DIFERENCIA DE CUADRADOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos")

36x² - a⁶b⁴ = (6x + a³b²).(6x - a³b²) 

6x      a³b²

Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.

EXPLICACIÓN:


1) Las bases son: 6x y a³b² (¿por qué?) (¿qué son las bases?). Ya que:

(6x)² es igual a 36x²          (¿por qué?)

(a³b²)² es igual a a⁶b⁴       (¿por qué?)


2) Pongo esas bases sumando y restando, entre paréntesis y multiplicándose. El resultado de la factorización es entonces:

(6x + a³b²).(6x - a³b²)         SUMA POR RESTA DE LAS BASES

Es decir: "Las bases sumadas, multiplicado por la bases restadas".

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del caso están en CONCEPTOS - DIFERENCIA DE CUADRADOS


¿Cómo reconozco los cuadrados en un ejemplo como éste? (Otra explicación) 

Reconozco a un multiplicación como cuadrado, cuando cada uno de sus factores ("las cosas que multiplican") son cuadrados. En este ejemplo:

36x² es una multiplicación: "36 por x²". Ya que si no hay signo alguno entre dos letras o número-letra hay que asumir que hay un signo "por".

El 36 es cuadrado. Es el cuadrado de 6. Ya que 6² es igual a 36.
Y x² es el cuadrado de x, obviamente.

Cada uno de los dos factores (36 y x²) es un cuadrado. Puedo darme cuenta entonces, que esa multiplicación (36x²) es cuadrado.

¿De dónde viene esto? Podemos pensar en la Propiedad Distributiva entre la Potencia y la Multiplicación, que dice:

(a.b)ⁿ = aⁿ.bⁿ

Y para la potencia "cuadrado":

(a.b)² = a².b²

Allí se puede ver que una multiplicación (a².b²) es cuadrado, ya que es igual a (a.b)². En nuestro ejemplo:

(6.x)² = 6².x² = 36x²

Alli se puede ver que 36x² es un cuadrado, porque es el cuadrado de 6.x. Porque cuando elevo al cuadrado a 6.x, obtengo 36x².

Otros ejemplos de multiplicaciones que son cuadrados:

25x²        es el cuadrado de 5x. Ya que (5x)² es igual a 5².x², lo que es igual a 25x²

16y⁴       es el cuadrado de 4y². Ya que (4y²)² es igual a 16.y⁴, lo que es igual a 16y⁴

4b⁶         es el cuadrado de 2b³. Ya que (2b³)² es igual a 2².b6, lo que es igual a 4b⁶

a²b⁸c²    es el cuadrado de (ab⁴c). Ya que (ab⁴c)² es igual a a².b⁸.c²

Cuando quiero determinar si una multiplicación es o no un cuadrado, tengo que mirar a cada cosa que multiplica y pensar "¿Es cuadrado de algo?". Si se trata de un número, como 36 en nuestro ejemplo, le puedo "sacar la raíz cuadrada" con la calculadora, para ver si dá "exacta" (¿exacta?). Si es así, el número es cuadrado. Y si se trata de una letra, tiene que ser una potencia de exponente par (2, 4, 6, 8, etc.), como ya lo he dicho en muchos otros comentarios (Ver en: ¿por qué tiene que ser una potencia par?). Como por ejemplo: x², x⁴, a⁶, y⁸, b¹⁰, etc.


¿Por qué (6x)² es igual a 36x², y (a³b²)² es igual a a⁶b⁴?

(6x)² es igual a 6².x², por la Propiedad Distributiva entre la Potencia y la Multiplicación. Y eso es igual a 36x².

O también:

(6x)² es igual a 6x.6x, por el Concepto de Potencia. Y 6x.6x es igual a 6.6.x.x (en la multiplicación se puede cambiar el orden), lo que es igual a 36x². (¿por qué x.x es igual a x²?)


(a³b²)² es igual a (a³)².(b²)², por la Propiedad Distributiva de la Potencia y la Multiplicación.
Y (a³)² es igual a a⁶, porque en la "Potencia de Potencia" se multiplican los exponentes. Lo mismo para (b²)², que dá como resultado b⁴. Entonces, (a³b²)² es igual a a⁶.b⁴ ó a⁶b⁴.

O también:

(a³b²)² es igual a (a³b²).(a³b²), por el Concepto de Potencia. Y (a³b²).(a³b²) es igual a a³.a³.b².b², porque "en la multiplicación se puede cambiar el orden". Eso es igual a a⁶.b⁴, porque "se suman los exponentes de las letras iguales", según una de las Propiedades de las Potencias de Igual Base (Propiedades)


¿Por qué x.x es igual a x²?

Por el Concepto de Potencia, "una cosa (la x), multiplicada por sí misma dos veces, es igual a esa cosa a la potencia 2". 

O como caso particular de Multiplicación de Potencias de Igual Base:

x.x es lo mismo que x¹.x¹. Como hay que sumar los exponentes, eso es igual a x¹⁺¹, o sea x².


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:  (¿Cómo se hacen estas "Distributivas"?)

(6x + a³b²).(6x - a³b²) = 36x² - 6xa³b² + 6xa³b² - a⁶b⁴ = 36x² - a⁶b⁴


Otros ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 6:

x²y⁴ - 1/4a² = (xy² + 1/2a).(xy² - 1/2a)

xy²     1/2a


81/16 b⁸ - x²a¹⁰ = (9/4 b⁴ + xa⁵).(9/4 b⁴ - xa⁵)

9/4 b⁴       xa⁵


49x⁸ - 9/100 y⁶z² = (7x⁴ + 3/10 y³z).(7x⁴ - 3/10 y³z)

7x⁴     3/10 y³z


a⁴b¹⁰ - 144x⁶ = (a²b⁵ + 12x³).(a²b⁵ - 12x³)

a²b⁵     12x³




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
QUINTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Fácil)
EJEMPLO 2 (Con dos letras)
EJEMPLO 3 (Con el número "1")
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con potencias distintas de 2)
EJEMPLO 7 (Con números decimales)
EJEMPLO 8 (Con la resta "al revés")
EJEMPLO 9 (Uno "con todo")
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)

Política de Privacidad - Contacto: matematicaylisto@gmail.com