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CUATRINOMIO CUBO PERFECTO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6


EJEMPLO 6: (Con varias letras)


a3b3  +  3a2b2x  +  3abx +  x3 = (ab + x)3

ab                                     x
          3.(ab)2.x    3.ab.x2
           3a2b2x      3abx2

Las bases son ab y x. Ya que (ab)3 es igual a a3b3. Para que un producto sea cubo, ambos factores deben ser cubos.



EXPLICACIÓN:

Para más detalle en la explicación, consultar en los EJEMPLO 1 y EJEMPLO 2.


1) Los cubos aquí son a3b3 y x3. Porque, a3b3 es cubo de ab, ya que (ab)3 es igual a a3b3 (
¿por qué?). Y x3 es evidentemente el cubo de x. Las "bases" son entonces ab y x.


2) Determinadas ya las dos bases (ab y x), efectúo los dos "triple-productos":

3.(ab)2.x 

("Tres, por la primera base elevada al cuadrado, por la segunda base": 3.a2.b)

Lo que dá como resultado: 3a2b2x (¿por qué?). Miro el polinomio que tenía que factorizar, y veo que este término está: es el segundo término (a3b3  +  3a2b2x  +  3abx+  x3). "Dió bien". Ahora procedo a efectuar el segundo triple-producto:

3.ab.x2     

("Tres, por la primera base, por la segunda base elevada al cuadrado": 3.a.b2)

Lo que dá como resultado 3abx2. Miro el polinomio, y veo que ese término está: es el
tercer término (a3b3  +  3a2b2x  +  3abx2 +  x3). "Dió bien".


Así entonces "verifiqué los dos triple-productos". Puedo decir, en consecuencia, que el polinomio que estoy factorizando es un "cuatrinomio cubo perfecto". Porque cumple con todo lo que tiene que tener un cuatrinomio cubo perfecto: "dos cubos", y "los dos triple-productos".


3) El resultado de la factorización es, entonces
:

(ab + x)3

O sea: "la suma de las bases, elevada a la potencia tercera".



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Nota: Para aclarar más dudas y conceptos sobre este ejemplo, consultar también en el EJEMPLO 1 y EJEMPLO 2


"Con varias letras":

En este ejemplo, el polinomio no tiene como única letra a la "x", tal como sucedía en los ejemplos anteriores. Ahora tenemos 3 letras diferentes: "x", "a" y "b". Y como en el ejemplo anterior, para que una multiplicación de varias letras sea cubo (en nuestro ejemplo a3b3), las dos letras tienen que ser cubos. En este ejemplo se ve muy claramente (quién duda que a3 y b3 son cubos obviamente). Pero también son cubos, por ejemplo:

a6b9
x3a6
x9y9

Y otras combinaciones de letras donde cada una esté elevada a una potencia que es múltiplo de 3. Esto ya fue explicado en EJEMPLO 5 - Multiplicación-Cubo. Y para saber cuándo una potencia distinta de 3 es cubo, consultar en EJEMPLO 4 - Potencias-Cubos


El cuadrado y el cubo de una multiplicación:

(a.b)3 es igual a a3.b3. Como ya lo expliqué en otras secciones, es por la Propiedad Distributiva entre la Potencia y la Multiplicación (Potencia de un Producto). Y por la misma razón:

(a.b)2 es igual a a2.b2


Verificación de la factorización:

Ahora comprobemos que de verdad (ab + x)3 es igual a a3b3 +  3a2b2x +  3abx+  x3:

- Usando la fórmula del cubo de un binomio (fórmula):

(ab + x)3 = (ab)3  + 3.(ab)2.x  +  3.ab.x2  +  x3 =
a3b3 + 3a2b2x + 3abx2 + x3 =

- O usando el concepto de potencia:

(ab + x)3 = (ab + x).(ab + x).(ab + x) = (a2b2 + abx + xab + x2).(ab + x) =
(a2b2 + 2abx + x2).(ab + x) = (a3b3 + a2b2x + 2a2b2x + 2abx2 + x2ab + x3) =
a3b3 + 3a2b2x + 3abx2 + x3


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 6:


8a3   +   12a2     +    6 a     +     x3  =  (2a + x)3

2a                                           x
          3.(2a)2.x      3.2a.x2
           3.4a2.x         6ax2
           12a2x



y3x3   +   125z3   +   15y2x2z    +   75yxz    =    (yx + 5z)3

 yx           5z
                          3.(yx)2.5z       3.yx.(5z)2
                           3.y2x2.5z        3.yx.25z2
                            15y2x2z           75yxz2



343   +   a3y3     +  21a2y2   +   147ay    =    (7 + ay)3

  7           ay
                           3.7.(ay)2    3.72.ay
                           3.7.a2.y2      147ay
                             21a2y2


3/4 abx2     +    a3b3   +   3/2 xa2b2   +   1/8 x3   =   (5ab + 1/2 x)3

                       ab                               1/2 x
3.ab.(1/2 x)2               3.(ab)2. 1/2 x
3.ab. 1/4 x2                   3/2 xa2b2
 3/4 abx2



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
CUARTO CASO: CUATRINOMIO CUBO PERFECTO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Con todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Con algunos los términos negativos)
EJEMPLO 3 (Con todos los términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con un número multiplicando a la x3)
EJEMPLO 7 (Con potencias distintas de 3)
EJEMPLO 8 (Uno "con todo")

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con "cubos que no son cubos". O "con raíces")



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