2x2 - 7x + 3 =
Posibles raíces: 1, -1, 3, -3, 2, -2, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2
Cuando pruebo dividir por (x - 3), encuentro que el resto dá 0:
| 2 -7 3
|
|
3| 6 -3
2 -1 | 0
Cociente: (2x - 1) Resto: 0
Como ya tengo todos polinomios de grado 1, la factorización queda así:
(x + 2).(x - 3).(2x - 1)
Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio
entre los divisores del término independiente, y en
los cocientes que forman
esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que
dividir al polinomio por (x - raíz), división que tiene como resto 0. Luego,
como en el Sexto Caso, se factoriza usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X
COCIENTE.
(Nota: Para averiguar si un número es raíz del
polinomio uso la división, porque así lo suelen hacer en el Nivel Medio, pero
se puede hacer de otra forma)
Para más información consultar en CONCEPTOS GENERALES
DEL CASO
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1
EJEMPLO 2: (Coeficiente principal igual a "1")
x4 - 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)
k = 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 8, - 8, 12, -12, 24, - 24
a = 1, -1
Posibles raíces: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24, -24
Pruebo dividir por (x + 1) y el resto dá 0:
| 1 0 -15 10 24
|
|
-1| -1 1 14 -24
1 -1 -14 24 | 0
Va quedando: (x + 1).(x3 - x2 - 14x + 24)
Ahora factorizo el cociente x3 - x2 - 14x + 24. Las
posibles raíces son las mismas, porque es el mismo término independiente.
Pruebo dividir por (x -2) y el resto dá cero:
| 1 -1 -14 24
|
|
2| 2 2 -24
1 1 -12 |
0
Ahora va quedando: (x + 1).(x - 2).(x2 + x - 12)
Factorizo el último cociente, que es de segundo grado. Podría usar Séptimo
Caso, pero sigo con Gauss. Las posibles raíces son los divisores de 12: 1, -1,
2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Pruebo dividir por (x - 3):
| 1 1 -12
|
|
3| 3 12
1 4 | 0
La factorización queda así:
(x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)
Como el coeficiente principal es igual a 1, no hace falta
calcular las distintas raíces con la fórmula k/a. Porque k/1 = k. Entonces las
posibles raíces son todas las posibles k, es decir, solamente los divisores del
término independiente, sin tener en cuenta al coeficiente principal.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE FACTOREO CON GAUSS
¿Qué dice el Teorema de Gauss?
Que es posible encontrar una raíz de un polinomio entre los divisores
de su término independiente, o entre las fracciones que se puedan formar
entre los divisores de su término independiente y de su coeficiente
principal (¿qué
es el coeficiente principal?) (¿qué
fracciones?). En este Caso de Factoreo necesitamos
esas "raíces" del polinomio (¿para qué?),
y ahí cobra importancia esto que dice Gauss. Usamos lo que dice "Gauss" para buscar esas raíces
(¿qué
son las raíces de un polinomio?) que nos ayudarán
a factorizar el polinomio. No nos hace falta saber o entender lo que son
las raíces de un polinomio para poder factorizarlo, podemos pensar que
son ciertos números que vamos a usar para dividir al polinomio por otro
de la forma (x - raíz). Por ejemplo, si una posible raíz del polinomio
es 2, vamos a dividir al polinomio por (x - 2). De todas maneras,
explicaré también lo que son las raíces (Ver
aquí).
¿Qué es eso de los divisores y las fracciones que se forman? ¿Cómo
se buscan las raíces del polinomio según Gauss?
Para encontrar raíces, hay que buscar primero los divisores del término
independiente del polinomio (¿qué
es término independiente?) y del coeficiente
principal (¿pero no era
más fácil?). Por ejemplo, en el polinomio: 2x3
-3x2 - 11x + 6, el término independiente es 6, y el coeficiente
principal es 2. Tengo que buscar los divisores de 6 y los divisores de 2
(¿qué
son los "divisores"?).
Divisores de 6: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6. (En general los denomino con
la letra "k")
Divisores de 2: 1, -1, 2, -2. (En general los denomino con la letra
"a")
Entonces, se pueden "buscar" raíces del polinomio, en todas las
fracciones que se puedan armar entre "k" y "a", con la
"k" arriba (numerador) y la "a" abajo (denominador). Es
decir: un divisor de 6 arriba, y un divisor de 2 abajo. O un divisor del
término independiente arriba, y un divisor del coeficiente principal abajo.
Así:
Posibles raíces:
Esto puede dar un montón de combinaciones, que las voy a mostrar a todas en
este ejemplo. Pero muchos resultados se repiten, así que no son tantos.
Además, no hace falta que primero formemos todas las fracciones posibles...
Podemos probar de a una, la que se nos ocurra.
Y más fácil todavía: Podemos empezar probando solamente a los divisores
del término independiente (¿y
por qué puedo hacer eso?). Lo más probable es que
encontremos una o más raíces en esos divisores, y con eso nos alcance para
factorizar todo el polinomio, y ya no tengamos que andar pensando en ninguna
fracción. Eso es lo que pasa en casi todos los ejercicios. Yo tengo que explicar la teoría completa, pero la teoría es más complicada de lo
que en la práctica se hace: en el 99% de los ejercicios no necesitaremos
acordarnos del coeficiente principal, ni fracciones ni nada. Simplemente
trabajamos con los divisores del término independiente. Y también es muy
probable encontrar raíces entre los números más pequeños: 1, -1, 2, -2.
Entonces, conviene empezar por ellos y pronto encontraremos la o las raíces
necesarias en pocos pasos.
Pero, ¿por qué puedo usar los divisores del término independiente? Si la
teoría dice otra cosa... ¿Por qué puedo obviar al coeficiente principal?:
Porque el 1 es siempre uno de los divisores del coeficiente principal, ya que el
1 es divisor de cualquier número. Y una fracción que tenga un 1 abajo, es
igual al número "que está arriba". A ver, para que se entienda en
nuestro ejemplo:
"k" puede ser: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
"a" puede ser: 1, -1, 2, -2
Ahora voy a armar las fracciones
con "a" = 1. Pero si a =1,
es igual a "k": Sin la "a", sin fracción, sin tener en
cuenta al coeficiente principal a.
1/1 = 1
-1/1 = -1
2/1 = 2
-2/1 = -2
3/1 = 3
-3/1 = -3
Y así... Todas las "k" pueden ser tomadas como raíces, porque se las
puede obtener de la fórmula
considerando que "a" es igual a 1. Así, todos los divisores del
término independiente pueden ser raíces del polinomio, y no hace falta pensar
en los divisores del coeficiente principal a menos que no se encuentre raíces
entre los primeros.
¿Cuáles son los conceptos en que se basa este Caso?
Tal como en el Sexto Caso de Factoreo, en
este Caso dividimos al polinomio por otro que lo divide
exactamente. Y así, por el concepto de
división, podemos decir que nuestro polinomio es igual a DIVISOR X
COCIENTE, ya que el resto de la división es igual a 0 (más
sobre esto).
POLINOMIO = DIVISOR X COCIENTE
Ahora ¿cómo encontramos un polinomio que divida exactamente al nuestro? Ése
es el segundo concepto en que se basa el Caso: Un polinomio puede ser dividido
exactamente por otro de la forma (x - x1), donde "x1"
es una raíz de ese polinomio (¿qué es una raíz?).
POLINOMIO = (x - x1). COCIENTE
Luego, para seguir factorizando, buscamos una raíz del cociente para
factorizarlo a él. Y si la encontramos, dividimos de la misma forma. Y así nos
va quedando:
POLINOMIO = (x - x1).(x - x2).COCIENTE2
Así seguimos hasta que queden todos binomios de grado 1 (no se pueden
factorizar), o que no haya más raíces.
POLINOMIO = (x - x1).(x - x2).(x - x3)......ÚLTIMOCOCIENTE
¿Y cómo encontramos todas esas raíces? Bueno, ahí es donde entra Gauss: Él
es quien nos dice cómo, y eso ya lo expliqué en la pregunta anterior: Ver
aquí.
¿Y cuál es la diferencia entre este Caso y el Sexto Caso?
Como dije antes, podríamos considerar al Sexto Caso es un caso particular de
este Caso. Porque en ambos Casos hacemos lo mismo: dividir por un polinomio de
la forma (x - a) y usar el concepto de división para factorizar como DIVISOR X
COCIENTE.
Pero lo particular del Sexto Caso es que no buscamos la raíz por el término
independiente, sino que la raíz la sabemos con sólo ver la forma del
polinomio, porque hay una REGLA PRÁCTICA que nos lo dice: "Si es suma de
potencias impares, se dividide por la suma de las bases. Si es resta de
potencias impares, se divide por la resta de las bases...". En esa regla
nos están diciendo por cuál polinomio dividir, y por ende nos están dando la
raíz (sin decirlo) sin que la busquemos. Por la forma particular que tienen los
polinomios que se pueden factorizar con el Sexto Caso (sólo dos términos,
sumando o restando, y potencias del mismo grado), se puede saber por cuál
polinomio dividirlo (y eso es lo mismo que conocer una raíz del polinomio). Ésa
es una propiedad que tienen sólo los polinomios con esa forma, y por eso es un
"caso particular".
Entonces, aplicamos el Sexto Caso cuando tenemos un polinomio de dos términos;
pero para polinomios cualquier cantidad de términos, donde no hay otro Caso que
se pueda aplicar, usamos este Caso de Factoreo por Gauss, porque no cumplen la
propiedad de los otros, no hay una Regla Práctica que nos diga por cuál
polinomio dividirlos. Entonces, la diferencia fundamental entre estos Casos
está en la forma del polinomio que quiero factorizar, y no en los conceptos en
que se basan:
Sexto Caso: Para polinomios de dos términos, que sean suma o resta de potencias
de igual grado.
Caso de Factoreo con Gauss: Para polinomios de cualquier cantidad de términos,
que tengan un término independiente.
Pero cuidado: Últimamente he visto que en el Sexto Caso no todos los profesores
de Nivel Medio enseñan usar la "regla", sino que algunos enseñan sobre
buscar la raíz, como en el Caso de Gauss que estamos viendo. Resulta que en un
polinomio de dos términos con potencias del mismo grado hay una manera muy
rápida de encontrar la raíz, y eso es lo que se puede hacer. Para quienes lo vean
así, voy a explicar un ejemplo:
x5 - 32 =
x 2
Las bases son: x y 2. Y es suma de potencias impares. En vez de usar la Regla
Práctica que nos diría que debemos dividir por (x - 2), algunos profesores les
hacen reemplazar la x con el número 2 y el número -2, de la siguiente manera:
25 - 32 = 0
(-2)5 - 32 = -32 -32 = 64
Como fue usando el 2 que el resultado dió 0, resulta que el 2 es raíz del
polinomio (¿por qué?).
Y entonces se lo puede dividir por (x - 2): Como en nuestro Caso, por (x -
raíz). Se trata entonces de reemplazar la base numérica (el "2"),
con positivo y con negativo, buscando cuál de las dos cuentas dá 0. Pero para
esto hay que incorporar un nuevo concepto: "Raíz de un polinomio es un
número que al reemplazarlo por la x hace que el polinomio dé 0". Es otra
forma de hacerlo, pero incorpora un nuevo concepto que no es habitual usar en el
Nivel Medio: lo que es una raíz, y que se puede dividir al polinomio por (x -
raíz). En general lo hacen mecánicamente sin entender lo que están haciendo.
Pero al hacerlo de esta otra manera, se parece más aún al Caso de Gauss.
Porque la base es un divisor del término independiente, y estamos usando el
concepto de raíz. Simplemente que en un polinomio con las características del
Sexto Caso, no necesitamos buscar todos los divisores del término
independiente, sino que basta con probar con la base en positivo o en negativo:
alguna de las dos será la raíz que buscamos. Sólo tenemos que hacer dos
pruebas. Ahora, ¿qué es más fácil: recordar la Regla o hacer las dos
pruebas? Porque las pruebas las hacemos por no saber o no recordar la
Regla... Y esto de las pruebas lleva a otro asunto que responderé en la próxima
pregunta...
¿Cómo puedo saber si un número es raíz de un polinomio? ¿Es la división
por
(x - raíz) la única forma?
No. Como en el Nivel Medio no suelen hablar mucho de las raíces de los
polinomios, les hacen directamente hacer la división y les dicen que tiene que
dar cero el Resto. Así también lo expliqué yo, para seguir en la misma línea
de lo que se dá en el Nivel Medio.
Pero en realidad, para saber si un número es raíz de
un polinomio (con un sólo tipo de letra, "x" por ejemplo), hay que
reemplazar todas las letras por ese número, y la cuenta total debe dar cero.
Por ejemplo, el -2 es raíz del polinomio:
2x3 -3x2 - 11x + 6 =
Porque:
2.(-2)3 - 3.(-2)2 - 11.(-2) + 6 = 2.(-8) - 3.4 + 22 + 6 =
-16 - 12 + 22 + 6 = 0
Y eso es porque, un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por
su variable el resultado dá cero. Se le llama raíces a esos números que hacen
que un polinomio "dé 0". A este tipo de pruebas se le llama
"Hallar el Valor Numérico del polinomio", o también se le dice
"especificar el polinomio en tal número". En general a los polinomios
se los llama con una letra y una variable entre paréntesis, así:
P(x) =
2x3 -3x2 - 11x + 6
Y esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos
un número en el lugar de esa x que está entre paréntesis, estamos
"especificando" al polinomio en ese número, o hallando su Valor
Numérico para ese número:
P(-2) = 2.(-2)3 - 3.(-2)2 - 11.(-2) + 6
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si
P(x) = 0.
Entonces, cuando estamos usando este Caso de Factoreo con Gauss, tenemos otro
método para saber si un número es o no raíz. No hace falta hacer la división
por Ruffini para cada número que pueda ser raíz. En vez de la división, se
puede hacer P(posible raíz) y tiene que dar cero. A veces es una cuenta mucho
más sencilla que hacer toda una división por Ruffini. Otras veces no. Por
ejemplo cuando se lo aplica en el Sexto Caso, donde es una simple suma o resta: 25
- 32 = 0.
¿Cuando me conviene aplicar este Caso en un polinomio?
Este Caso conviene dejarlo como último recurso, cuando no se puede aplicar
ninguno de los 7 casos anteriores. Esta sugerencia no tiene que ver con su
dificultad, sino que es porque los Casos de Factoreo tradicionales son los
otros, y los profesores de Nivel Medio van a esperar que apliquen los otros
Casos si es posible. Si en un polinomio donde se puede aplicar el Tercer Caso,
aplican éste Caso de Gauss, al profesor le va a parecer que no saben ustedes
reconocer a un Trinomio Cuadrado Perfecto, y eso les bajará puntaje. Lo mismo
con los otros Casos, porque en realidad este Caso es aplicable a muchos
polinomios que también se pueden factorizar por los otros Casos. Sólo basta
que tenga un término independiente, un sólo tipo de letra, y que puedan
encontrarse raíces con los divisores del término independiente.
¿Cuándo desisto de usar este Caso?
Y, si no encuentro ninguna raíz (o ninguna división dá con resto cero), no
podré factorizar. Luego de analizar todas las posibles raíces y comprobar que
ninguna lo es en realidad, desisto de usar este Caso. Recordemos que hay dos
formas de saber si un número es raíz o no del polinomio:
1) Dividir por (x - supuesta raíz), y el Resto debe dar cero para que la
supuesta raíz lo sea en realidad (Ver aquí).
2) Reemplazar la letra del polinomio por la supuesta raíz, y el Valor Numérico
tiene que dar 0 (Ver aquí).
¿Qué son las raíces de un polinomio? ¿A ver algunos ejemplos?
Como ya dije antes, un número es raíz de un polinomio cuando al reemplazarlo por
su variable el resultado dá cero. Se le llama raíces a esos números que
"hacen
que un polinomio dé 0". Es decir, aquellos números que, reemplazados en la
letra del polinomio (x es la que estamos usando), hacen que el Valor numérico
del polinomio sea cero. Por ejemplo en:
x2 + 3x + 2 =
Si reemplazo la x con (-2), tenemos que:
(-2)2 + 3.(-2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 El
Valor que toma el polinomio es "cero".
Podemos decir entonces que (-2) es raíz de ese polinomio. En cambio, si
reemplazo la x por el número 3, tenemos que:
32 + 3.3 + 2 = 9 + 9 +2 = 20 El Valor Númerico del
polinomio es desigual a "cero".
Entonces, el número 3 no es raíz de ese polinomio.
A este tipo de pruebas se le llama
"hallar el Valor Numérico del polinomio", o también se le dice
"especificar el polinomio en tal número". Y en general a los polinomios
se los llama con una letra y una variable entre paréntesis, así:
P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
Esa notación es muy adecuada para lo que estamos haciendo, porque si ponemos
un número en esa x que está en el paréntesis, estamos
"especificando" al polinomio en ese número, o hallando su Valor
Numérico para ese número:
P(-3) = (-3)3 + 2.(-3)2 - 5.(-3) - 6 = -27 + 18 + 15 - 6
= 0
Con esta notación, podemos decir que un número x es raíz de un polinomio si
P(x) = 0.
¿Para qué necesito en este Caso las raíces del polinomio?
Porque para factorizar con este Caso debemos dividir al polinomio por (x -
alguna raíz), como ya vimos en la explicación de los ejemplos. Para poder
hacer esa división o divisiones es que buscamos raíces, ya que un polinomio
puede factorizarse así:
a.(x - x1).(x - x2).(x -x3)..... etc.
Donde x1, x2, etc. son raíces del polinomio, y
"a" el coeficiente principal, aunque este último detalle no hace
falta tenerlo en cuenta en este Caso.
Y viendo el polinomio factorizado de esa manera, nos podemos dar cuenta de las
raíces son los números que "hacen que el polinomio dé 0", como dije
cuando expliqué lo que son las raíces. Veamos en un ejemplo:
3.(x - 1).(x + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5)
En ese polinomio, las raíces son: 1, -4, 2, 3 y -5. Porque, ¿qué pasa si
reemplazo en el polinomio por alguno de ellos, por ejemplo 1? El binomio (x - 1)
va a valer cero (1 - 1 = 0). Y entonces queda todo el polinomio multiplicado por
cero, lo cual por supuesto dá cero. Así:
3.(1 - 1).(x + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5) =
3.0.(x + 4).(x -2).(x - 3).(x + 5) =
0
Lo mismo va a suceder si reemplazo la x por otra cualquiera de las raíces, por
ejemplo: -4
3.(x - 1).(-4 + 4).(x - 2).(x - 3).(x + 5)
3.(x - 1).0.(x - 2).(x - 3).(x + 5) = 0
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