Temario
| Factoreo | Todos los Ejemplos
|
Respuestas
FACTOR COMÚN EN GRUPOS /
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 6: (Resultados "opuestos" y "desordenados")
4a -
4b + xb - xa =
4.(a - b) + x.(b - a) =
4.(a - b) - x.(- b + a) =
4.(a - b) - x.(a - b) =
(a - b).(4 - x)
Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto
cada término.
En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (como en el
Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b +
a) es igual que (a - b)
EXPLICACIÓN:
PASO 1:
Agrupo 4a con 4b (ya que entre hay factor común
"4" entre ellos) y, por otro lado xb con xa (ya que hay factor común "x"
entre ellos).
Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a - b)
Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(b - a)
4. (a - b) + x. (b - a)
(para saber por qué el signo +,
consultar en el EJEMPLO 1)
PASO 2:
Los resultados de sacar factor común no son idénticos. Pero, las letras son las
mismas (a y b), sólo que están en otro orden y con los signos "invertidos" u opuestos,. Veamos:
En (a - b), la "a" es "positiva" y la "b" es negativa. Aquí tengo "+a" y "-b" (¿"+a"?)
En (b - a), la "a" es "negativa" y la "b" es positiva. Aquí tengo "-a" y "+b"
Es decir que la "a" es positiva en el primero, y negativa en el segundo. Son
"opuestos". Y la "b" es negativa en el primero, y positiva en el segundo. Son "opuestos".
(¿opuestos?). Al ser
opuestos los dos términos respectivos de cada resultado, podemos decir que son
"resultados opuestos", ya que (a - b) es opuesto a (b - a). (¿por
qué?)
Cuando se dá una situación así, se puede sacar factor común negativo (en vez de
positivo como es costumbre) en alguno de los dos grupos, y entonces sí quedarán
los dos resultados iguales (aunque desordenados en este paso). Pero si no quieren pensar en "sacar factor común
negativo", lo pueden hacer pensando así: "Saco el menos afuera y cambio los
signos". Se puede hacer en cualquiera de los dos términos, pero aquí lo hago
para el segundo:
4. (a - b) - x. (-b + a)
Como se puede ver, en donde antes iba el +,
ahora pongo un -. Y a "a" y "b" les cambio el signo. Eso es "sacar el
menos afuera", y es lo mismo que "sacar factor común x negativo".
Y ya lo vimos en el Ejemplo 5, pero lo repito aquí por si no leyeron allí. (¿cómo se saca factor
común negativo?).
Ése es el "arreglo" que hay que
hacer cuando en los resultados aparecen los mismos dos términos (a y b en este
caso), pero con los signos "invertidos".
PASO 3:
Ahora que quedaron bien los signos, ordeno la letras del segundo, para que
queden iguales. Como (-b + a) es igual que (a - b) (¿por
qué?), reemplazo en el segundo término y queda así:
4. (a - b) - x. (a - b)
Nota: El PASO 2 y el PASO 3 no tienen que hacerse en ese orden necesariamente.
Se puede primero "ordenar" los términos y después "sacar el menos" (o sacar
factor común negativo).
PASO 4:
Ahora que los dos resultados son iguales, sólo queda sacar factor común (a - b),
como ya vimos en otros ejemplos:
(a - b).(4 - x)
(Más información sobre este PASO en EJEMPLO 1 - PASO 2)
Nota: Si se opta por "sacar factor común negativo", el PASO 1 de esta
explicación no se hace. Al sacar factor común negativo en el primer paso, el
ejercicio queda ya como en el PASO 2. El ejercicio completo quedaría así:
4a - 4b + xb - xa =
4. (a - b) - x. (-b + a) = Acá saqué
factor común -x , ya en el primer paso
4. (a - b) - x. (a - b) =
Acá ordené
(a - b).(4 - x)
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
¿Por qué (a - b) y (b - a) son opuestos?
Si conocemos lo que significa el "opuesto" de algo (no
lo sé), sabremos que el opuesto de
(a - b) es -(a -
b). Pero -(a - b) es lo mismo que -a + b, cuando saco el paréntesis (¿por
qué?).
Y -a + b es lo mismo que b - a, si cambio el orden. En definitiva:
- (a - b) = -a + b = b - a = (b - a)
Es decir que el opuesto de (a - b) es igual a (b - a). En cada paso estoy
usando propiedades de los números reales, con lo cual queda asegurada su
validez.
¿Por qué digo - (a - b) es igual -a + b?
¿Recuerdas que alguna vez te enseñaron que "si sacamos un paréntesis que
está precedido por un signo menos, hay que cambiarle los signos a todos los
términos que están adentro del paréntesis"? Bueno, esa "regla" puedes pensar que
estamos usando aquí.
¿Qué pasa si agrupo de otra manera en este ejercicio?
Tal como en el Ejemplo 1, aquí también se puede agrupar de otra manera: 4a
con xa por un lado y 4b con xb por otro lado.
Pero cuando saco factor común "positivo" (como es costumbre hacer) en ambos
grupos, me queda lo siguiente:
4a - 4b +
xb - xa =
Agrupé 1ero con 4to, y 2do con 3ero.
a. (4 - x) + b. (-4 + x) = Saqué factor común en las dos agrupaciones
Así también los resultados dan con los signos invertidos: (4 - x) y (-4 + x).
Pero no están "desordenados". Como puede verse, depende de cómo agrupemos
el ejercicio se hace más fácil (o con menos pasos). Nos quedó como en el Ejemplo
5: Resultados opuestos.
Sólo falta "sacar el
menos afuera y cambiar los signos", o "sacar factor común negativo en alguno de
los grupos":
a. (4 - x) - b. (4 - x) =
(4 - x).(a - b)
Más ejercicios resueltos, parecidos al ejemplo 6:
ax - ay + 2y - 2x =
a. (x - y) + 2. (y - x) =
a. (x - y) - 2. (-y + x) =
a. (x - y) - 2. (x - y) =
(x - y).(a - 2)
3x2 - 6x + 10a - 5xa =
3x. (x - 2) + 5a. (2 - x) =
3x. (x - 2) - 5a. (-2 + x) =
3x. (x - 2) - 5a. (x - 2) =
(x - 2).(3x - 5a)
8xb - 2x3 + ax2 - 4ba =
2x. (4b - x2) + a. (x2 - 4b) =
2x. (4b - x2) - a. (-x2 + 4b) =
2x. (4b - x2) + a. (4b - x2) =
(4b - x2).(2x + a)
Para más información, conceptos y ejemplos resueltos,
consultar en:
SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS
Explicaciones de otros Ejemplos:
EJEMPLO 1 (Todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Resultado desordenado)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con términos negativos y resultado
desordenado)
EJEMPLO 5 (Resultados opuestos)
EJEMPLO 7 (Todos los términos negativos)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 9 (Polinomio de 6 términos)
EJEMPLO 10 (Parece que no se puede, pero se puede)
Política de Privacidad
- Contacto:
matematicaylisto@gmail.com
|