CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del caso están en CONCEPTOS - DIFERENCIA DE CUADRADOS


¿Cómo puedo reconocer si un número decimal es un cuadrado?

1) Con la calculadora:

Podemos usar la calculadora para ver si el número decimal tiene raíz exacta (¿raíz exacta?). Por ejemplo:

= 0,3      
Entonces, 0,09 es cuadrado. Es el cuadrado de 0,3. Ya que (0,3)² es igual a 0,09.
En cambio:

= 0,632455532

Ese número llena la calculadora, y porque en realidad sus cifras decimales siguen hasta el infinito: Es un número irracional. En este caso, decimos que 0,4 "no es cuadrado", porque su raíz cuadrada es irracional. No hay ningún número racional (¿número racional?) que elevado al cuadrado de 0,4.


2) Conociendo ciertas reglas sobre los decimales y sus potencias (sólo para interesados):

Seguramente todos prefieren usar la calculadora. Pero también es posible darse cuenta si un decimal es cuadrado, si se conocen algunas cosas sobre las potencias y raíces de los números decimales. No voy a explicar ese tema, sino simplemente voy a proporcionarles algunas claves para reconocer un cuadrado en un número decimal.
Para que un número decimal sea cuadrado, hay que mirar que cumplan con estas dos pautas:

A- Tiene que tener un número par (2, 4, 6, 8, etc.) de cifras decimales. Por ejemplo: 

0,04 (tiene 2 cifras decimales); 0,0009 (4 cifras decimales); 1,44 (2 cifras decimales); 0,0121 (4 cifras decimales); 0,000001 (6 cifras decimales); etc.

Los ejemplos anteriores podrían ser cuadrados, pero además deben cumplir otra cosa:

B- El número, quitándole la coma y los ceros de adelante, tiene que ser un cuadrado. Es decir: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, etc. Esos cuadrados enteros que ya conocemos. En los ejemplos anteriores:

0,04 es cuadrado. Porque además de tener un número par de cifras decimales (dos), el 4 es un cuadrado (ya que 2² es 4)

0,0009 es cuadrado. Porque, además de tener un número par de cifras decimales (cuatro), el 9 es un cuadrado (ya que 3² es 9)

1,44 es cuadrado. Porque, además de tener un número par de cifras decimales (dos), el 144 es un cuadrado (ya que 12² es 144)


Estas dos condiciones sirven para reconocer al decimal como cuadrado o no. Pero ¿cómo calculamos la base (¿qué son las bases?). Lo voy a mostrar directamente en los ejemplos (ver varios para darse cuenta de la regla):

0,04 es cuadrado de 0,2. Para calcularlo mentalmente, lo pienso de la siguiente manera:

A- Calculo mentalmente la raíz cuadrada de 4, que es 2.

B- Divido por dos al número de cifras decimales que tiene el 0,04. Son dos cifras decimales, entonces: "2 dividido 2, igual a 1". El resultado de la raíz cuadrada de 0,04 tiene que tener una cifra decimal.

C- El resultado debe ser 0,2. Es decir: El 2 que hallé en el punto A, pero con una cifra decimal, por la división que hice en el punto B. Para que el 2 tenga una cifra decimal, le debo agregar adelante "cero coma". Así me quedó 0,2.

0,0009 es cuadrado de 0,03. Para calcularlo mentalmente, lo pienso de la siguiente manera:

A- Calculo mentalmente la raíz cuadrada de 9, que es 3.

B- Divido por 2 al número de cifras decimales que tiene el 0,0009. Como tiene 4 cifras decimales, hago: "4 dividido 2, igual a 2".

C- El resultado debe ser 0,03 entonces. El 3, con dos cifras decimales. Para eso le agrego los 2 ceros adelante.

0,000001 es cuadrado de 0,001. Como se puede ver, tiene la mitad de cifras decimales, y el número es la raíz cuadrada de 1: en este caso 1.

1,44 es cuadrado de 1,2. Porque la raíz cuadrada de 144 es 12. Y debo ponerle la mitad de las cifras decimales: la mitad de dos es una.

0,0121 es cuadrado de 0,11. Porque 11 es raíz cuadrada de 121. Y debo ponerle la mitad de las cifras decimales: La mitad de cuatro es dos. (más sobre decimales, potencias y raíces)


Esas reglas son para aplicarlas, pero sin saber por qué. Para entender por qué esto es así, hay que ponerse a calcular potencias de números decimales y observar los resultados:

0,5² es igual a 0,25. Mirando las cifras decimales de ambos números, se puede ver que se duplicó el número de cifras. Y eso tiene que ver con lo que pasa cuando se multiplican dos números decimales.

0,05² es igual a 0,0025. Mirar la cantidad de cifras decimales de ambos números: 2 y 4.

0,005² es igual a 0,000025. Mirar la cantidad de cifras: 3 y 6.

Al elevar al cuadrado a un decimal, el número de cifras se duplica. Entonces, para hacer hacer al revés, es decir calcular su raíz cuadrada o la "base del cuadrado", hay que dividir por dos a la cantidad de cifras decimales.


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:  (¿Cómo se hacen estas "Distributivas"?)

(x + 0,4).(x - 0,4) = x² - 0,4x + 0,4x - 0,16 = x² - 0,16

O con las fracciones:

(x + 2/5).(x - 2/5) = x² - 2/5 x + 2/5 x - 4/25 = x² - 4/25


Otros ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 7:

x² - 0,0001 = (x + 0,01).(x - 0,01)

x     0,01

x² - 1/10000 = (x + 1/100).(x - 1/100)

x      1/100


b⁸ - 2,25 = (b⁴ + 1,5).(b⁴ - 1,5)

b⁴    1,5

b⁸ - 225/100 = b⁸ - 9/4 = (b⁴ + 3/2).(b⁴ - 3/2)

                     b⁴    3/2


0,81 - y⁶ = (0,9 + y³).(0,9 - y³)

0,9    y³


81/100 - y6 = (9/10 + y³).(9/10 - y³)

9/10       y³




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
QUINTO CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Fácil)
EJEMPLO 2 (Con dos letras)
EJEMPLO 3 (Con el número "1")
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con potencias distintas de 2)
EJEMPLO 6 (Con términos compuestos)
EJEMPLO 8 (Con la resta "al revés")
EJEMPLO 9 (Uno "con todo")
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)

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