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"FACTOREO CON GAUSS" / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1




EJEMPLO 1: (Con coeficiente principal distinto de 1)

2x3 - 3x2 - 11x + 6 = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)

Según Gauss, es posible encontrar raíces de un polinomio entre los divisores del término independiente, y sobre los cocientes que forman esos divisores con el coeficiente principal (k/a). Para factorizar, hay que dividir al polinomio por (x - raíz), división que tiene como resto 0. Luego, como en el Sexto Caso, se factoriza usando el concepto de DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE.

 




EXPLICACIÓN
:


NOTA: Aquí voy a tratar de explicar solamente los pasos que hago, de la manera que en general se trabaja en el Nivel Medio. Para verlo de una manera más teórica, donde se justifica un poco más lo que se hace, consultar en la explicación de la página de
EJEMPLOS RESUELTOS, y consultar los CONCEPTOS DEL CASO.



1) BUSCAR LAS POSIBLES RAÍCES:

Primero voy a buscar ciertos números que me van a servir para factorizar. Esos números son posibles raíces del polinomio (¿raíces de un polinomio?), pero para factorizar no es obligatorio entender lo que son.  Podemos simplemente buscar esos números y aplicar la división de Ruffini con esos números (En Nivel Medio suelen verlo de esa manera). Los números que busco pueden ser en primer lugar los divisores del término independiente (¿qué son los divisores? ¿qué es el término independiente?). Si me sirve alguno de ellos ya no tendré que buscar más nada, si no me sirve ninguno tendré que buscar otros números:

Divisores del término independiente (6): 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 (esos números son posibles raíces) (otras posibles raíces)

2) DIVIDIR POR (X - SUPUESTA RAÍZ):

Pruebo la división de Ruffini con alguno de ellos: con 1, con -1, con 2, pero el resto no dá cero. Cuando pruebo con el -2, el resto dá 0. Y eso es lo que estaba buscando:

  | 2  -3  -11   6
  |
  |
-2|    -4   14  -6 
    2  -7    3 | 0


Cociente: 2x2 - 7x + 3           Resto: 0      (¿cómo se divide por Ruffini?)

Recordemos que si puse el -2, estoy dividiendo por (x + 2) (no entiendo). Entonces, por ahora, la factorización va quedando así:

(x + 2).(2x2 - 7x + 3)       (¿por qué?)

(DIVISOR) X (COCIENTE)


3) SEGUIR FACTORIZANDO EL COCIENTE SI ES DE GRADO MAYOR QUE 1:

En el polinomio de segundo grado que quedó (2x2 - 7x + 3) puedo volver a buscar raíces con Gauss, o aplicar el Séptimo Caso (¿cómo sería?). Voy a seguir con Gauss:

2x2 - 7x + 3 =

Divisores del término independiente (3): 1, -1, 3, -3

Pruebo con 1, con -1, pero el resto no dá cero. Cuando pruebo con el 3, el resto sí dá cero. 

  | 2  -7   3
  |
  |
 3|     6  -3 
    2  -1 | 0


Cociente: 2x - 1         Resto: 0

Recordemos que si en Ruffini puse el 3, estoy dividiendo por (x - 3). Entonces, la factorización de 2x2 - 7x + 3 queda así: (x - 3).(2x - 1). Luego, reemplazo a 2x2 - 7x + 3 por (x - 3).(2x - 1):

Así quedó luego de la primera factorización

(x + 2).(2x2 - 7x + 3)

Ahora reemplazo, y queda:

(x + 2).(x - 3).(2x - 1)         (no entiendo el reemplazo)

(YA ESTABA) X (DIVISOR) X (COCIENTE)  

Esto es algo así como un ejercicio combinado, porque factoricé varias veces, no una sola. 



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales de este Caso están en CONCEPTOS - FACTOREO CON GAUSS 


¿Por qué debo buscar raíces del polinomio que quiero factorizar? (¿qué es una raíz?)

Porque en este Caso voy a dividir al polinomio por otro de la forma (x - una raíz). Para poner "una raíz" restando en ese binomio, es que busco alguna raíz. Y hacemos eso porque
, si un polinomio tiene alguna raíz, entonces el polinomio es divisible por (x - esa raíz). Es decir, porque el Resto de esa división dá cero. Y entonces así el polinomio se puede factorizar como:

POLINOMIO = (x - una raíz).(COCIENTE)      (Concepto de División)

En Nivel Medio en general no se habla de esto, sino que simplemente se buscan números para hacer la división por Ruffini con ellos, probando hasta encontrar alguno con el cual el Resto de la división dé 0. ¿Qué relación hay entre una cosa y la otra?. Voy a tratar de explicarlo:

Cuando en la división por Ruffini ponemos a la izquierda-abajo un número, por ejemplo 2, estamos dividiendo por el binomio (x - 2). Nos podemos dar cuenta de eso si recordamos que cuando aprendemos a dividir por Ruffini nos enseñan a "cambiar el signo" de ese número que está en el divisor. Nos dicen así:

"Para dividir por (x - 2), hay que poner el 2, es decir, el número cambiado de signo":

 | 
 |
 |
2|          


Bueno, ahora es al revés: si puse el 2 en Ruffini, tengo que pensar que dividí por (x - 2), es decir que tengo que "cambiar el signo" para saber por cuál polinomio dividí. Ese número 2 es una raíz del polinomio, y el Resto dió cero porque todo polinomio es divisible por (x - raíz), según el concepto del cuál ya hablé. Ésa es la relación entre ambas cosas, y podemos traducir una cosa en otra de la siguiente manera:

Lo que se hacen en el Nivel Medio: "Buscar los divisores del término independiente y probar Ruffini con cada uno hasta encontrar alguno que haga que la división tenga Resto igual a cero. Luego factoriza
n así: "x con ese número cambiado de signo" multiplicado por el cociente de la división".

Traducción
de lo que están haciendo: "Buscar una raíz entre los divisores del término independiente, y dividir por "x menos ese número". Luego se factoriza: (x - raíz) multiplicado por el cociente de la división". Para saber si un número es raíz no hace falta hacer la división y que el Resto dé cero. Se puede reemplazar el número en el polinomio y el Valor Numérico debe ser cero.
(más sobre esto)


No sólo entre los divisores del término independiente puede haber raíces del polinomio

También pueden hallarse raíces entre cualquier fracción que tenga arriba uno de los divisores del término independiente, y abajo uno de los divisores del coeficiente principal (¿qué es el coeficiente principal?). En nuestro E
JEMPLO 1 (2x3 - 3x2 - 11x + 6), el término independiente es 6 y el coeficiente principal es 2, los respectivos divisores son:

DIVISORES DE 6 (el término independiente): 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6
 
DIVISORES DE 2 (el coeficiente principal): 1, -1, 2, -2

En toda fracción formada por un divisor de 6 arriba (en el numerador), y un divisor de 2 abajo (el denominador) podría encontrarse alguna raíz del polinomio. Paso a enumerar todas las fracciones posibles, aunque muchos resultados se repetirán:

1/1 = 1
-1/1 = -1
2/1 = 2
-2/2 = -2
3/1 = 3
-3/1 = -3
6/1 = 6
-6/1 = -6        

Hasta aquí, los resultados son iguales a los divisores del término independiente, ya que al tomar como denominador a 1 (el primer divisor del coeficiente principal), las fracciones equivalen al número entero que es numerador de ella. Y lo mismo va a pasar si tomamos como denominador a -1 (el segundo divisor del coeficiente principal). De todos modos las voy a anotar:

1/-1 = -1
-1/-1 = 1
2/-1 = -2
-2/-1 = 2
3/-1 = -3
-3/-1 = 3
6/-1 = -6
-6/-1 = 6

Como dije, otra vez terminan dando los divisores del término independiente. Es decir que ninguna de las precedentes fracciones haría falta tenerlas en cuenta si ya probamos todos los divisores del término independiente. Luego, quedan otras fracciones, entre las que quizás sí se hallen números nuevos, los cuales remarcaré en color:

1/2
-1/2

2/2 = 1
-2/2 = -1
3/2
-3/2

6/2 = 3
-6/2 = -3

Y usando como denominador a -2 se obtienen los mismos números (no lo voy a hacer). Luego no hay más. Es decir que, incorporando a los divisores del coeficiente principal, se obtienen cuatro números más que podrían ser raíces del polinomio: 1/2, -1/2, 3/2 y -3/2. No hizo falta llegar a este punto en la resolución del Ejemplo, ya que mucho antes encontré que el "-2" y el "3" eran raíces. (Más sobre esto)


¿Por qué si en la división por Ruffini pongo el -2, estoy dividiendo por (x + 2)?

Porque para dividir por la Regla de Ruffini hay que cambiar el signo del número del divisor (el término independiente del divisor). Entonces, al revés: si en la división por Ruffini estoy usando un número, tengo que asumir que el término independiente del divisor ha de ser su opuesto, es decir, el que tiene el signo contrario. Y el opuesto de -2 es +2 (¿el opuesto?).


¿Cómo seguiría el ejercicio si usaba el 7mo Caso en vez de seguir con Gauss?

Llegado a este punto:

(x + 2).(2x2 - 7x + 3)

puedo factorizar el 2x2 - 7x + 3, con el Séptimo Caso, ya que es un "trinomio de segundo grado". Busco las raíces con la fórmula resolvente de la cuadrática:

x1,2 =

x1,2 =
x1 =     (con la suma)

x2 =      (con la resta)

La factorización de 2x2 - 7x + 3 queda entonces así:

2.(x - 3).(x - 1/2)     (consultar factorización del Séptimo Caso)


Entonces, la factorización total del polinomio es:

(x + 2).2.(x - 3).(x - 1/2) o mejor:

2.(x + 2).(x - 3).(x - 1/2)         (¡pero no dió igual que con Gauss!)


¿Por qué usando el Séptimo Caso "no dá igual" que siguiendo con Gauss?

Primero aclaremos que sí dá igual. Sólo que la forma final es distinta, pero las dos formas son expresiones equivalentes, como ya sucedió muchas veces antes en otros casos que expliqué antes. Si aplico en ambas la Propiedad Distributiva, llego a lo mismo, que es el polinomio original: 2x3 - 3x2 - 11x + 6. Así que iguales son.

2.(x + 2).(x - 3).(x - 1/2) y (x + 2).(x - 3).(2x - 1) son iguales

Si miramos bien, hay dos factores que son iguales: (x + 2) y (x - 3), y lo diferente es que en una tenemos el binomio (2x - 1), y en la otra tenemos el binomio (x - 1/2) y el número 2 multiplicando delante. Entonces, para convencernos de que son iguales, sólo tendríamos que poder ver que (2x - 1) es igual a 2.(x - 1/2). Y eso es muy fácil apreciarlo:

2.(x - 1/2) = 2x - 2.1/2 = 2x - 1    Aplicando la Propiedad Distributiva

Ahora: ¿Por qué quedaron con distinta forma?

Bueno, cuando lo hice usando Gauss, tuve que hacer la división por (x - 3) y el cociente fue (2x - 1). Así como dió el cociente lo puse, y por eso quedó (x - 3).(2x - 1). Ese cociente no es un polinomio normalizado (¿normalizado?), porque tiene un número (el 2) delante de la x. Si lo hubiera normalizado, hubiera quedado así: 2.(x - 1/2) ¡Igual que como dió con el Séptimo Caso! Lo que pasa es que, nadie me obliga a normalizar el polinomio si yo solamente estoy viendo el tema: Factoreo de Polinomios. Por eso no lo hice, porque lo único que se pide en este tema es tranformar el polinomio en una multiplicación, pero no se obliga a "descomponer totalmente al polinomio" como se hace en otro tema que se ve, ya no en el Nivel Medio, sino en en Nivel Terciario o ingresos a Terciarios. Por tal razón, una vez que conseguí el cociente, factoricé de la siguiente manera: (x + 2).(x - 3).(2x - 1), y con eso cumplí con el tema.
En cambio, cuando lo hice con el Séptimo Caso, tuve que usar la fórmula para factorizar un trinomio de segundo grado: a.(x - x1).(x - x2), donde "a" es el coeficiente principal y x1 y x2 son las raíces que encontré con la fórmula de la cuadrática. En esa fórmula, los dos binomios están "normalizados" (no tienen un número delante de la x). Por eso, aplicando ese
Séptimo Caso, todos los polinomios quedan normalizados, y el coeficiente principal (2) queda multiplicando "afuera" de los binomios. Ese 2, es el mismo 2 que queda en (2x - 1) cuando lo hago de la otra forma (con Gauss).


¿Qué es eso del "reemplazo" luego de la segunda factorización?

Como ya comenté, este se puede considerar un ejercicio "combinado", ya que se factoriza más de una vez. En un ejercicio así, a medida que seguimos factorizando tenemos que ir "reemplazando" las partes que factorizamos por los resultados que nos van dando. En nuestro ejemplo, luego de la primera factorización nos quedó:

(x + 2).(2x2 - 7x + 3)

Y después factorizamos "una parte" de eso: factorizamos a 2x2 - 7x + 3. El resultado de esa segunda factorización nos dió: (x - 3).(2x - 1). Es decir que 2x2 - 7x + 3 es igual a 
(x - 3).(2x - 1). Como son dos cosas iguales, podemos reemplazar a una por la otra, y la igualdad se mantiene. Entonces en:

(x + 2).(2x2 - 7x + 3)  

Cambio a 2x2 - 7x + 3, por su equivalente: (x - 3).(2x - 1)

(x + 2).(x - 3).(2x - 1)

Así, mientras pueda, voy factorizando "partes" (factores) de la expresión, y cambiándolas por el resultado de su factorización. Todo con el objetivo de llegar a un polinomio lo más factorizado posible, es decir, con factores del menor grado posible, y hasta que no se pueda más seguir.


Verificación de la factorización:

Comprobemos ahora si (x + 2).(x - 3).(2x - 1) es igual a 2x3 - 3x2 - 11x + 6. Primero aplico la Propiedad Distributiva entre los dos primeros binomios, y luego entre el resultado y el tercer binomio:

(x + 2).(x - 3).(2x - 1) = (x2 - 3x + 2x - 6).(2x - 1) = (x2 - x - 6).(2x -1) =

2x3 - x2 - 2x2 + x - 12x + 6 = 2x3 - 3x2 - 11x + 6

Entonces, puedo decir que está bien la factorización que hice, porque, operando en el resultado obtuve el polinomio original.


Más eje
rcicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 1:

3x3 - 2x2 - 7x - 2 = (x + 1).(x - 2).(3x + 1)


5x4 - 8x3 - 49x2 + 72x + 36 = (x - 2).(x - 3).(x + 3).(5x + 2)


2x4 + 11x3 + 14x2 - 9x - 18 = (x - 1).(x + 2).(x + 3).(2x + 3)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
FACTOREO CON GAUSS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2  (Con coeficiente principal distinto de "1")



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