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FACTOR COMÚN EN GRUPOS / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 9



EJEMPLO 9: (Polinomio de 6 términos)


4a - 7x2a + ya  +  4z - 7x2z + yz =

a.(4 - 7x2 + y) + z.(4 - 7x2 + y) =

      (4 - 7x2 + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos, o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos. 



EXPLICACIÓN:


AGRUPANDO DE A 3 TÉRMINOS:

PASO 1:

Agrupo los tres primeros términos ("4a", "7x2a" y "ya") (ya que hay factor común "a" entre ellos). Y, por otro lado, agrupo los tres últimos términos ("4z", "7x2z", "yz") (ya que hay factor común "z" entre ellos).

Al sacar factor común "a" en los tres primeros términos, queda:
 
a. (4 - 7x2 + y)

Al sacar factor común "y" en los otros tres términos, queda:

z. (4 - 7x2 + y)

Tenemos entonces:

a. (4 - 7x2 + y) + z. (4 - 7x2 + y) =


PASO 2:

Los resultados de sacar factor común son iguales (4 - 7x2 + y). No queda más que sacar (4 - 7x2 + y) como factor común.

(4 - 7x2 + y).(a + z)


AGRUPANDO DE A DOS TÉRMINOS:

Otra forma de resolverlo es eligiendo grupos de 2 términos:

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =

4.(a + z) - 7x2.(a + z) + y.(a + z) =

(a + z).(4 - 7x2 + y)


PASO 1:

Agrupo "4a" con "4z" (ya que entre hay factor común "4" entre ellos); agrupo "7x2a" con "7x2z" (ya que hay factor común "7x2" entre ellos); y agrupo "ya" con "yz" (ya que hay factor común "y" entre ellos).

Al sacar factor común "4" en la primera agrupación (color morado), queda:

4.(a + z)

Al sacar factor común "-7x2" en la segunda (color azul), queda:

-7x2.(a + z)          (De otra manera: Sin sacar factor común negativo)

Al sacar factor común "y" en la tercera agrupación (color negro), queda:

y.(a + z)

Tenemos entonces:

4.(a + z) - 7x2.(a + z) + y.(a + z) =

PASO 2:

Como todos los resultados quedaron iguales (a + z), ahora puedo sacar factor común (a + z):

(a + z).(4 - 7x2 + y)      (Más información sobre este PASO en EJEMPLO1 - PASO 2)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS


¿Cómo sería la solución si no quiero sacar factor común negativo (en "agrupando de a dos")?

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =
4.(a + z) + 7x2.(-a - z) + y.(a + z) =
4.(a + z) - 7x2.(a + z) + y.(a + z) =         (Acá hice el "cambio de signos". Ver EJEMPLO 5)
(a + z).(4 - 7x2 + y)


¿Se puede agrupar de otra manera en este ejercicio?

Probemos otras agrupaciones:

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =          En todos estos grupos hay factor común
a.(4 + y) -7x2.(a + z) + z.(4 + y) =        Pero los resultados no son todos iguales.

Esta agrupación no sirve, porque los resultados no son todos iguales, ni se los puede transformar mediante cambios de signo u "ordenación".

NOTA: Sin embargo, hay una manera de seguir este ejercicio desde allí, y llegar al mismo final que llegamos con las otras agrupaciones. Ya sería para muy avanzandos, pero si les interesa verlo
pueden consultar en PARA AVANZADOS.

Aquí otra agrupación:

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =           En todos estos grupos hay factor común
a.(4 - 7x2) + z.(4 - 7x2) + y.(a + z) =      Pero los resultados no son todos iguales

Otra vez nos pasó lo mismo. Pero se puede ir observando que en ambos casos hay dos de los resultados que sí son iguales. Ésa es la clave para la solución "para avanzados" que les comenté. Y éste también lo pueden ver resuelto en PARA AVANZADOS.


Más ejercicios resueltos,  parecidos al ejemplo 9:


4x2 - 5xa + xb - 4xc + 5ac - bc =
x.(4x - 5a + b) + c.(-4x + 5a - b) =
x.(4x - 5a + b) - c.(4x - 5a + b) =
(4x - 5a + b).(x - c)


3a2 - a - 3b + ab + 3 - a3 =
3.(a2 - b + 1) + a.(-1 + b - a2) =
3.(a2 - b + 1) - a.(1 - b + a2) =
3.(a2 - b + 1) + a.(a2 - b + 1) =
(a2 - b + 1).(3 + a)


5ax + 3bx + 2cx + 10ay + 6by + 4cy =
5x.(a + 3b + 2c) + 2y.(5a + 3b + 2c) =
(a + 3b + 2c).(5x + 2y)


Los mismos ejemplos, pero agrupando de a dos términos:


4x2 - 5xa + xb - 4xc + 5ac - bc =
4x.(x - c) + 5a.(-x + c) + b.(x - c) =
4x.(x - c) - 5a.(x - c) + b.(x - c) =
(x - c).(4x - 5a + b)


3a2 - a - 3b + ab + 3 - a3 =  (Caso particular, donde queda un grupo en el que no hay factor cómun)
a2.(3 - a) + b.(-3 + a) + 1.(-a + 3) =     Esta situación particular se explica en el EJEMPLO 10
a2.(3 - a) - b.(3 - a) + 1.(3 - a) =         La solución está en sacar factor común "1" en ese grupo
(3 - a).(a2 -b + 1)


5ax + 3bx + 2cx + 10ay + 6by + 4cy =
5a.(x + 2y) + 3b.(x + 2y) + 2c.(x + 2y) =
(x + 2y).(5a + 3b + 2c)


Sólo para avanzados, interesados o curiosos

Nos había quedado un ejercicio sin completar, porque aparentemente no se podía seguir, debido a que los resultados no eran todos iguales. Sin embargo, se puede ver que dos de esos resultados sí son iguales. Entonces, existe una manera de seguirlo. Ésta es la solución:

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =

a.(4 + y) - 7x2.(a + z) + z.(4 + y) =         (4 + y) está en dos de los términos

(4 + y).(a + z) - 7x2.(a + z) =          Saqué factor común  (4 + y) entre esos dos términos

(a + z).(4 + y - 7x2)                         Saqué factor común (a + z)


Con la otra agrupación se puede hacer lo mismo. Ésta es la solución:

4a - 7x2a + ya + 4z - 7x2z + yz =
a.(4 - 7x2) + z.(4 - 7x2) + y.(a + z) =
(4 - 7x2).(a + z) + y.(a + z) =
(a + z).(4 - 7x2 + y)

 


Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Todos los términos positivos)
EJEMPLO 2 (Resultado desordenado)
EJEMPLO 3 (Con términos negativos)
EJEMPLO 4 (Con términos negativos y resultado desordenado)
EJEMPLO 5 (Resultados opuestos)
EJEMPLO 6 (Resultados opuestos y desordenados)
EJEMPLO 7 (Todos los términos son negativos)
EJEMPLO 8 (Agrupando términos no consecutivos)
EJEMPLO 10 (Parece que no se puede, pero se puede)



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