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FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10




EJEMPLO 10: (Normalizar un polinomio)


5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 5. (x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5)


Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) al término de mayor grado. Por eso divido todo por 5.



EXPLICACIÓN:


Saco el 5 multiplicando a un paréntesis, y luego divido a todos los términos por 5:

Primer término:

5x4 dividido 5 dá x4

Segundo término:

-2x3 dividido 5 es igual a -2/5 x3     (¿por qué?)

Tercer término:

-3x dividido 5 es igual a -3/5 x

Cuarto término:

4 dividido 5 es igual a 4/5               (¿por qué?)


Para Normalizar un polinomio hay que dividir todos sus términos por el coeficiente de mayor exponente (¿qué es un coeficiente?), llamado "coeficiente principal". Eso se parece mucho a sacar Factor común, sólo que no lo sacamos porque sea "común" a todos los términos, sino que lo sacamos para que el término de mayor potencia quede "solo" (sin coeficiente).

x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5   es un polinomio "normalizado". En cambio:

5x4 - 2x3 - 3x + 4  no es un polinomio "normalizado", y es por culpa de ese 5 que está multiplicando a la x4. Pero si divido todos sus términos por 5, ese 5 se va, ya que 5:5 dá 1. Tal como en el EJEMPLO 9, estoy sacando como si fuera Factor común a un número que no es divisor de todos los términos.



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Para qué puede servir normalizar un polinomio?

Hay procedimientos para los que el coeficiente principal molesta. Un ejemplo es el procedimiento de "completar cuadrados", que se usa para pasar de la forma polinómica a la forma canónica, en funciones cuadráticas, o también en la ecuación de la circunferencia, elipse, etc.

También, hay otro tema donde se pide expresar un polinomio totalmente factorizado de la forma p(x) = a.(x - x1).(x - x2).(x - x3)...(x - xn). En el proceso de factorizar al polinomio, puede que sea necesario normalizar a algunos factores que se van obteniendo, hasta llegar a la forma esa que se pide.

Otro caso son las ecuaciones. Cuando tengo una ecuación polinómica igualada a 0, la puedo reemplazar por el polinomio normalizado, porque tienen las mismas soluciones. Por ejemplo:

4x2 + 4x + 1 = 0

x2 + x + 1/4 = 0

Ésas son dos ecuaciones equivalentes, ya que tienen la misma solución. La segunda, es el polinomio normalizado de la primera (dividí todo por 4). A veces es más fácil resolver una ecuación cuando está normalizada. Incluso a veces se puede ver a simple vista la solución. Y por eso se utiliza este ardir de normalizar el polinomio.

Seguramente tiene otras aplicaciones, que en este momento no me vienen a la mente o que no conozco. Pero los ejemplos que dí sirven de muestra para ver que en otros temas será necesario o útil normalizar polinomios. Cabe aclarar que esos temas no se ven generalmente en el Nivel Medio.


¿Son iguales un polinomio y su normalizado?

No confundir. Para normalizar un polinomio, "sacamos" el coeficiente principal como si fuera "factor común". Pero el polinomio normalizado no es el resultado de esa factorización. El polinomio normalizado es solamente el que queda entre paréntesis. En nuestro ejemplo:

5. (x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5)  es el resultado de la factorización. Este polinomio es igual a 5x4 - 2x3 - 3x + 4, ya que se lo ha "factorizado".


Pero x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5   es el polinomio normalizado.

Por supuesto que no son iguales, porque el normalizado está todo dividido por 5. Si a "algo" lo divido por 5, no dá el mismo "algo" (a menos que fuera 0, aunque aquí esa aclaración no es relevante).

Lo que sí son equivalentes estas dos ecuaciones polinómicas:

5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 0

x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5 = 0

Como mencioné en la pregunta anterior, esas dos ecuaciones son equivalentes porque tienen las misma soluciones. Pero los polinomios no son iguales. Basta reemplazar las x por algunos valores para darse cuenta de que no dan los mismos resultados.


¿Y por qué esas dos ecuaciones tienen las mismas soluciones?

Si su curiosidad los ha traído hasta aquí, les mostraré:

5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 0  es lo mismo que 5.(x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5). Entonces, cambiemos la ecuación por:

5. (x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5) = 0

Ahora, como hacemos en cualquier ecuación, pasemos el 5. "Como está multiplicando, pasa dividiendo":

(x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5) = 0:5

Pero como 0:5 es igual a 0, llegamos a que:

x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5 = 0

Ahora, cuando encuentre las soluciones de esta ecuación (ni sé si las tiene), son las soluciones de 5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 0, ya que es de dónde partí, y las que estaba buscando. Es decir, que ambas ecuaciones tienen las mismas soluciones. Y la clave de esto es porque están igualadas a "0", y una de ellas es igual a la otra multiplicada por un número.


Otros ejemplos de normalización:

3x5 + x2 - 9x + 4 = 3. (x5 + 1/3 x2 - 3x + 4/3)

-2x7 - 3x4 + 7x3 + 5x + 6 = -2.(x7 + 3/2 x4 - 7/2 x3 - 5/2 x - 3)

1/3 x4 + 5x2 - 6x + 2/5 = 1/3 . (x4 + 15x2 - 18x + 6/5)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
PRIMER CASO: FACTOR COMÚN


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Factor común entre los números)
EJEMPLO 2 (Factor común entre las letras)
EJEMPLO 3 (Números y letras)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 6 (Con números grandes)

AVANZADOS:
EJEMPLO 7 (Factor Común negativo)
EJEMPLO 8 (El Factor Común es una expresión)
EJEMPLO 9 (Sacar un número que no es divisor de todos los términos)



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