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FACTOR COMÚN / EJERCICIOS RESUELTOS


EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4: El Máximo Común Divisor entre los números.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1





EJEMPLO 2: (Hay factor común entre las letras)

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)


El factor común es x2.: La x elevada a la menor potencia con que aparece.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2





EJEMPLO 3: (Hay factor común entre los números y entre las letras)

9x3 - 6x2 + 12x5 - 18x7 = 3x2. (3x - 2 + 4x3 - 6x5)


El factor común es 3x2: El MCD entre los números y la x elevada a la menor potencia.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3





EJEMPLO 4: (Con fracciones)

4/3 x - 8/9 x3 + 16/15 x7 - 2/3 x5 = 2/3 x. (2 - 4/3 x2 + 8/5 x6 - x4)



El factor común es 2/3 x: El MCD del numerador sobre el MCD del denominador, y la x a la menor potencia.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4




EJEMPLO 5: (Con varias letras diferentes)

9x2ab - 3xa2b3 + x2az = xa. (9xb - 3ab2 + xz)


El factor común es xa. Las 2 letras que están en todos los términos, con la menor potencia con la que aparecen.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5





EJEMPLO 6: (Con números grandes)

36x4 - 48x6 - 72x3 + 60x5 = 12x3. (3x - 16x3 - 6 + 5x2)


Entre números grandes es más difícil hallar el MCD.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6





PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)


EJEMPLO 7: (Sacar factor común negativo)

8a - 4b + 16c + 12d = - 4. (- 2a + b - 4c - 3d)


Saco factor común "-4". Todos los términos quedan con el signo contrario al que traían.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7





EJEMPLO 8: (El Factor común es una expresión de más de un término)

(x + 1).3 - 5x. (x + 1) + (x + 1).x2 = (x + 1). (3 - 5x + x2)


(x + 1) está multiplicando en todos los términos. Es factor común.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 8





EJEMPLO 9
: ("Sacar un número que no es divisor de todos los términos")

3a + 2b - 5c + 9d = 7. (3/7 a + 2/7 b - 5/7 c + 9/7 d)


Divido todos los términos por 7, y quedan números fraccionarios. Esto lo puedo hacer con cualquier número.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9





EJEMPLO 10: (Normalizar un polinomio)

5x4 - 2x3 - 3x + 4 = 5. (x4 - 2/5 x3 - 3/5 x + 4/5)


Normalizar es "quitarle" el número (coeficiente) al término de mayor grado. Por eso divido todo por 5.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10





TEMA RELACIONADO:

EL MCD O DCM (Máximo Común Divisor o Divisor Común Máximo)

Ejemplos y conceptos.



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE EL PRIMER CASO: FACTOR COMÚN



¿Por qué se llama "Factor común"?


Por que en general el Caso se aplica cuando en todos los términos hay un "factor común".


¿Pero qué es un "factor común"?

Es "algo" (número, letras, una "expresión algebraica") que está multiplicando en todos los términos. Tiene que estar en todos los términos, por eso es "común" (común a todos). Y recordemos además que, en una multiplicación, se les llama "factores" a los números que están multiplicándose. De ahí vienen las dos palabras: "factor" y "común".

Por ejemplo, en 2.a + 2.b + 2.c, está el factor común "2"; porque en todos los términos está multiplicando el número 2. En 5a + 7a + 4a, está el factor común "a"; porque en todos los términos está multiplicando la letra "a".

Pero no siempre es tan fácil identificar al factor común como en esos dos ejemplos, ya que en los términos puede haber números diferentes o letras con distinto exponente, y el factor común puede estar "oculto" entre ellos. En los ejercicios resueltos de esta misma página presento una variedad de situaciones en donde hay factor común, y explico cómo identificarlo. Y para más detalle se puede entrar en los enlaces de explicación de cada ejemplo. 


¿Una vez que identifico al "factor común", qué hago para "sacarlo"?

Divido a todos los términos por ese factor. La división entre números ya la conocemos. La división entre letras iguales (potencias de igual base) se hace restando los exponentes. "Los números se dividen con los números", "las letras con las letras iguales". Por ejemplo:

4a - 8b + 6c =     

Allí el factor común es 2, entonces divido todos los términos por 2.

El resultado de esa división es:

2a - 4b + 3c

(Se aplica la Propiedad distributiva de la división respecto de la suma y la resta. Más detalle sobre el procedimiento en:  EXPLICACIÓN
DEL EJEMPLO 1)


¿Hay una regla para encontrar factor común entre los números, si no puedo descubrirlo intuitivamente?

Sí. Sobre todo cuando son números grandes, nos conviene saber que el factor común que nos piden sacar entre ellos es el conocido MÁXIMO COMÚN DIVISOR o DIVISOR COMÚN MAYOR (MCD o DCM). Es el mayor número por el cual podamos dividir a todos los términos.(¿Cómo se calculaba el MCD o DCM?)


¿Por qué no puedo sacar un factor común menor que el Máximo Común Divisor?

Poder se puede, pero no es lo que nos piden que hagamos en el tema "Factoreo". Sacando como factor común a un número menor que el MCD, podemos llegar a una expresión equivalente al polinomio que estamos factorizando, pero aún sigue habiendo factor común en el resultado. No se sacó todo el factor común posible. Y en este tema nos piden que saquemos el mayor factor común posible; sino, el ejercicio estará incompleto.

En otros temas, podemos sacar factor común a conveniencia y gusto nuestro. Incluso hasta podemos sacar como "factor común" números que no están en todos los términos (porque podemos hacer una división "no entera"), siempre que lleguemos a una expresión equivalente al polinomio original. Pero no es lo que nos piden en este tema. Por ejemplo:

Si en el tema "Factoreo" me piden factorizar el siguiente polinomio, y saco factor común "2" en vez de "4":

8a - 4b + 16c + 12d = 2. (4a - 2b + 8c + 6d)

Me lo van a corregir como incorrecto. Porque no saqué todo el factor común posible, ya que el mayor factor común posible es "4" (el MCD). Y me puedo dar cuenta de eso mirando el resultado, ya que se puede apreciar que en 4a - 2b + 8c + 6d hay factor común "2" de nuevo: todos los números son divisibles por 2. 


¿Y cómo saco factor común entre las letras?

Y cuando una o más letras están en todos los términos, son factor común, y hay que sacarlas con el menor exponente con que aparecen (¿por qué?). Por ejemplo:

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 =

En todos los términos está la "x". La "x" es factor común y hay que sacarla con exponente 2, porque es el menor exponente con el que aparece en el polinomio. El factor común común es: x2

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)

Para dividir a las letras de los términos por las del factor común, hay que restar los exponentes, porque es división entre potencias de igual base (Propiedades de las potencias de igual base). Por ejemplo:

x5:x2 = x5-2 = x3

En este tema no se puede dividir una letra por otra con exponente mayor. Porque quedarían potencias negativas. Por ejemplo:

x2 : x5 = x2-5 = x-3

Y los polinomios no pueden tener potencias negativas.

Tampoco sirve sacarla con un exponente menor todavía. Porque no estaríamos sacando todo el factor común posible, y seguiría quedando factor común dentro de la expresión. Es análogo a no sacar el Máximo Común Divisor entre los números, sino un divisor menor. Entre las letras, también estamos sacando el Máximo Común Divisor. Por ejemplo, si saco "x" en vez de "x2" en el ejemplo anterior:

7x2 + 11x3 - 4x5 + 3x4  - x8 = x.(7x + 11x2 - 4x4 + 3x3  - x7)

Me lo van a corregir como incorrecto. Porque no saqué el mayor factor común posible. Y se puede apreciar fácilmente mirando el resultado: sigue estando la letra "x" en todos los términos, sigue habiendo factor común "x".

Para mejor ilustración sobre estas cuestiones, ver las explicaciones de los ejemplos resueltos.


¿Puedo sacar factor común sin pensar en divisiones?

En muchos ejemplos, en vez de pensar en "dividir", conviene pensar en "sacar".
Por ejemplo:

2bc + 2bm = 2b.(c + m)

En vez de pensar "2 dividido 2 dá 1", "b dividido b dá 1", etc. Pienso mejor: "a 2bc le saco 2b, queda c " y "a 2bm le saco 2b, queda m ".


¿Qué pasa si el factor común que saco es igual a uno de los términos?

Mucho cuidado con esto. Si dividimos un término por sí mismo, el resultado es "1". Y hay que ponerlo. O de lo contrario, estamos obteniendo una expresión que no es equivalente a la original, ya que le estaríamos quitando un término. Y eso se puede verificar haciendo la multiplicación (con la Propiedad Distributiva).Por ejemplo:

2ac + 2ab + 2a = 2a. (c + b + 1)

Es decir que "si sacamos todo", no es que "no queda nada". Queda el número 1, resultado de dividir algo por sí mismo. Apliquemos la Propiedad Distributiva en el resultado para verificar que es equivalente al polinomio original:

2a. (c + b + 1) = 2ac + 2bc + 2a

En cambio, si no hubiéramos puesto el "1", el resultado hubiera quedado así:

2a.(c + b)

Y si aplicamos la distributiva en ese resultado, veremos que no es igual al polinomio original, porque ¡le falta un término!:

2a.(c + b) = 2ac + 2ab


¿Hay una manera práctica de dividir a las fracciones?

Sí. Dividiendo "el de arriba por el de arriba y el de abajo por el de abajo". Así se obtiene con rapidez la fracción resultado, sin calculadora o cálculos auxiliares (Ver también en EJEMPLO 4)


¿Y qué pasa con los signos en el factoreo?

Casi siempre sacamos factor común positivo, a menos que por alguna razón necesitemos hacer lo contrario. Si sacamos factor común positivo, cada término queda con el mismo signo que tenía originalmente. Por ejemplo:

-2a + 2b - 2c - 2d = 2. (-a + b - c - d)

Y eso es porque estamos dividiendo: En cada división usamos la regla de los signos para calcular el resultado, y al dividir por un número positivo, el resultado tiene el mismo signo que el término original:

REGLA DE LOS SIGNOS:

"más por más = más"
"menos por menos = más"
"más por menos = menos"
"menos por más = menos"



¿Se puede sacar factor común negativo?

Sí, y en algunos casos es útil hacerlo, por ejemplo en el caso "Factor Común en grupos". Si sacamos factor común negativo, cada término queda con el signo contrario al que tenía originalmente. Por ejemplo:

5a - 5b - 5c + 5d = -5. (-a + b + c - d)

Si usamos la regla de los signos en cada división veremos cómo cada resultado queda con el signo contrario al del término original.

En EJEMPLO 7 se explica cómo sacar factor común negativo.



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