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FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6



EJEMPLO 6: (Resultados "opuestos" y "desordenados")


4a -  4b  +  xb  -  xa =

4.(a - b)  +  x.(b - a) =

4.(a - b)  -  x.(- b + a) =

4.(a - b)  -  x.(a - b) =

     (a - b).(4 - x)


Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada término. En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)



EXPLICACIÓN:


PASO 1:

Agrupo 4a con 4b (ya que entre hay factor común "4" entre ellos) y, por otro lado xb con xa (ya que hay factor común "x" entre ellos).
Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(a - b)
Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(b - a)

4. (a - b) + x. (b - a)               (para saber por qué el signo +, consultar en el EJEMPLO 1)


PASO 2:

Los resultados de sacar factor común no son idénticos. Pero, las letras son las mismas (a y b), sólo que están en otro orden y con los signos "invertidos" u opuestos,. Veamos:

En (a - b), la "a" es "positiva" y la "b" es negativa. Aquí tengo "+a" y "-b" (¿"+a"?)
En (b - a), la "a" es "negativa" y la "b" es positiva. Aquí tengo "-a" y "+b"

Es decir que la "a" es positiva en el primero, y negativa en el segundo. Son "opuestos". Y la "b" es negativa en el primero, y positiva en el segundo. Son "opuestos". (¿opuestos?). Al ser opuestos los dos términos respectivos de cada resultado, podemos decir que son "resultados opuestos", ya que (a - b) es opuesto a (b - a). (¿por qué?)

Cuando se dá una situación así, se puede sacar factor común negativo (en vez de positivo como es costumbre) en alguno de los dos grupos, y entonces sí quedarán los dos resultados iguales (aunque desordenados en este paso). Pero si no quieren pensar en "sacar factor común negativo", lo pueden hacer pensando así: "Saco el menos afuera y cambio los signos". Se puede hacer en cualquiera de los dos términos, pero aquí lo hago para el segundo:

4. (a - b) - x. (-b + a)

Como se puede ver, en donde antes iba el +, ahora pongo un -. Y a "a" y "b" les cambio el signo. Eso es "sacar el menos afuera", y es lo mismo que "sacar factor común x negativo". Y ya lo vimos en el Ejemplo 5, pero lo repito aquí por si no leyeron allí. (¿cómo se saca factor común negativo?).
Ése es el "arreglo" que hay que hacer cuando en los resultados aparecen los mismos dos términos (a y b en este caso), pero con los signos "invertidos".


PASO 3:

Ahora que quedaron bien los signos, ordeno la letras del segundo, para que queden iguales. Como (-b + a) es igual que (a - b) (¿por qué?), reemplazo en el segundo término y queda así:

4. (a - b) - x. (a - b)

Nota: El PASO 2 y el PASO 3 no tienen que hacerse en ese orden necesariamente. Se puede primero "ordenar" los términos y después "sacar el menos" (o sacar factor común negativo).


PASO 4:

Ahora que los dos resultados son iguales, sólo queda sacar factor común (a - b), como ya vimos en otros ejemplos:

(a - b).(4 - x)              (Más información sobre este PASO en EJEMPLO 1 - PASO 2)


Nota: Si se opta por "sacar factor común negativo", el PASO 1 de esta explicación no se hace. Al sacar factor común negativo en el primer paso, el ejercicio queda ya como en el PASO 2. El ejercicio completo quedaría así:

4a - 4b + xb - xa =
4. (a - b) - x. (-b + a) =         Acá saqué factor común -x , ya en el primer paso
4. (a - b) - x. (a - b) =           Acá ordené
(a - b).(4 - x)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Por qué (a - b) y (b - a) son opuestos?

Si conocemos lo que significa el "opuesto" de algo (no lo sé), sabremos que el opuesto de
(a - b) es -(a - b). Pero -(a - b) es lo mismo que -a + b, cuando saco el paréntesis (¿por qué?).
Y -a + b es lo mismo que b - a, si cambio el orden. En definitiva:

- (a - b) = -a + b = b - a = (b - a)

Es decir que el opuesto de (a - b) es igual a (b - a). En cada paso estoy usando propiedades de los números reales, con lo cual queda asegurada su validez.


¿Por qué digo - (a - b) es igual -a + b?

¿Recuerdas que alguna vez te enseñaron que "si sacamos un paréntesis que está precedido por un signo menos, hay que cambiarle los signos a todos los términos que están adentro del paréntesis"? Bueno, esa "regla" puedes pensar que estamos usando aquí.


¿Qué pasa si agrupo de otra manera en este ejercicio?

Tal como en el Ejemplo 1, aquí también se puede agrupar de otra manera: 4a con xa por un lado y 4b con xb por otro lado.
Pero cuando saco factor común "positivo" (como es costumbre hacer) en ambos grupos, me queda lo siguiente:

4a - 4b + xb - xa =                Agrupé 1ero con 4to, y 2do con 3ero.
a. (4 - x) + b. (-4 + x) =        Saqué factor común en las dos agrupaciones

Así también los resultados dan con los signos invertidos: (4 - x) y (-4 + x). Pero no están  "desordenados". Como puede verse, depende de cómo agrupemos el ejercicio se hace más fácil (o con menos pasos). Nos quedó como en el Ejemplo 5: Resultados opuestos.
Sólo falta "sacar el menos afuera y cambiar los signos", o "sacar factor común negativo en alguno de los grupos":

a. (4 - x) - b. (4 - x) =
(4 - x).(a - b)


Más ejercicios resueltos,  parecidos al ejemplo 6:


ax - ay + 2y - 2x =
a. (x  - y) + 2. (y - x) =
a. (x  - y) - 2. (-y + x) =
a. (x  - y) - 2. (x - y) =
(x - y).(a - 2)


3x2 - 6x + 10a - 5xa  =
3x. (x - 2) + 5a. (2 - x) =
3x. (x - 2) - 5a. (-2 + x) =
3x. (x - 2) - 5a. (x - 2) =
(x - 2).(3x - 5a)


8xb - 2x+ ax2 - 4ba =
2x. (4b - x2) + a. (x2 - 4b) =
2x. (4b - x2) - a. (-x2 + 4b) =
2x. (4b - x2) + a. (4b - x2) =
(4b - x2).(2x + a)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS


Explicaciones de otros Ejemplos:

EJEMPLO 1 (Todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Resultado desordenado)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con términos negativos y resultado desordenado)
EJEMPLO 5 (Resultados opuestos)
EJEMPLO 7 (Todos los términos negativos)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 9 (Polinomio de 6 términos)
EJEMPLO 10 (Parece que no se puede, pero se puede)



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