3.4x.9. Pero por la misma razón que en el otro, es igual a 3.4.9.x, lo que dá 108x.


Multiplicaciones al cuadrado y multiplicaciones al cubo:

(4x)2 es igual a 42.x2, como expliqué también en el Tercer Caso de Factoreo. Y es a causa de la Propiedad Distributiva entre la Potencia y la Multiplicación (
Potencia de un Producto). Y luego, 42.x2 es igual a 16x2.

Y lo mismo con:

(4x)3, que es igual a 43.x3, por esa misma propiedad, ya que vale para cualquier potencia. Y luego, 43.x3 es igual a 64x3.


Verificación de la factorización:

Ahora comprobemos que de verdad (4x + 3)3 es igual a 64x3  + 144x2  +  108x  + 27:

- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):

(4x + 3)3 = (4x)3  + 3.(4x)2.3  +  3.4x.32  +  33 =
64x3 + 3.16x2.3 + 108x + 27 =
64x3 + 144x2 + 108 x + 27

- O usando el concepto de potencia:

(4x + 3)3 = (4x + 3).(4x + 3).(4x + 3) =
(16x2 + 12x + 12x + 9).(4x + 3) =
(16x2 + 24x + 9).(4x + 3) =
(64x3 + 48x2 + 96x2 + 72x + 36x + 27) =
64x3 + 144x2 + 108x + 27


Más ejercicios resueltos, similares al Ejemplo 5:


8a3    +    48a2     +   96 a     +     64  =  (2a + 4)3

2a                                              4
          3.(2a)2.4       3.2a.42
           3.4a2.4          96a
             48a2


27x3   +   125     +   135x2    +   225x    =    (3x + 5)3

3x           5
                          3.(3x)2.5    3.3x.52
                           3.9x2.5       225x
                            135x2



343   +   125y3     +  525y2    +   735y    =    (7 + 5y)3

  7           5y
                            3.7.(5y)2    3.72.5y
                            3.7.25.y2      735y
                              525y2


15/4 x2    +    125   +   75/2 x    +    1/8 x3   =   (5 + 1/2 x)3

                     5                            1/2 x
3.5.(1/2 x)2             3.52. 1/2 x
3.5. 1/4 x2                 75/2 x
  15/4 x2




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
CUARTO CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 6 (Con varias letras)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son cubos". O "con raíces")



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