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FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5



EJEMPLO 5: (Resultados "opuestos")


4a -  4b  - xa  +  xb =

4.(a - b) + x.(-a + b) =

4.(a - b) - x.(a - b) =

   (a - b).(4 - x)


En el primer paso quedaron los signos opuestos para los 2 términos. Pero en el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (lo que en realidad es sacar FACTOR COMÚN NEGATIVO)



EXPLICACIÓN:


PASO 1:

Agrupo 4a con 4b (ya que entre hay factor común "4" entre ellos) y, por otro lado xb con xa (ya que hay factor común "x" entre ellos).
Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a - b)
Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(-a + b)

4. (a - b) + x. (-a + b)              (para saber por qué el signo +, consultar en el EJEMPLO1)


PASO 2:

Los resultados de sacar factor común no son idénticos. Pero, las letras son las mismas (a y b), sólo que están con los signos "invertidos" u opuestos. Veamos:

En (a - b), la "a" es "positiva" y la "b" es negativa. Aquí tengo "+a" y "-b"
En (-a + b), la "a" es "negativa" y la "b" es positiva. Aquí tengo "-a" y "+b"

Es decir que la "a" es positiva en el primero, y negativa en el segundo. Son "opuestos".
Y la "b" es negativa en el primero, y positiva en el segundo. Son "opuestos". (¿opuestos?)
Cuando se dá una situación así, se puede sacar factor común negativo (en vez de positivo como es costumbre) en alguno de los dos grupos, y entonces sí quedarán los dos resultados iguales. Pero si no quieren pensar en "sacar factor común negativo", lo pueden hacer pensando así: "Saco el menos afuera y cambio los signos". Se puede hacer en cualquiera de los dos términos, pero aquí lo hago para el segundo:

4. (a - b) - x. (a - b)

Como se puede ver, en donde antes iba el +, ahora pongo un -. Y a "a" y "b" les cambio el signo. Eso es "sacar el menos afuera", y es lo mismo que "sacar factor común x negativo". (¿cómo se saca factor común negativo?).
Este es el "arreglo" que hay que hacer cuando en los resultados aparecen los mismos dos términos (a y b en este caso), pero con los signos "invertidos".


PASO 3:

Llegamos entonces a la situación normal, vista ya en el PASO 2 de los Ejemplos 1 ó 3. Podemos sacar factor común (a - b)

(a - b).(4 - x)              (Más información sobre este PASO en EJEMPLO1 - PASO 2)


Nota: Si se opta por "sacar factor común negativo", el PASO 1 de esta explicación no se hace. Al sacar factor común negativo en el primer paso, el ejercicio queda ya como en el PASO 2:

4a - 4b - xa + xb =
4. (a - b) - x. (a - b) =        Acá saqué factor común -x , ya en el primer paso
(a - b).(4 - x)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Qué pasa si agrupo de otra manera en este ejercicio?

Tal como en el Ejemplo 1, aquí también se puede agrupar de otra manera: 4a con xa por un lado y 4b con xb por otro lado.
Pero cuando saco factor común "positivo" (como es costumbre hacer) en ambos grupos, me queda lo siguiente:

4a - 4b - xa + xb =                Agrupé 1ero con 4to, y 2do con 3ero.
a. (4 - x) + b. (-4 + x) =         Saqué factor común en las dos agrupaciones

Así también los resultados dan con los signos invertidos: (4 - x) y (-4 + x). Entonces se puede hacer lo mismo que en la explicación del ejemplo: "Sacar el menos afuera y cambiar los signos", "sacar factor común negativo en alguno de los grupos":

a. (4 + x) - b. (4 + x) =
(4 + x).(a - b)


¿A qué le llamamos "opuestos"?

A dos cosas de igual valor, pero con signo contrario. Los signos son + y -, por supuesto.
Por ejemplo:
5 y -5 son opuestos
a y -a son opuestos
-x3 y x3 son opuestos
2az y -2az son opuestos
(x + 1) y - (x + 1) son opuestos
(x + 1) y -x -1 son opuestos (es igual al de arriba, pero saqué el paréntesis)
(a - b) y - (a - b) son opuestos
(a - b) y -a + b son opuestos (es igual al de arriba, pero saqué el paréntesis)

El término (la palabra) viene de la "Ley del opuesto", que dice que para todo número entero hay otro número llamado opuesto (o simétrico) tal que sumado a éste el resultado es "0", que es neutro de la suma". 5 + (-5) = 0 ; a + (-a) = 0


Más ejercicios resueltos,  parecidos al ejemplo 5:

ax - ay - 2x + 2y =
a. (x  - y) + 2. (-x + y) =
a. (x  - y) - 2. (x - y) =
(x - y).(a - 2)

3x2 - 6x - 5xa + 10a =
3x. (x - 2) + 5a. (-x + 2) =
3x. (x - 2) - 5a. (x - 2) =
(x - 2).(3x - 5a)

8xb - 2x3 - 4ba + ax2=
2x. (4b - x2) + a. (-4b + x2) =
2x. (4b - x2) - a. (4b - x2) =
(4b - x2).(2x - a)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS


Explicaciones de otros Ejemplos:

EJEMPLO 1 (Todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Resultado desordenado)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con términos negativos y resultado desordenado)
EJEMPLO 6 (Resultados opuestos y desordenados)
EJEMPLO 7 (Todos los términos negativos)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 9 (Polinomio de 6 términos)
EJEMPLO 10 (Parece que no se puede, pero se puede)



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