¿Por qué se llama "Diferencia de Cuadrados"?

"Diferencia" se le dice a la resta (¿por qué?). Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".
Por ejemplo, en x² - 4, tenemos al cuadrado x² que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".
(¿qué es un cuadrado?)


¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?

1) El polinomio tiene que tener 2 términos. 

2) Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo: x² - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo: -9 + a⁶. Ya que es lo mismo que a⁶ - 9. Es decir que debo ver que haya un término positivo y otro negativo, no importa el orden.

3) Los dos términos tienen que ser "cuadrados" (¿qué es un cuadrado?). Para reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. En la próxima pregunta hago un resumen de las posibilidades a la hora de identificar un "cuadrado".


¿Cómo reconozco si un término es un "cuadrado"?

Recordemos que son cuadrados:

1) Los números enteros que tienen raíz cuadrada exacta (¿"raíz exacta"?). Por ejemplo: 4, 9, 16, 1, 25, 36, 64, 100, etc. En particular, recordar que el número 1 es un cuadrado.
Y los número decimales cuya raíz cuadrada dé un número decimal exacto. Es decir, que al calcular su raíz en la calculadora, no se llene ésta de cifras decimales (¿que quiere decir esto?). Ejemplos de decimales que son cuadrados: 0,09; 0,01; 0,0001; 0,25; 0,64; 1,44; 0,0256; etc. 

2) Las letras elevadas a un exponente par. Por ejemplo: x², x⁴, x⁶, x⁸, x¹⁰, etc.

3) Las fracciones cuyo numerador y denominador son ambos "cuadrados". Es decir, que el número de arriba tiene raíz exacta, y el de abajo también. Por ejemplo: 4/9 , 25/64, 1/4, 49/100, etc.

4) Términos que tengan varias letras y todas ellas sean potencias "pares" (exponente = 2, 4, 6, 8, etc). O sea, que cada letra sea "cuadrado", como en el punto 2). Por ejemplo: a²b², x⁴y², a⁶y⁸, a¹⁰b⁴c², x⁸y1², etc.

5) Términos que tengan un número y una o más letras, siempre que el número tenga raíz exacta y las letras sean potencias pares (como en los puntos 1) y 2)). Por ejemplo: 9x², 100a⁴b⁶, 25x⁸y², 64a⁶x¹²y², etc. El número puede ser una fracción, y debe ser cuadrado por supuesto (ver punto 3)). Por ejemplo: 1/9 x⁴, 9/25 y²b⁸, etc. O también un número decimal, que cumpla con lo dice el punto 1). Por ejemplo: 0,04 x²; 0,0009 x⁶y², etc.

Más información sobre cuadrados en ¿qué es un cuadrado?


¿Cómo se factoriza una Diferencia de Cuadrados?

Identifico las bases (¿qué son las bases?), y el resultado de la factorización es: "La suma de las bases multiplicada por la resta de las bases", es decir: suma por resta de las bases. En letras:

a² - b² = (a + b).(a - b)

Donde a² y b² son los dos cuadrados, cuya forma es alguna de las indicadas en la pregunta anterior (¿cómo reconozco un cuadrado?). Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.

Por ejemplo, en 25x² - 100, los dos cuadrados son: 25x² y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se factoriza como (5x + 10).(5x - 10)


¿Por qué se factoriza de esa manera?

Como en toda factorización, buscamos transformar el polinomio en una multiplicación. Y resulta que una resta de dos cuadrados, proviene siempre de una multiplicación entre una suma y una resta de sus bases. Entonces, aprovechamos esa propiedad, para escribir nuestra resta de dos cuadrados, como una multiplicación.
 
(a + b).(a - b) siempre dá una resta del cuadrado de a y el cuadrado de b. Cualesquiera sean a y b. Y por eso existe la siguiente fórmula:

(a + b).(a - b) = a² - b²

Eso quiere decir que, siempre que multiplique la suma de dos términos cualesquiera, por la resta de ESOS MISMOS TÉRMINOS, el resultado es: "El cuadrado de uno de los términos, menos el cuadrado del otro término". En esta fórmula es en la que este Quinto Caso se basa.

Si (a + b).(a - b) = a² - b², podemos decir también que a² - b² es igual a (a + b).(a - b), que es lo mismo pero visto al revés (recíproco). Cuando decidimos factorizar un polinomio con este Caso, buscamos dos términos que sean cuadrados, es decir, buscamos a a² y b². Luego, podemos decir entonces que nuestro polinomio es igual a la suma de a y b, multiplicada por la resta de a y b.


¿Por qué (a + b).(a - b) es igual a a² - b²?

(a + b).(a - b) es igual a a² - ab + ba - b², si aplicamos la Propiedad Distributiva.

Pero los términos ab y ba son iguales, porque en la multiplicación se puede cambiar el orden (Propiedad Conmutativa). (Recordemos que ab es lo mismo que "a por b", es una multiplicación).

Si esos términos son iguales, y tienen el signo opuesto (uno el "más"; el otro, el "menos"), se pueden cancelar ("tachar"). Porque si resto un valor y luego vuelvo a sumar el mismo valor, es como si no hiciera nada: vuelvo a lo mismo. Estoy restando ab, y luego sumando ab, es lo mismo que no hacer nada. Por eso puedo cancelar a -ab con + ab. Cancelar significa tacharlos, borrarlos, quitarlos de la expresión. -ab y +ba son dos términos "opuestos"
(¿qué es el opuesto?), y la suma de dos términos opuestos dá cero (Ley de los opuestos). Si dá cero, es lo mismo que no estuvieran, ya que sumar "cero" no agrega nada (El cero es el neutro de la suma). 

a² - ab + ba - b²

Luego de cancelar, me queda a² - b². Usando operaciones y propiedades válidas, llegué a la conclusión de que (a + b).(a - b) es igual a a² - b²

Con un ejemplo donde haya números, quizás se pueda apreciar mejor el tema de los dos términos opuestos que se cancelan:

(x + 4).(x - 4) = x² - 4x + 4x - 16 = x² + 0 - 16 = x² - 16

(- 4x + 4x es igual a 0, como sabrán seguramente si han resuelto ecuaciones, han hecho operaciones con polinomios, etc.)


¿Por qué a la resta se le dice "diferencia"?

Si dos números representan a distintas cantidades, son números diferentes. Entre ellos hay una diferencia. Hay una diferencia entre sus cantidades. Para saber qué diferencia hay entre las cantidades que representan, hay que restarlos. La resta entre ellos es la diferencia entre las cantidades que ellos representan. Por ejemplo:

3 y 8 son dos números diferentes

El 3 es más chico que el 8. ¿Qué diferencia de cantidad hay entre 3 y 8? ¿Que diferencia hay entre tener 3 cosas o tener 8 cosas? Bueno, si tengo 8 cosas, estoy teniendo 5 cosas más que si tengo 3. ¿Y cómo pude calcular eso? Restando 8 - 3 = 5. Si a 8 le resto 3, puedo ver qué diferencia de cantidad hay entre ellos. Si resto dos números, puedo saber la diferencia entre las cantidades que representan. Por eso ha de ser que a la resta en Matemática se le llama también "diferencia".


¿A qué llamo raíz "exacta"?

Digo que un número entero tiene raíz cuadrada exacta, si al calcular la raíz cuadrada de ese número, el resultado es un número natural. Es decir, si en la calculadora saco la raíz cuadrada del número, el resultado dá "sin coma". Por ejemplo:

Digo que el número 9 tiene raíz cuadrada exacta, porque si calculo , dá como resultado 3, un número natural, es decir: "sin coma". En realidad es porque existe un número natural que elevado al cuadrado es igual a 9, y ese número es 3. Pero, la costumbre de la mayoría es tomar la calculadora y poner: . Por eso lo explico de esa manera.

En cambio el número 8 no tiene raíz cuadrada exacta, porque si calculo , dá como resultado 2,828427125. Este número decimal me llena la pantalla de la calculadora, y es porque en realidad sigue hasta el infinito con sus cifras decimales. Este tipo de números pertenece a un conjunto que se llama Números Irracionales. Digo que una raíz no es exacta cuando el resultado es un número irracional.

En cuanto a los números decimales, pueden también tener lo que yo llamo "raíz exacta". En ese caso, el resultado dá con coma. Si embargo, ese resultado no llena la calculadora. No tiene tantos decimales. Y es porque no es un número irracional, sino que es un "decimal exacto", es decir: un decimal "que se termina". Entonces, cuando hablo de números decimales con "raíz exacta", me refiero a aquellos números que, cuando le calculo la raíz cuadrada, el resultado "no me llena la calculadora" con cifras decimales. El resultado es un número con coma, pero es un decimal exacto, "se corta". Por ejemplo:

Digo que el número 0,0025 tiene raíz exacta. Porque al calcular su raíz cuadrada en la calculadora, dá 0,05. El cual es un número decimal exacto, porque tiene sólo dos cifras después de la coma.

En cambio, el número 0,3 no tiene raíz exacta. Porque al calcular su raíz cuadrada en la calculadora, dá 0,547722557... Un número irracional.

Todo lo anterior es para que nos entendamos. En realidad, diríamos que un número tiene raíz cuadrada exacta si existe un número racional que elevado al cuadrado dé ese número.

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