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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
/ EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 6:
(Con varias letras)
a3b3 + 3a2b2x
+ 3abx2 + x3 = (ab
+ x)3
ab
x
3.(ab)2.x
3.ab.x2
3a2b2x
3abx2
Las bases son ab y x. Ya que (ab)3 es igual a a3b3.
Para que un producto sea cubo, ambos factores deben ser cubos.
EXPLICACIÓN:
Para más detalle en la explicación, consultar en los EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2.
1) Los cubos aquí son a3b3
y x3. Porque, a3b3
es cubo de ab, ya que (ab)3 es igual a a3b3
(¿por
qué?). Y x3 es
evidentemente el cubo de x. Las "bases"
son entonces ab
y x.
2) Determinadas ya las dos bases (ab y x), efectúo los dos "triple-productos":
3.(ab)2.x
("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base":
3.a2.b)
Lo que dá como resultado: 3a2b2x (¿por
qué?). Miro el polinomio que tenía
que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (a3b3 + 3a2b2x
+ 3abx2 + x3).
"Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:
3.ab.x2
("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al
cuadrado": 3.a.b2)
Lo que dá como resultado 3abx2. Miro el polinomio, y veo que
ese término está: es el tercer
término (a3b3 + 3a2b2x
+ 3abx2 + x3). "Dió
bien".
Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir,
en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un
"cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene
que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los
dos triple-productos".
3) El resultado de la factorización es, entonces:
(ab + x)3
O sea:
"la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar
también en el EJEMPLO 1 y
EJEMPLO
2
"Con varias letras":
En este ejemplo, el polinomio no tiene como única letra a la
"x", tal como sucedía en los ejemplos anteriores. Ahora tenemos
3 letras diferentes: "x", "a" y "b". Y como
en el ejemplo anterior, para que una multiplicación de varias letras sea
cubo (en nuestro ejemplo a3b3), las dos letras
tienen que ser cubos. En este ejemplo se ve muy claramente (quién duda
que a3 y b3 son cubos obviamente). Pero también son
cubos, por ejemplo:
a6b9
x3a6
x9y9
Y otras combinaciones de letras donde cada una esté elevada a una
potencia que es múltiplo de 3. Esto ya fue explicado en EJEMPLO
5 - Multiplicación-Cubo.
Y para saber cuándo una potencia distinta de 3 es cubo, consultar en EJEMPLO
4 - Potencias-Cubos
El cuadrado y el cubo de una multiplicación:
(a.b)3 es igual a a3.b3. Como ya lo
expliqué en otras secciones, es por la Propiedad
Distributiva entre la
Potencia y la Multiplicación (Potencia
de un Producto).
Y por la misma razón:
(a.b)2 es igual a a2.b2
Verificación de la factorización:
Ahora comprobemos que de verdad (ab + x)3 es igual a
a3b3 + 3a2b2x
+ 3abx2 + x3:
- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):
(ab + x)3 = (ab)3 + 3.(ab)2.x
+ 3.ab.x2 + x3 =
a3b3 + 3a2b2x + 3abx2 +
x3 =
- O usando el concepto de potencia:
(ab + x)3 = (ab + x).(ab + x).(ab + x) = (a2b2 + abx + xab + x2).(ab + x) =
(a2b2 + 2abx + x2).(ab + x) = (a3b3
+ a2b2x + 2a2b2x + 2abx2
+ x2ab + x3) =
a3b3
+ 3a2b2x + 3abx2 + x3
Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 6:
8a3 + 12a2 +
6
a + x3 =
(2a
+ x)3
2a x
3.(2a)2.x 3.2a.x2
3.4a2.x 6ax2
12a2x
y3x3 +
125z3 + 15y2x2z
+ 75yxz = (yx + 5z)3
yx
5z
3.(yx)2.5z
3.yx.(5z)2
3.y2x2.5z
3.yx.25z2
15y2x2z
75yxz2
343 + a3y3
+ 21a2y2 + 147ay = (7 +
ay)3
7
ay
3.7.(ay)2 3.72.ay
3.7.a2.y2
147ay
21a2y2
3/4 abx2
+ a3b3 + 3/2
xa2b2 + 1/8 x3 = (5ab
+ 1/2 x)3
ab
1/2 x
3.ab.(1/2 x)2
3.(ab)2.
1/2 x 3.ab. 1/4 x2
3/2 xa2b2
3/4 abx2
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
CUARTO CASO:
CUATRINOMIO CUBO PERFECTO
Explicaciones de otros ejemplos:
EJEMPLO 1
(Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos
negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a la x3)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")
AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son
cubos". O "con raíces")
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