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FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 7



EJEMPLO 7: (Todos los términos son negativos)


-4a  -  4b  - xa  - xb =

-4.(a + b)  - x.(a + b)=

    (a + b).(-4 - x)

En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Común negativo (¿Cómo sacar Factor Común negativo?) Y sino, en la EXPLICACIÓN también lo hago sacando Factor Común positivo.



EXPLICACIÓN:

Este ejercicio lo resuelvo de dos maneras: 1) Sacando factor común negativo; 2) Sacando factor común positivo, para quienes no les interesa aprender a sacar factor común negativo.


1) SACANDO FACTOR COMÚN NEGATIVO:

PASO 1:

Agrupo 4a con 4b (ya que entre hay factor común "4" entre ellos) y, por otro lado xb con xa (ya que hay factor común "x" entre ellos).

Al sacar factor común -4 en los primeros dos términos, queda -4.(a + b). Recordemos que cuando saco factor común negativo, debo cambiar los signos de todos los términos que pongo dentro del paréntesis.
(¿cómo se saca factor común negativo?) (FACTOR COMÚN - EJEMPLO 7)

Al sacar factor común -x en los dos últimos términos, queda -x.(a + b)

-4. (a + b) - x. (a + b)


PASO 2:

Los resultados de sacar factor común son iguales. No queda más que sacar (a + b) como factor común:

(a + b).(-4 - x)        (Más información sobre este PASO en EJEMPLO1 - PASO 2)


2) SACANDO FACTOR COMÚN POSITIVO:

PASO 1:

Agrupo 4a con 4b (ya que entre hay factor común "4" entre ellos) y, por otro lado xb con xa (ya que hay factor común "x" entre ellos).
Al sacar factor común 4 en los primeros dos términos, queda 4.(-a - b)
Al sacar factor común x en los dos últimos términos, queda x.(-a - b)

4. (-a - b) + x. (-a - b) =


PASO 2:

Los resultados de sacar factor común son iguales. No queda más que sacar (-a - b) como factor común:

(-a - b).(4 + x)        (Más información sobre este PASO en EJEMPLO1 - PASO 2)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Por qué no dió igual cuando sacando factor común positivo?

Dió igual. Tiene que dar igual. Es el mismo polinomio. Lo que puede pasar es que las dos factorizaciones tengan "distinta forma", pero que sean formas equivalentes. Es decir que se pueda pasar de una a otra usando propiedades válidas.

Veamos si es verdad que (a + b).(-4 - x) es igual que (-a - b).(4 + x):

Primero echémosle un vistazo y observemos cuál es la diferencia: En el primero la a y la b son positivas, y el 4 y la x negativas. Y en el segundo ¡es "al revés"! Por ahí viene la cosa. La comprobación de que ambos son iguales, usando propiedades que no vienen al caso (casi nadie en el Nivel Medio aprende ni se justifica con las propiedades o axiomas), sería así:

(-a - b).(4 + x) es igual que -(a + b).(4 + x); ya que (-a - b) es el opuesto de (a + b) (¿opuestos?)

Pero - (a + b). (4 + x) es igual que -1. (a + b).(4 + x)

Y esto último es igual a (a + b).(-1)(4 + x); por la Propiedad Conmutativa de la multiplicación. 

Luego, eso último es igual a (a + b)(-4 -x); por aplicar la Propiedad Distributiva con el -1.

(-a - b).(4 + x) = -(a + b).(4 + x) = -1. (a + b).(4 + x) = (a + b).(-1)(4 + x) = (a + b)(-4 -x)


¿Qué pasa si agrupo de otra manera en este ejercicio?

Tal como en el Ejemplo 1, aquí también se puede agrupar de otra manera: 4a con xa por un lado y 4b con xb por otro lado. Lo hago sacando factor común negativo:

-4a - 4b - xa - xb =              Agrupé 1ero con 4to, y 2do con 3ero.
-a. (4 + x) - b. (4 + x) =        Saqué factor común negativo en las dos agrupaciones

Los resultados quedaron iguales, sólo basta con sacar factor común (4 + x)

(4 + x).(-a - b)


Más ejercicios resueltos,  parecidos al ejemplo 7:


Sacando factor común negativo:

-ax - ay - 2x - 2y =
-a. (x  + y) - 2. (x + y) =
(x + y).(-a - 2)


Sacando factor común positivo:

-ax - ay - 2x - 2y =
a. (-x  - y) + 2. (-x - y) =
(-x - y).(a + 2)


Sacando factor común negativo:

-3x2 - 6x  - 5xa - 10a  =
-3x. (x + 2) - 5a. (x + 2) =
(x + 2).(-3x - 5a)


Sacando factor común positivo:

-3x2 - 6x  - 5xa - 10a  =
3x. (-x - 2) + 5a. (-x - 2) =
(-x - 2).(3x + 5a)


Sacando factor común negativo:

8xb - 2x3 - 4ba - ax2 =
-2x. (4b + x2) - a. (4b + x2) =
(4b + x2).(-2x - a)


Sacando factor común positivo:

8xb - 2x3 - 4ba - ax2 =
2x. (-4b - x2) + a. (-4b - x2) =
(-4b - x2).(2x + a)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Resultado desordenado)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con términos negativos y resultado desordenado)
EJEMPLO 5 (Resultados opuestos)
EJEMPLO 6 (Resultados opuestos y desordenados)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 9 (Polinomio de 6 términos)
EJEMPLO 10 (Parece que no se puede, pero se puede)



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