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FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2



EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")


4a  +  4b  +  xb  +  xa =

4.(a + b)  +  x.(b + a) =

4.(a + b)  +  x.(a + b) =

      (a + b).(4 + x)


En el primer paso quedó desordenado el "resultado" (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)



EXPLICACIÓN:


PASO 1: Agrupación de a dos términos

Agrupo 4a con 4b (ya que entre hay factor común "4" entre ellos) y, por otro lado xb con xa (ya que hay factor común "x" entre ellos).
Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a + b)
Al sacar factor común X en los dos últimos términos, queda x.(b + a)

4. (a + b) + x. (b + a)           (para saber por qué el signo +, consultar en el EJEMPLO1)


PASO 2: Ordenar los términos

Los "resultados" de sacar factor común, son ahora (a + b) para el primer grupo, y
(b + a) para el segundo grupo. Es decir (a + b) y (b + a), los cuales no son a simple vista "iguales".
Pero "a + b" es igual a "b + a". La Propiedad Conmutativa, que se cumple para la suma, lo asegura. Entonces puedo reemplazar a (b + a) por (a + b), y así tener ya los dos "resultados" iguales.

4. (a + b) + x. (a + b)                (b + a) lo cambié por (a + b), porque son iguales


PASO 3: Sacar Factor Común (a + b)

Tenemos entonces lo mismo que en el Ejemplo 1, Paso 2. Lo único que falta hacer es:

(a + b).(4 + x)

Y la explicación de por qué hice esto es la misma que la del EJEMPLO 1 - PASO 2



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Por qué le digo "resultado desordenado"?

En vez de ver la relación entre (a + b) y (b + a) como una suma "conmutada", podemos pensarlo de otra manera que a muchos le ayuda, sobre todo cuando hay signos negativos. Sería verlo de la siguiente forma:

En (a + b) tenemos "a positiva" (porque no tiene signo adelante) y "b positiva".
En (b + a) tenemos "b positiva" y "a positiva".

Tenemos las mismas letras, con el mismo signo, pero en distinto orden. Por eso le digo "desordenado". Y lo que hay que hacer es justamente ordenar alguno de los dos, para que queden iguales y poder así seguir con el caso.
Pensándolo así, ya no necesitamos recordar la Propiedad Conmutativa. Tengamos en cuenta que las propiedades hay que aplicarlas con precaución, sabiendo en qué conjunto se cumplen, condiciones previas, etc. Cuando entran a jugar los números negativos, ya pueden surgir inseguridades de si se puede o no aplicar la propiedad. Mirándolo de esta nueva manera, podemos ya olvidarnos de las propiedades.

Decía que cuando hay números negativos, empieza a verse mejor la utilidad de este "método". Les voy a mostrar algunos resultados y vamos a analizar si son o no son iguales:

Ejemplo 1:     (a - b)  y  (-b + a)   

En (a - b) tenemos "a positiva" y "b negativa".
Y en (-b + a) tenemos "b negativa" y "a positiva".
¡Tenemos lo mismo en los dos! Son resultados "desordenados", entonces podemos ordenar el segundo por ejemplo, y seguir el caso.
El segundo, ordenado, quedaría así: (+a - b), pero como el más adelante de la "a" no se pone, queda (a - b), idéntico al primero.

Ejemplo 2:     (a - b) y (b - a)

En (a - b) tenemos "a positiva" y "b negativa". 
Y en (b - a) tenemos "b positiva" y "a negativa".
¡No es lo mismo! No sirve ordenarlos. En este caso se puede hacer algo más para seguir el caso, pero eso está explicado en el EJEMPLO 6 ("desordenados y opuestos")

Ejemplo 3:    (b - a) y (-b + a)

En (b - a) tenemos "b positiva" y "a negativa".
En (-b + a) tenemos "b negativa" y "a positiva". ¡No es lo mismo!

En definitiva, se puede de esta manera analizar término con término, para saber si están "desordenados" y se puede seguir el caso con sólo ordenarlos.


Más ejercicios resueltos,  parecidos al ejemplo 2:

ax + ay + 2y + 2x =
a. (x  + y) + 2. (y + x) =
a. (x  + y) + 2. (x + y) =
(x + y).(a + 2)

3x2 - 6x - 10a + 5xa  =
3x. (x - 2) + 5a. (-2 + x) =
3x. (x - 2) + 5a. (x - 2) =
(x - 2).(3x + 5a)

8xb + 2x3 + ax2 + 4ba =
2x. (4b + x2) + a. (x2 + 4b) =
2x. (4b + x2) + a. (4b + x2) =
(4b + x2).(2x + a)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Todos los términos positivos)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con términos negativos y resultado desordenado)
EJEMPLO 5 (Resultados opuestos)
EJEMPLO 6 (Resultados opuestos y desordenados)
EJEMPLO 7 (Todos los términos son negativos)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 9 (Polinomio de 6 términos)
EJEMPLO 10 (Parece que no se puede, pero se puede)



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