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FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4



EJEMPLO 4: (Con fracciones)


4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)


El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia.



EXPLICACIÓN:


1) Saco factor común 2/3 x.

¿Por qué 2/3? Cuando hay fracciones, puedo pensarlo así: Saco el factor común entre los numeradores por un lado, y saco el factor común de los denominadores por el otro. El factor común del polinomio será una fracción formada por esos dos factores comunes, en su respectivo orden.
(¿qué son los "numeradores" y los "denominadores"?)

Aplicado a nuestro ejemplo:
 
El factor común entre los numeradores es 2, y el factor común entre los denominadores es 3. Entonces, el factor común de todo el polinomio es:
 
"2 sobre 3" (2/3)

¿Porqué la x? Por ser la de menor exponente, como ya se vió en ejemplos anteriores (EJEMPLO 2)


2) Luego, divido cada término por 2/3 x.

Primer término:

4/3 x : 2/3 x = 2

Segundo término:

- 8/9 x3 : 2/3 x = -4/3 x2

Tercer término:

16/15 x7 : 2/3 x = 8/5 x6

Cuarto término:

-2/3 x5 : 2/3 x = - x4            (¿Cómo se hacen estas divisiones?)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS



¿Porque 2/3 es factor común, y cómo me doy cuenta?

Cuando tenemos fracciones, podemos mirar los numeradores (4, 8, 16 y 2), y pensar si hay factor común entre ellos. En este caso, entre los numeradores el factor común es 2, ya que es su MCD. Y luego mirar los denominadores (3, 9, 15 y 3), y ver si hay factor común entre ellos. En este caso el factor común entre los denominadores es 3. De ahí viene el 2/3, el 2 es el factor común de los numeradores y el 3 es el de los denominadores. Con esos dos números formamos una fracción y la sacamos como factór común.
(¿Qué es "numerador" y "denominador"?) (¿Qué es el MCD?)


¿Hay una manera práctica de dividir las fracciones cuando saco factor común?

Sí: "Lo de arriba con lo de arriba, y lo de abajo con lo de abajo".
Por ejemplo:

Para dividir  8/9 : 2/3,  hago así: "8 dividido 2, dá 4. Y 9 dividido 3, dá 3". El resultado es la fracción "4 sobre 3", es decir 4/3.


¿Qué pasa si no hay factor común entre los numeradores, y sí lo hay entre los denominadores?

En un caso así podemos decir que el factor común entre los numeradores es "1", y entonces la fracción se formaría con un "1" arriba, el factor común de los denominadores abajo. En el ejemplo que sigue se ve mejor:

2/5 x - 3/10 y + 1/5 z = 1/5 (x - y + z)

Entre los numeradores (2, 3 y 1) no hay factor común. Pero entre los denominadores (5, 10 y 5) sí lo hay, es el número "5". Entonces, saco como factor común la fracción "1/5".
Porque recordemos que el MCD entre varios números puede ser también el "1". Es decir que el factor común sería el número "1". Y en casos como estos es cuando recurrimos a sacar factor común "1", ya que sino la fracción me quedaría incompleta, vacía en su numerador, lo que no tendría sentido. Como entre 2, 3 y 5 el MCD es "1", y tengo la necesidad de "sacar algo" para completar un espacio en la fracción, entonces saco el "1". (¿Qué es el MCD?)


¿Qué pasa si no hay factor común entre los denominadores, y sí lo hay entre los numeradores?

Saco factor común entre los numeradores y nada más. En este caso no hace falta poner el "1" en el denominador, porque una fracción con denominador "1" representa a un número entero. Es decir: "el uno de abajo no se pone". Ejemplo:

2/3 x + 4/5 y - 8/9 z = 2. (1/3 x + 2/5 y - 4/9 z)


¿Qué pasa si en el polinomio también hay número enteros, además de las fracciones?

Si algunos coeficientes son números enteros, puedo pensar que "tienen un 1 abajo". Entre los denominadores no habrá factor común, y podría haberlo solamente entre los numeradores.
Por ejemplo:

4/3 x - 8 y + 2/5 z + 6 w = 2. (2/3 x - 4 y + 1/5 z + 3 w)

Entre los numeradores, el factor común es "2". Y como hay números sin denominador, no hay factor común entre los denominadores. Solamente sería el número "1", pero "el 1 de abajo no se pone".  (¿qué es un coeficiente?) (¿qué es un número entero?)


EXPLICACIÓN DE LAS DIVISIONES

Las divisiones que hicimos al sacar factor común 2/3 x , son divisiones entre monomios. En ellas, dividimos "el número por el número, y letra por letra igual". Recordando que cuando dividimos las letras tenemos que restar los exponentes, de acuerdo a las propiedades de las potencias de igual base  (¿cómo son esas propiedades?)


Primer término:   4/3 x : 2/3 x= 2          (Un caso particular)

Aquí hay que dividir 4/3 : 2/3 , lo que dá como resultado 2. Y x dividido x , que dá 1. El resultado final es 2.1 = 2  (¿por qué "x dividido x" dá 1?)

Si lo pensamos de la "manera práctica" que expliqué antes, sería así:

" 4 dividido 2 dá 2 "       "El de arriba con el de arriba".   "Arriba queda 2"

" 3 dividido 3 dá 1 "       "El de abajo con el de abajo".   "Abajo queda 1, pero no se pone"

" x dividido x dá  1 "      "No se pone" 

El resultado para el primer término sería "2/1 . 1" , cuenta que dá como resultado 2.


Segundo término:  - 8/9 x3 :  2/3 x

Aquí hay que dividir -8/9 : 2/3 , lo que dá como resultado -4/3. Y dividir x3 dividido x, lo que da como resultado x2. El resultado completo es -4/3 x2

Con la regla práctica sería así:

" 8 dividido 2 dá 4 "       "Arriba queda 4"
" 9 dividido 3 dá 3 "       "Abajo queda 3"
" x3 dividido x dá x2 "     "Por el lado de las letras queda x2 "   (¿por qué?)

El resultado para el segundo término es entonces 4/3 x2


Tercer término:  16/15 x7 : 2/3 x = 8/5 x6

" 16 dividido 2 dá 8 "
" 15 dividido 3 dá 5 "
" x7 dividido x dá x6 "

El resultado para el tercer término es 8/5 x6


Cuarto término:  -2/3 x5 : 2/3 x = - x4

" -2 dividido 2 dá -1 "
" 3 dividido 3 dá 1 "
" x5 dividido x dá x4 "

El resultado para el cuarto término es -1/1 .x4 o sea -1.x4 o mejor -x4 (¿por qué?)


¿Qué significa "numerador" y "denominador"?

En una fracción, se llama "numerador" al número que va arriba y "denominador" al número que va abajo.


¿Qué es el "coeficiente"?

Por ejemplo, en el término 5x4, el coeficiente es el número 5. En el término -8x5 , el coeficiente es -8. Es decir que, dentro de un término del polinomio, se le llama "coeficiente" al número que está multiplicando a la o las letras. Por otro lado, a las letras del término se las llama "parte literal".
Por ejemplo:

En -4x2y3z , el coeficiente es -4 y la parte literal es x2y3z

Si un término no tiene número, por ejemplo el término x5, su coeficiente es el número "1". Porque x5 es igual a 1.x5


¿Qué es un número "entero"?

El conjunto de los números enteros incluye a los números naturales (1, 2, 3, 4, etc.) y le agrega los números negativos (-1, -2, -3, -4, etc.) y el número "cero". No están incluidas las fracciones ni los números decimales.

NOTA: Esta no es una definición rigurosa. Es solamente para que se entienda la diferencia entre "número entero" y "fracción" en el ejemplo que estamos viendo.


¿Porqué x3 dividido x, dá x2?

Para dividir letras iguales se deben restar los exponentes, por la propiedad de la división de potencias de igual base (propiedades). Y hay que tener en cuenta que x es equivalente a x1 (¿por qué?). Entonces:

x3 : x = x3 : x1 = x3-1 = x2


¿Por qué -1/1 .x4 es igual -x4?

-1/1 es igual a -1.  Porque -1/1 equivale a "-1 dividido 1", ya que la línea de fracción representa a una división. O también podemos recordar que una fracción "con un 1 abajo" es equivalente a un número entero (el número de arriba), entonces "le sacamos el 1 de abajo" y queda solamente el -1. Luego, "-1 dividido 1" dá -1. (¿qué es un número "entero"?)

Luego, -1.x4 es igual a -x4. Porque cuando multiplicamos algo por -1, dá "la misma cosa pero con el signo contrario" (a lo cual se llama "el opuesto").

Y eso es porque "cuando multiplicamos algo por 1, nos dá lo mismo que teníamos" (se dice que el 1 es el "neutro" de la multiplicación). Luego, cuando multiplicamos por -1 pasa lo mismo, pero al aplicar la regla de los signos, nos termina dando "lo mismo" pero con el "signo cambiado". (Regla de los signos)

Por ejemplo:

3 . (-1) = -3         Porque "3 por 1 dá 3" y "más por menos dá menos"

-5 . (-1) = 5         Porque "5 por 1 dá 5" y "menos por menos dá menos"

Lo mismo entonces pasa con las letras, ya que éstas representan a números:

 (-1).  x4= - x4      Porque "x4 por 1 dá x4 y "menos por más dá menos"


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 4:

2/5 x + 4/15 y - 6/5 z = 2/5 (x + 2/3 y - 3 z)

1/3 a2 - 5/9 a3 - 1/6 a = 1/3 a.(a - 5/3 a2 - 1/2) 

5x3 - 10/3 x2 - 5/2 x + 15/2 x4 = 5x.(x2 - 2/3 x - 1/2 + 3/2 x3)

3/2 a + 1/4 b - 5/2 c - 3/8 d = 1/2.(3a + 1/2 b - 5c - 3/4 d)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
PRIMER CASO: FACTOR COMÚN


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Factor común entre los números)
EJEMPLO 2 (Factor común entre las letras)
EJEMPLO 3 (Números y letras)
EJEMPLO 5 (Con varias letras diferentes)
EJEMPLO 6 (Con números grandes)

AVANZADOS:
EJEMPLO 7 (Factor Común negativo)
EJEMPLO 8 (El Factor Común es una expresión)
EJEMPLO 9 (Sacar un número que no es divisor de todos los términos)
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)




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