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FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5



EJEMPLO 5: (Con varias letras diferentes)


9x2ab - 3xa2b3 + x2az = xa. (9xb - 3ab3 + xz)


El factor común es xa. Son las dos letras que están en todos los términos, con la menor potencia con la que aparecen.



EXPLICACIÓN:


Saco factor común xa. Porque ambas letras están en todos los términos. Y las estoy sacando con el menor exponente con que aparecen en el polinomio (exponente 1), tal como vimos que se hace en otros ejemplos (EJEMPLO 2).
Luego, divido cada término por xa:

Primer término:

9x2ab : xa = 9xb

Segundo término:

- 3xa2b3 : xa= - 3ab2

Tercer término:

x2az : xa = xz                (¿Cómo se hacen estas divisiones?)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS



¿Porque " xa " es el factor común, y cómo me doy cuenta?

La letra "x" y la letra "a" están multiplicando en todos los términos. En cambio la letra "b", no está en todos los términos, y la "z" tampoco. Entonces, la "x" y la "a" son factores comunes, las otras letras no lo son.
Y la menor potencia con que aparecen, tanto la "x" como la "a" es la potencia "uno" (x1 = x  y  a1 = a ). Y como ya sabemos por los ejemplos anteriores, las letras hay que sacarlas con la menor potencia (o exponente) con que aparecen en el polinomio. Por eso, sacamos como factor común x1.a1 , o más bien " xa ", que es lo mismo. (¿por qué x1.a1 es igual que xa?)

Y es ése el único factor común, ya que entre los números (o "coeficientes") no hay número que dividida exactamente a 9, 3 y 1 (sólo el número 1 divide a esos tres números) 
(¿qué es "dividir exactamente"?). El MCD entre esos tres números es "1", y el "1" no se saca como factor común (¿por qué? ¿nunca?)


EXPLICACIÓN DE LAS DIVISIONES

Recordemos que cuando dividimos las letras tenemos que restar los exponentes, de acuerdo a las propiedades de las potencias de igual base (¿cómo son esas propiedades?)


- Primer término:   9x2ab : xa = 9xb

" 9 dividido 1 dá 9 "  ("xa" no tiene "número" (coeficiente), entonces hay un "1")
(¿qué es el "coeficiente" y por qué "hay un 1")

" x2 dividido x dá x "    (x2 : x1 = x2-1 = x1 = x . Porque se restan los exponentes al ser división de potencias de igual base)   (propiedades de las potencias de igual base)

 " a dividido a dá 1 "   (Como cualquier número o letra dividido por sí mismo dá "1")

" La b queda " , porque no hay otra "b" con la que dividirla. En realidad estamos haciendo "b dividido 1 dá b"

El resultado final para el primer término sería "9.x.1.b" , lo que es igual a 9xb


- Segundo término:   - 3xa2b3 : xa = - 3ab3

" -3 dividido 1 dá -3 "   ("xa" no tiene "número" (coeficiente), entonces hay un "1")
(¿qué es el "coeficiente" y por qué "hay un 1")

" x dividido x dá 1 "         (Como cualquier número o letra dividido por sí mismo dá "1")

" a2 dividido a = a "     (a2 : a1 = a2-1 = a1 = a . Porque se restan los exponentes al ser división de potencias de igual base)  (propiedades de las potencias de igual base)

" La b3 queda " , porque no hay otra "b" con la que dividirla. En realidad estamos haciendo "b3 dividido 1 dá b"

El resultado final para el segundo término sería -3.1.a.b3, lo que es igual a  -3ab3


- Tercer término:   x2az : xa = xz

" x2 dividido x dá x "       (x2 : x1 = x2-1 = x1 = x . Porque se restan los exponentes al ser división de potencias de igual base)  (propiedades de las potencias de igual base)

" a dividido a dá 1 "             (Como cualquier número o letra dividido por sí mismo dá "1")

" La z queda " , porque no hay otra "z" con la que dividirla. En realidad estamos haciendo
"z dividido 1 dá z"

El resultado final para el tercer término sería x.1.z, lo que es igual a xz


¿Por qué x1. a1 = xa?

x1 es igual a x , porque cualquier número o letra elevado a la potencia 1 dá como resultado ese mismo número o letra, por lo que significa "elevar" a cierta potencia (¿qué significa?). Lo mismo pasa con a1, que es igual a a.
Entonces, x1. a1 es igual a "x por a" ,  es decir x.a o también xa, ya que el signo "por" (el punto) no hace falta ponerlo.


¿Por qué no se saca el 1 como factor común? ¿Nunca se hace?

Sacar como factor común al número 1 no tiene sentido en la mayoría de los ejercicios. Porque en cualquier polinomio habría factor común 1, ya que el número 1 es divisor de todo número o letra. La división por 1 siempre es una división exacta, y eso es porque el 1 es el neutro de la multiplicación. Recordemos:

a:1 = a   para cualquier número "a" en cualquier conjunto. Y es porque a.1 = a, ya que el número 1 es neutro de la multiplicación.

Por ejemplo, saquemos factor común 1 en un polinomio, y veamos qué pasa:

3x2 - 5x4 + 9x + 7 = 1.(3x2 - 5x4 + 9x + 7)

¿Qué pasó?: El resultado que quedó entre paréntesis es el mismo polinomio. Esta factorización no sirve para nada, porque el polinomio no cambió en nada. Si no cambio nada ¿para qué estoy factorizando? Si obtengo el mismo polinomio ¿de qué sirve factorizarlo?

Sin embargo, en alguna ocasión puede servir sacar factor común 1. En alguna parte de un polinomio, y como artilugio para lograr algo que se quiere, para llegar a algo que sirve para hacer luego otra cosa. Eso sucede en algunos ejercicios del caso Factor Común en Grupos, donde sacar factor común 1 en alguno de los grupos, sirve para poder completar el caso en mencionado. Un ejemplo explicado de esta situación lo pueden ver en:
FACTOR COMÚN EN GRUPOS - EJEMPLO 10


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 5:

3x2y2z - y4z2x - 4x3y3 + 1/2 x2y5z = xy2.(3xz - y2z2 - 4x2y + 1/2 xy3z)

-a4b2c + 2b3a2 - 5a7b4d = a2b2.(-a2c + 2b - 5a5b2d)

6xy7 - 2x5y3 + ax3y7 = xy3.(6y4 - 2x4 + ax2y4)

a4b3x + 5ab4y - 1/3 a2b8z = ab3.(a3x + 5by - 1/3 ab5z)



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
PRIMER CASO: FACTOR COMÚN


Explicaciones de otros Ejemplos:

EJEMPLO 1 (Factor común entre los números)
EJEMPLO 2 (Factor común entre las letras)
EJEMPLO 3 (Números y letras)
EJEMPLO 4 (Con fracciones)
EJEMPLO 6 (Con números grandes)

AVANZADOS:
EJEMPLO 7 (Factor Común negativo)
EJEMPLO 8 (El Factor Común es una expresión)
EJEMPLO 9 (Sacar un número que no es divisor de todos los términos)
EJEMPLO 10 (Normalizar un polinomio)




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