Temario | Factoreo
| Factor Común | Respuestas
CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD O DCM)
EJEMPLO: Calcular el MCD entre 120 y 144 (Más
ejemplos)
Primero descompongo (o "factorizo") los números en sus factores primos
(¿qué son los números primos?):
120 | 2 144 | 2
60 | 2 72 | 2
30 | 2 36 | 2
15 | 3 18 | 2
5 | 5 9 |
3
1 | 1 3 |
3
1 | 1
¿Cómo se
descomponen los números?
120 = 23.3.5
144 = 24.32
Que es lo mismo
que:
Que es lo mismo
que:
120 = 2.2.2.3.5
144 = 2.2.2.2.3.3
Luego, el MCD se calcula multiplicando todos los
"factores" que tienen en "común" ambos números (el 2 y el 3 en este caso), con el menor
exponente con que aparecen en alguno de los números ("¿menor
exponente?").
Los "factores" son los números que están en la columna derecha de la
descomposición: 2, 3, 5 y 1. Y para calcular el MCD hay que tomar solamente los
que están en los dos números ("repetidos" les dicen algunos), aquí
remarcados en color rojo.
Como el número 2 está tres veces en el 120, y cuatro veces en el 144,
lo pongo elevado a la tercera (porque es la menor cantidad de veces que aparece,
o "menor exponente"). Como el 3 está en ambos números, pero una sola
vez en el 120 y dos veces en el 144, lo pongo elevado a la uno (o sin elevar),
porque es la menor cantidad de veces que aparece. Para más detalle, consultar en la
EXPLICACIÓN.
MCD = 23.3 = 8.3 = 24
¿Qué es el MCD o DCM o
Máximo Común Divisor o Divisor Común Máximo?
EXPLICACIÓN - CONCEPTOS - COMENTARIOS -
DUDAS
¿A qué llamo "los factores"?
En este ejemplo, a 2, 3 y 5. Es decir, a los números
(primos) que aparecen en
la columna derecha de la descomposición de los números (sin contar el 1, que aquí no tiene
relevancia).
¿Qué significa "factores que tienen en común"?
Son los factores (primos) que aparecen en la
columna derecha de la descomposición de ambos
números.
120 | 2 144 | 2
60 | 2 72 |
2
30 | 2 36 |
2
15 | 3 18 | 2
5 | 5 9 |
3
1 | 1 3 |
3
1 | 1
Mirando las descomposiciones del ejemplo precedente, se puede ver que:
El número 2 está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144
El número 3 está en ambas descomposiciones, es "común" a 120 y a 144
El número 5 no está en ambas descomposiciones, solamente está en la
descomposición del 120. Entonces, el 5 no es un factor que tengan en "común"
ambos números.
¿Qué significa "con el menor exponente"?
Podríamos cambiar la idea de "menor exponente" por "la cantidad de veces que aparece el
factor primo en la columna derecha descomposición". En nuestro ejemplo, en el número 2 aparece
tres veces (23) en
la descomposición de 120, y cuatro veces en la
descomposición del 144 (24).
La menor
cantidad de veces que aparece el 2 es entonces tres veces.
Por eso en el MCD ponemos 23.
En cambio el 3, aparece una sola vez en el 120 y dos
veces en el 144: La menor
cantidad, el menor exponente del 3 es una vez. Por eso en el MCD ponemos 31,
que equivale a 3.
La relación entre "exponente" y "cantidad de veces que aparece
en la columna derecha de la descomposición", viene que, un número, es
igual al producto de todos los factores primos que aparecen en la columna
derecha de la descomposición. Así:
120 = 2.2.2.3.5
Pero si el 2 está multiplicando 3 veces, eso es lo mismo que 23 por
la definición de potencia. Entonces la cantidad de veces que está un factor
termina siendo el exponente al que está elevado ese factor:
120 = 23.3.5
¿Cómo hago para descomponer los números?
Por ejemplo, el 120. Busco el número "más chico" que divida a 120 (¿"que
divida"?). Resulta ser el número 2.
Pongo 2 en la columna derecha, y luego divido 120 : 2 = 60.
Y pongo 60 en la
siguiente fila a la izquierda. Así:
120 | 2
60 | 2
Ahora busco el número más chico que divida a 60. También es el número 2, lo
pongo a la derecha del 60. Divido 60 : 2 = 30, o sea que pongo 30 en la
siguiente fila, bajo el 60. Así:
120 | 2
60 | 2
30 | 2
Luego sigo haciendo lo mismo, hasta llegar al
número 1.
120 | 2
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1 | 1
Los números de la columna derecha son los
factores primos (¿qué son los números primos?)
que forman la descomposición o factorización del número 120.
120 = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 (Comprobar esta cuenta)
Como 2.2.2 es igual a 23 , también podemos decir que la
descomposición del 120 es:
120 = 23 . 3 . 5
¿Qué significa "que divida", es decir, que un número divida exactamente
a otro, o que sea "divisor"?
Significa que si hacemos la división, el resto de esa división es "0". Por
ejemplo:
120 |___2___
00 60
/
El número 2 "divide exactamente" al número
120, porque el resto de la división es "0" (Estamos hablando de la
división entre números naturales). Se dice también que 120 "es
divisible" por 2. El número 2 es divisor de 120. Y 120 es múltiplo
de 2. El 120 se puede escribir como "2 por algo". 120 es igual a
"2 por
60".
¿Y cómo puedo saber cuando un número "divide" a otro?
Una manera de saberlo es haciendo la cuenta "a mano" y comprobando que el resto
dá "0", como hice en el punto anterior. Otra, es haciendo la cuenta con la
calculadora y comprobando que el resultado sea un número natural, es decir, que
no dé un número "con coma" (decimal).
Pero lo mejor, es conocer las reglas de divisibilidad. Ellas nos ayudan a
darnos cuenta si un número es divisible por 2, por 3, por 5, por 11 y por otros
que no usaremos en este tema.
¿Qué son las Reglas de divisibilidad?
Son reglas que sirven para saber si un número divide exactamente a otro (dentro
del conjunto de los números naturales). Ellas dicen
qué condición debe cumplir un número para ser divisible por 2, 3, 4, etc.
Existe la regla del 2, del 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 25 y otras menos usadas.
Para este tema, de la descomposición de números, usaremos solamente las de los
números primos: 2, 3, 5, 7, 11, etc.
REGLA DEL 2: Un número es divisible por 2, si es un número par. Si
tiene varias cifras, su última cifra (¿qué
es una "cifra"?) es un número par. Es
decir, termina en 0, 2, 4, 6 u 8.
Por ejemplo, son divisibles por 2: 120, 122, 124, 126 y 128. No son divisibles
por 2: 121, 123, 125, 127, 129.
REGLA DEL 3: Si un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es un
múltiplo de 3. Por ejemplo:
4572 es divisible por 3, porque 4 + 5 + 7 + 2 = 18. Y 18 es múltiplo de 3 (está
en la tabla del 3).
1029 es divisible por 3, porque 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Y 12 es múltiplo de 3.
1526 no es divisible por 3, porque 1 + 5 + 2 + 6 = 14. Y 14 no es múltiplo
de 3.
REGLA DE 5: Si un número es divisible por 5, su última cifra es "0" o
"5". Es decir, el número "termina en 0 o 5". Por ejemplo:
120 es divisible por 5, porque termina en "0".
125 es divisible por 5, porque termina en "5".
Las Reglas del 7 y del 11 son más complicadas de aprender y aplicar. De modo
que para este tema me parece mejor usar el método de dividir con la calculadora
o a mano, cuando queremos saber si un número es divisible por 7 o por 11.
¿Qué es el Máximo Común Divisor, Divisor Común Máximo, MCD o DCM?
El MCD entre varios números es el mayor número que divide a todos esos números.
Es decir, entre todos los divisores que tienen en común, el mayor. El mayor
número que divide a todos ellos. (¿Qué
es un "divisor"?)
En el EJEMPLO 1, calculamos que el MCD entre 120 y 144 es 24. Eso significa que
24 es el mayor número que divide a 120 y 144. Obviamente 24 es divisor tanto de
120 como de 144, y podemos hacer la cuenta para probarlo (El resto de esas
divisiones debe dar "0"):
120 |__24__
00 5
/
144 |__24__
00 6
/
El 120 y el 144 también tienen otros
divisores en común: 2, 4, 6, 12, etc. Todos esos números también dividen a
ambos. Pero, el mayor de todos es 24. Por eso se llama Máximo Común
Divisor, "El mayor divisor que tienen en común".
Divisores de 120: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24,
30, 40, 60, 120
Divisores de 144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24,
36, 48, 72, 144
Los divisores en común son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
El mayor de ellos es 24.
¿Para qué me sirve hallar el Máximo Común Divisor?
Para sacar Factor Común en un polinomio, por ejemplo. También sirve para
resolver algunos problemas, por ejemplo cuando hay que repartir cantidades
diferentes (pero con divisores en común) en partes de igual cantidad.
¿Qué son los números primos?
Son los números que sólo son divisibles por sí mismos o por el número 1
(hablando de Números Naturales). Por ejemplo:
7 es un número primo. Porque sólo se puede dividir (división exacta) por 7 o
por 1. En su "descomposición" sólo están el 7 y el 1.
7 | 7
1 | 1
Lo mismo pasa con los número 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19, etc.
Precisamente, ésos son los números que puedo poner en la columna derecha cuando
descompongo un número. No puedo poner 4, 6, 8, 9, 10, etc., porque no son
números primos.
A los números que no son primos se los llama "compuestos"
(exceptuando el 1 y 0, que no son primos ni compuestos). En su
descomposición aparecen otros números menores a ellos. Por ejemplo:
El número 4 es un número compuesto. Porque es divisible por 2, además de por 4 y
por 1. En su descomposición aparece un número distinto de 4: el número 2.
4 | 2
2 | 2
1 | 1
Lo mismo para el número 10:
10 | 2
5 | 5
1 | 1
¿Por qué no puedo poner números compuestos cuando factoreo el número?
Cuando descomponemos un número lo hacemos en sus factores primos. Esos factores
primos son los que usamos para "armar" el MCD o el MCM. No tendría sentido
hacerlo con factores compuestos, porque no podría hallar el MCD o el MCM con
ellos.
Ejemplo de una factorización mal hecha:
36 | 3
12 | 4
3 | 3
1 | 1
Está mal factorizado en sus factores primos, porque el número 4 no es primo.
Es verdad que 36 = 3.4.3.1, ésa es una factorización posible del 36, pero no
es la factorización en su "factores primos". Lo correcto es:
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 | 1
36 = 2.32 es la factorización correcta en sus factores primos
¿Qué es un "divisor"?
Un número es un "divisor" de otro cuando lo "divide exactamente". Es decir,
cuando al dividirlo por ese número el resto es "0". Por ejemplo:
4 es divisor de 36, porque el resto de dividir a 36 por 4 dá "0". Eso
es porque 36 puede
ser divido en 4 partes iguales y no sobra nada:
36 |__4__
0 9
/
Otros ejemplos:
Divisores del número 20: 2, 4, 5, 10, 20 y 1.
Divisores del número 24: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y 1.
Divisores del numero 30: 2, 3, 5, 10, 15, 30 y 1.
¿Qué es una "cifra"?
Podríamos decir que las cifras de un
números son cada uno de los números "individuales" que lo forman. Con un ejemplo
se ve más claro:
75290 es un número de 5 cifras. Sus "cifras" son: 7, 5, 2, 9 y 0. Su última cifra
es "0".
¿Qué pasa si los números no tienen ningún factor en común?
En ese caso el MCD es 1, ya que todo número es divisible por 1. Si no hay
otro factor en común, el 1 es el mayor número que los divide, por lo tanto es el
Máximo Común Divisor.
Ejemplo:
15 | 3
14 | 2 13 | 13
5 | 5
7 | 7 1
| 1
1 | 1
1 | 1
15 = 3.5 14 = 2.7 13 = 13
MCD = 1
Más ejemplos del cálculo de MCD o DCM:
126 | 2
60 | 2
63 | 3
30 | 2
21 | 3
15 | 3
7 | 7
5 | 5
1 | 1
1 | 1
126 = 2.32.7 60 = 22.3.5
MCD = 2.3 = 6
72 | 2
108 | 2 180 |
2
36 | 2
54 | 2 90 |
2
18 | 2
27 | 3 45 |
3
9 | 3
9 | 3 15 |
3
3 | 3
3 | 3 5
| 5
1 | 1
1 | 1 1
| 1
72 = 23.32 108 = 22.33 180 = 22.32.5
MCD = 22.32 = 36
70 | 2
60 | 2
50 | 2
35 | 5
30 | 2
25 | 5
7 | 7
15 | 3
5 | 5
1 | 1
5 | 5
1 | 1
1 | 1
70 = 2.5.7 60 = 22.3.5 50 = 2.52
MCD = 2.5 = 10
Política de Privacidad - Contacto: matematicaylisto@gmail.com
|