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FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2



EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)


7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4 - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)


El factor común es x2 , la menor potencia con que la x aparece en el polinomio.


EXPLICACIÓN:

Aquí estoy sacando factor común x2, porque es la "x" elevada a la menor potencia con que aparece en este polinomio. Luego divido cada término por x2, recordando que para dividir las letras hay que restar los exponentes.
(Propiedad de las potencias de igual base)

Primer término:

7x2 : x2 = 7

Segundo término:

11x3 : x2 = 11x

Tercer término:

-4x5 : x2 = -4x3

Cuarto término:

3x4 : x2 = 3x2

Quinto término:

-x8 : x2 = -x6                (¿Cómo se hacen estas divisiones?)

 



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Por qué el factor común es x2?

Porque en todos los términos está multipicando la letra x, y el menor exponente con que aparece es 2. Entonces, hay factor común "x a la dos". Como no hay otra letra, y entre los números no hay divisor común, el único factor común es x2.


¿Pero por qué hay que sacar la letra "a la menor potencia"?

Si quieren entender más a fondo ese asunto, vean esto:

X2 = X . X
X3 = X . X . X
X5 = X . X . X . X . X
X4 = X . X . X . X
X8 = X . X . X . X . X . X . X . X

¿Qué es lo que se repite en todas las potencias de nuestro ejemplo? Solamente X.X, es decir X2, la menor de esas potencias. La menor potencia es el "factor común" entre ellas. La menor potencia está "incluida" en las otras, es lo que tienen en común. Todas esas potencias se pueden dividir por la menor, que es X2. En este caso no hablamos de "divisible" como en los números, sino que se puedan restar los exponentes y el exponente resultado sea un número positivo o "0".

A ver, dividamos:

X2 : X2 = X2-2 = X 0 = 1                 (Propiedad de las potencias de igual base)
X3 : X2 = X3-2 = X1
X5 : X2 = X5-2 = X3
X4 : X2 = X4-2 = X2
X8 : X2 = X8-2 = X6

Todas las potencias mayores o iguales que 2 se pueden dividir por X2 de manera que el resultado dé con potencia positiva o "0".
Si en cambio quisiéramos sacar como factor común una potencia más grande, X8 por ejemplo, obtendríamos potencias negativas al dividir en la mayoría de los casos. Por ejemplo:

X2 : X8 = X2-8 = X-6
X3 : X8 = X3-8 = X-5

Y un polinomio no puede tener potencias negativas, por definición. Entonces no podríamos dividir así para sacar factor común, porque el resultado no es un polinomio. Una potencia que es mayor a otra no está "incluida" en la que es menor, no puede ser factor común, porque no es ni siquiera "factor". Veamos en el ejemplo anterior, como X2 sí es factor en todas las otras potencias:

X2 = X . X = X2
X3 = X . X . X = X2. X
X5 = X . X . X . X . X = X2. X3
X4 = X . X . X . X = X2 . X2
X8 = X . X. X . X . X . X . X . X = X2 . X6

Cómo se puede ver arriba, X2 está multiplicando en todos los casos. Es entonces "factor". Y es "común" a todos.


EXPLICACIÓN DE LAS DIVISIONES

Las divisiones que hicimos al sacar factor común x2 , son divisiones entre monomios. En ellas, dividimos "el número por el número, y letra por letra igual".


Primer término:   7x2 : x2 = 7          (Un caso particular)

Lo que hice es:

" 7 dividido 1 = 7 "     (¿por qué divido por 1?)        "Por el lado de los números"

" x2 dividido x=  x2-2  =  x0 = 1 " (¿por qué?)     "Por el lado de las letras"

(Se restan los exponentes, por la propiedad de las potencias de igual base)

El resultado final para el primer término es 7.1 , que es igual a 7

Este fue un "caso particular", porque nos faltaba un número (el "1"), y porque la x estaba al cuadrado las dos veces.


Segundo término:  11x3 : x2 = 11x

" 11 dividido 1 dá 11 "        (¿de dónde salió el "1"?)

"x3 dividido x2 dá x1 ó x "    ("x a la 1" es igual a x, por eso ya no puse el 1) (¿por qué?)

El resultado para el segundo término es 11.x


Tercer término:  -4x5 : x2 = -4x3

" -4 dividido 1 dá -4 "

" x5 dividido x2x3 "        

El resultado para el tercer término es entonces -4.x3


Cuarto término:  3x4 : x2 = 3x2

" 3 dividido 1 dá 3 "

" x4 dividido x2x2 "

El resultado para el cuarto término es 3.x2


Quinto término:  - x8 : x2 = - x6

" - x8 dividido x2- x6 "

El resultado para el quinto término es -x6


¿Por qué hice "7 dividido 1"? ¿Dé dónde salió ese 1"?

Al no tener ningún número multiplicando adelante, consideramos que x2 tiene un "1" delante.  Porque el número "1" es el neutro de la multiplicación, y 1.x2 = x2. Eso seguramente lo habrán hecho en otras situaciones y les resultará familiar. Aquí estamos obligados a hacerlo si necesitamos pensar que dividimos "número por número". Lo mismo vale para las divisiones de los otros términos.


¿Por qué x2 : x2 = 1?

El resultado de dividir un número (o letra o expresión) por sí mismo, siempre es "1". Así que directamente se puede poner "1" como resultado, sin necesidad de restar los exponentes. Pero, de todos modos, si restamos los exponentes, vemos que dá 2 - 2 = 0. El resultado es x0. Y "cualquier cosa elevada a la 0, dá 1".


Propiedades de las potencias de igual base

Lo que estamos usando aquí para dividir las letras, es una de las Propiedades de las potencias del igual base: la de la división. ¿Las recordamos?:

Con ejemplos:

a5.a3 = a8         porque 5 + 3 = 8       Para multiplicar, los exponentes se suman

a7:a4 = a3         porque 7 - 4 = 3       Para dividir, los exponentes se restan

En general sería:

an . am = an + m

an : am = an - m


¿Cómo podrías convencerme de que esas propiedades son válidas?

Te voy a mostrar por qué a5.a3 = a8

a5 = a.a.a.a.a        Por definición de lo que es una "potencia"   (¿qué es una "potencia"?)
a3 = a.a.a             Por la misma razón

Entonces, resulta que,

a5.a3 = a.a.a.a.a. a.a.a = a8        Ya que tengo la "a" multiplicada por sí misma 8 veces.


Un poco más difícil será convencerte de que a7 : a4 = 3, pero usemos la simplificación de fracciones, que es algo que habitualmente hacemos:

En vez de a7 : a4 , podemos poner la división en forma de fracción:

a7 / a4 = a.a.a.a.a.a.a / a.a.a.a

Ahora recordemos que si en una fracción yo tenía un mismo número multiplicando "arriba" y "abajo", podía "tachar uno con uno", es decir "simplificar". Si tachamos "una con una" cada "a" de arriba con cada "a" de abajo, sólo nos quedarán tres "a" arriba y ninguna "a" abajo. O sea, nos queda a3. Así:

a7 / a4 = a.a.a.a.a.a.a / a.a.a.a

Resultado: a.a.a = a3


¿Qué es una "potencia"?

Como operación, elevar un número o letra a una cierta "potencia", significa multiplicarlo por sí mismo tantas veces como el "potencia" indique. Por ejemplo:

24 = 2.2.2.2 = 16

En realidad, el númerito ese que va arriba se llama "exponente". Y al que va abajo, se le llama "base". En x5 , el exponente es 5 y la base es x.

Cuando trabajamos con letras o números que llevan exponente, solemos usar la palabra "potencia" para nombrar a los números o letras que están elevados. Por ejemplo:

Para x5 , decimos que la x "está a la potencia quinta", o directamente que "es una potencia quinta".

Para 27 , decimos que el 2 "está a la potencia séptima", o que "es una potencia séptima".

El significado de tener un número o letra elevado a cierta una potencia, es que la base se multiplica por sí misma tantas veces como "lo dice" el exponente. Por ejemplo:

27  representa a 2.2.2.2.2.2.2  

Es decir, el número 2 (la base) multiplicado por sí mismo 7 veces (el expontente).

x5  significa  x.x.x.x.x

Es decir, la letra x, multiplicada por sí misma 5 veces.

Aclaración: En todo lo anterior nos estamos refiriendo a potencias cuyo exponente es un número natural (1, 2, 3, etc.).


¿Por qué x0 = 1?

Cualquier número elevado a la potencia "0", dá 1, por definición. Lo mismo para las letras, ya que representan a números.


¿Por qué x1 = x? Y también: ¿Por qué "no le ponen el 1" cuando la potencia es 1?

Cualquier número elevado a la potencia "1", dá el mismo número. Por ejemplo:

31 = 3

Porque "elevar" significa multiplicar el número por sí mismo la cantidad de veces que indica el exponente. Si el exponente es "1", el 3 tiene que estar una sola vez. No lo multiplico por nada, entonces dá 3. (¿que es una potencia?)

Como las letras representan a números, lo mismo vale para las letras. Entonces, cualquier letra elevada "a la uno", puedo decir que dá la misma letra, sin elevar. Por eso, se puede no poner el "1" como exponente, porque x1 y "x" son cosas equivalentes.  O cuando no hay exponente, podemos interpretar que hay un "1".

Para "ahorrar símbolos", se pone sin el uno, así como en la raíz cuadrada no se pone el índice 2, etc. Pero si necesitamos el exponente, debemos recordar que "si no hay nada, hay un uno".


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 2:



3x4 - 2x5 - 7x3 - x7 = x3.(3x - 2x2 - 7 - x4)

7a4b - 2ac - a3 = a.(7a3b - 2c - a2)

-x3 + x5 + 2x7a + bx4 = x3.(-1 + x2 + 2x4 + bx)

a5b2c3 + 5a2 - ad = a.(a4b2c3 + 5a - d)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
PRIMER CASO: FACTOR COMÚN


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Factor común entre los números)
EJEMPLO 3 (Números y letras)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 5 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 6 (Con números grandes)

AVANZADOS:
EJEMPLO 7 (Factor Común negativo)
EJEMPLO 8 (El Factor Común es una expresión)
EJEMPLO 9 (Sacar un número que no es divisor de todos los términos)
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)




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