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"FACTOREO CON GAUSS" / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2


EJEMPLO 2: (Coeficiente principal igual a "1")

x4 - 15x2 + 10x + 24 = (x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)

Como el coeficiente principal es igual a 1, no hace falta calcular las distintas raíces con la fórmula k/a. Porque k/1 = k. Entonces las posibles raíces son todas las posibles k, es decir, solamente los divisores del término independiente, sin tener en cuenta al coeficiente principal.



EXPLICACIÓN:

NOTA: Aquí voy a tratar de explicar solamente los pasos que hago, de la manera que en general se trabaja en el Nivel Medio. Para verlo de una manera más teórica, donde se justifica un poco más lo que se hace, consultar en la explicación de la página de
EJEMPLOS RESUELTOS, y consultar los CONCEPTOS DEL CASO.



1) BUSCAR LAS POSIBLES RAÍCES:

Como en el ejercicio anterior, busco un número "que me sirva" entre los divisores del término independiente:

Divisores del término independiente (24): 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24, -24 (esos números son posibles raíces) (¿hay otras?)

2) DIVIDIR POR (X - SUPUESTA RAÍZ):

Pruebo la división de Ruffini con alguno de ellos: pruebo el 1, pero el resto no dá cero. Pruebo con el -1 y el resto sí dá cero:

   | 1  0  -15  10  24
   |
   |
 -1|   -1    1  14 -24 
     1 -1  -14  24 | 0


Cociente: x3 - x2 - 14x + 24         Resto: 0      (¿cómo se divide por Ruffini?)

Recordemos que si puse el -1, estoy dividiendo por (x + 1)     (no entiendo). Entonces, por ahora, la factorización va quedando así:

(x + 1).(x3 - x2 - 14x + 24)       (¿por qué?)

(DIVISOR) X (COCIENTE)

En este ejemplo también voy a hacerlo de la otra forma: Para saber si un número es raíz del polinomio, hallo el Valor Numérico del polinomio especificado en ese número, a ver si dá cero (más sobre esto). Pruebo con varios de los divisores del término independiente (24), hasta que el -1 cumple con dicha condición:

P(x)= x4 - 15x2 + 10x + 24

P(-1) = (-1)4 - 15.(-1)2 + 10.(-1) + 24 = 1 - 15 - 10 + 24 = 0

Como el Valor Numérico dió cero, -1 es raíz del polinomio. Por lo tanto, el polinomio es divisible por (x -(-1)), que es igual a (x + 1). Y por esa razón hago la división por (x + 1), poniendo -1 en la Regla de Ruffini (ver arriba).



3) SEGUIR FACTORIZANDO EL COCIENTE SI ES DE GRADO MAYOR QUE 1:

En el polinomio de tercer grado que quedó (el cociente: x3 - x2 - 14x + 24), vuelvo a buscar raíces con Gauss. El término independiente de este polinomio también es 24, entonces tiene los mismos divisores que determiné en el Paso 1 (¿puede servir de nuevo el "-1"?):

x3 - x2 - 14x + 24

Pruebo con 1, con -1, pero el resto no dá cero. Cuando pruebo con el 2, el resto sí dá cero.

   | 1  -1  -14   24
   |
   |
  2|     2    2  -24 
     1   1  -12 |  0


Cociente: x2 + x - 12         Resto: 0

Recordemos que si en Ruffini puse el 2, estoy dividiendo por (x - 2). Entonces, x3 - x2 - 14x + 24 factorizado es igual a (x - 2).(x2 + x - 12). Luego, reemplazo a x3 - x2 - 14x + 24 por (x - 2).(x2 + x - 12) en la factorización del polinomio original. Me estaba quedando así:

(x + 1).(x3 - x2 - 14x + 24)

Ahora reemplazo, y queda así:

(x + 1).(x - 2).(x2 + x - 12)            (no entiendo el reemplazo)

(YA ESTABA) X (DIVISOR) X (COCIENTE)

Y de la otra forma: Pruebo hallar el Valor Numérico del polinomio (o "especificar") con varios divisores del término independiente ("24" también aquí), hasta que encuentro que P(2) es igual a cero:

P(x)= x3 - x2 - 14x + 24

P(2) = 23 - 22 - 14.2 + 24 = 8 - 4 - 28 + 24 = 0

Como el Valor Numérico dió cero, 2 es raíz del polinomio. Por lo tanto, el polinomio es divisible por (x - 2). Y por esa razón hago la división por (x - 2), poniendo 2 en la Regla de Ruffini (ver arriba).



4) SIGO FACTORIZANDO PORQUE QUEDÓ UN POLINOMIO DE GRADO 2:

Factorizo el último cociente, que es de segundo grado. Podría usar el Séptimo Caso, pero sigo con Gauss. Las posibles raíces son los divisores de 12: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.

Pruebo la división con Ruffini por alguno de ellos: 1, -1, 2 y -2, pero el Resto no me dá cero. Cuando pruebo con el 3, el Resto sí da cero:

   | 1  1  -12
   |
   |
  3|    3   12  
     1  4 |  0


Cociente: (x + 4)           Resto: 0

Recordemos que si en Ruffini puse el 3, estoy dividiendo por (x - 3). Entonces, x2 + x - 12 factorizado es igual a (x - 3).(x + 4). Luego, reemplazo a (x2 + x - 12) por (x + 3).(x + 4) en la factorización del polinomio original. Me estaba quedando así:

(x + 1).(x - 2).(x2 + x - 12)

Ahora reemplazo, y queda:

(x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)          (no entiendo el reemplazo)

(YA ESTABA) X (DIVISOR) X (COCIENTE)

La factorización final queda así:

(x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)

Y de la otra forma: Pruebo hallar el Valor Numérico del polinomio (o "especificar") con varios divisores del término independiente (que ahora es "-12"), hasta que encuentro que P(3) es igual a cero:

P(x)= x2 + x - 12

P(3) = 32 + 3 - 12 = 9 + 3 - 12 = 0

Como el Valor Numérico dió cero, 3 es raíz del polinomio. Por lo tanto, el polinomio es divisible por (x - 3). Y por esa razón hago la división por (x - 3), poniendo 3 en la Regla de Ruffini (ver arriba).


Este fue algo así como un ejercicio combinado, porque factoricé varias veces, no una sola.



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales de este Caso están en CONCEPTOS - FACTOREO CON GAUSS


¿Podré encontrar, en este Ejemplo 2, otras raíces o "números que sirven para que el Resto de la división dé cero" planteando las fracciones "de Gauss"?

Como ya expliqué en el Ejemplo 1 (ver RAICES DE GAUSS), no sólo en los divisores del término independiente pueden hallarse raíces del polinomio: También podrían hallarse algunas otras si tenemos en cuenta el coeficiente principal del polinomio (¿qué es eso?). Pero en este Ejemplo 2 (1x4 - 15x2 + 10x + 24), al ser el coeficiente principal igual a "1", no encontraremos otras raíces diferentes de las que hallamos en los divisores del término independiente. Y eso es porque si el coeficiente principal es "1", sus divisores son solamente: 1 y -1. 

Divisores del coeficiente principal: 1 y -1

Si aplicamos lo que dice Gauss, me quedarían fracciones con un 1 o un -1 abajo. Y eso no cambiaría los números que ya tengo, ya que una fracción con un 1 o -1 abajo es igual al número entero que está arriba o a su opuesto. Veamos con ejemplos:

2/1 = 2
2/-1 = -2
-3/1 = -3
-3/-1 = 3

¿Qué pasa? Por más que intente formar nuevas fracciones con "los divisores del término independiente arriba y los divisores del coeficiente principal abajo", vuelvo a tener los mismos números que van arriba: solamente los divisores del término independiente. En conclusión: Si un polinomio está normalizado (su coeficiente principal es "1"), no hace falta tener en cuenta el coeficiente principal a la hora de analizar sus posibles raíces según Gauss. Comparar con el Ejemplo 1, donde sí había más posibilidades de raíces (ver aquí).


¿Si ya hallé que un número es raíz, puedo volver a probar con el mismo número? (¿qué es una raíz?)

Sí, por supuesto. Un número puede ser raíz del polinomio, y luego también del cociente. Y acá hay otro punto: Si un número es raíz del cociente, lo es también del polinomio original.
(¿y eso por qué?). En realidad, todas las raíces que vaya encontrando, son raíces del polinomio original, aunque cuando factorizamos pensamos que lo son de los sucesivos cocientes que vamos obteniendo. Me refiero a esto:

Nuestro polinomio original era:

x4 - 15x2 + 10x + 24

Luego de hallar la primera raíz (-1), quedó así factorizado:

(x + 1).(x3 - x2 - 14x + 24) 

Allí, nuestro cociente es x3 - x2 - 14x + 24, y me pongo a buscar una raíz de este polinomio, porque así se piensa en el momento de factorizar un ejercicio combinado: estoy factorizando una "parte" del resultado. Sin embargo, cualquier raíz de esa "parte", es también raíz de todo el polinomio. En este caso la raíz que encontré fue "2".

Luego de factorizar el cociente, nos quedó así:

(x + 1).(x - 2).(x2 + x - 12) 

Es hora de factorizar a x2 + x - 12, y me pongo a buscar una raíz de ese polinomio (en este caso fue "3"). Pero, esa raíz también lo será del polinomio original: x4 - 15x2 + 10x + 24. Y se puede probar fácilmente hallando los Valores Numéricos:

P(x) = x4 - 15x2 + 10x + 24

P(2) = 24 - 15.22 + 10.2 + 24 = 16 - 15.4 + 20 + 24 = 0      El "2" es raíz

P(3) = 34 - 15.32 + 10.3 + 24 = 81 - 15.9 + 30 + 24 = 0      El "3" es raíz

Todas esas raíces que voy encontrando en las "partes", son las raíces del polinomio original. Y el polinomio queda factorizado al final "según sus raíces":

(x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)

Una vez comprendido esto, nos podemos dar cuenta por qué "puedo volver a probar con el mismo número": Porque una raíz puede estar varias veces en la factorización total del polinomio. Sería una raíz repetida, o "múltiple". Por ejemplo, en el siguiente polinomio, tenemos que la raíz "1" está repetida 3 veces:

(x - 1).(x + 2).(x - 1).(x - 1).(x - 1/2)

Así, si durante la factorización encontré que el "1" es raíz, y dividí por (x - 1), luego puedo volver a probar de nuevo con el "1". Porque encontraré que el "1" es raíz del polinomio que queda (el cociente), o visto de otra manera: "de nuevo la división con el 1 dá con resto cero". Y luego de eso, podré hacerlo aún una vez más, y de nuevo encontraré que el número "1" sirve para seguir factorizando. Es decir: son tres la veces que podré dividir por (x - 1).


Interesante: En el polinomio factorizado pueden "verse" sus raíces

En esta factorización del polinomio:

(x + 1).(x - 2).(x - 3).(x + 4)

pueden verse todas las raíces que encontré. Son esos números que suman o restan a cada x, pero cambiándoles el signo (los "opuestos"). Porque, si recordamos, al factorizar estuve poniendo (x - raíz) cada vez que dividía. Es decir que en esos binomios, "raíz" está cambiada de signo, ya que le estoy poniendo un signo menos delante. Entonces, con sólo ver el polinomio así factorizado, puedo darme cuenta de que tiene estas raíces: -1, 2, 3 y -4. Esas raíces (o "números que me sirvieron para que la división me dé con Resto igual a cero"), están allí, con el signo cambiado. Debo aclarar que el último binomio (x + 4) fue el último cociente que obtuvimos y no fue una "raíz" que hallamos encontrado. Sin embargo, podemos probar que "-4" es también una raíz del polinomio original (y si hubieramos usado el Séptimo Caso en el último paso lo veríamos aún mejor) (¿por qué?). 

P(-4) = (-4)4 - 15.(-4)2 + 10.(-4) + 24 = 256 - 15.16 - 40 + 24 = 0   El "-4" también es raíz

Lo que quiero remarcar primero entonces es que, viendo un polinomio factorizado como producto de binomios de grado 1, pueden "verse" sus raíces. Si los binomios están normalizados (¿y si no lo están?), las raíces son los números que suman o restan, pero con el signo contrario. Otro ejemplo para visualizar las raíces: 

(x + 5).(x - 1/2).(x - 1).(x + 3/5).(x + 2)

En este podemos decir que sus raíces son: -5, 1/2, 1, -3/5 y -2. Y si podemos ver lo que pasa cuando reemplazamos la x por uno de esos números, nos daremos cuenta de que no hay duda de que son raíces. Hallemos el Valor Numérico en "-5" por ejemplo. Pero usemos el polinomio ya factorizado para reemplazar, algo que hasta ahora no habíamos hecho:

P(x) = (x + 5).(x - 1/2).(x - 1).(x + 3/5).(x + 2)

P(-5) = (-5 + 5).(-5 -1/2).(-5 - 1).(-5 + 3/5).(-5 + 2) =

        = 0.(-11/2).(-6).(-22/5).(-3) =

        = 0

¿Qué pasó? Uno de los binomios (x + 5) tomó el valor cero. Y al multiplicar por cero a todos los demás números, el resultado es indefectiblemente cero. El binomio que tomó el valor cero es (x + 5), el que era (x - (-5)), es decir: "x menos la raíz con la que reemplacé". Lo que sucedió es que "el binomio que tenía la raíz se convirtió en cero". Y como queda "cero multiplicado por todo lo demás", el Valor Numérico del polinomio dá cero. Si dió cero, confirmamos que el número que usamos para reemplazar era una raíz. Probemos reemplazar con otra de las raíces, para ver que sucede lo mismo. Por ejemplo, con "1":

P(x) = (x + 5).(x - 1/2).(x - 1).(x + 3/5).(x + 2)

P(1) = (1 + 5).(1 - 1/2).(1 - 1).(1 + 3/5).(1 + 2) =

      = 6.(1/2).0.(8/5).3

      = 0

De nuevo, uno de los binomio (x - 1), el que "tenía la raíz", tomo el valor cero. Y entonces quedó todo multiplicado por cero, así el Valor Numérico del polinomio dió cero, y confirma que "1" era una raíz del polinomio. 


¿Y si hay binomios que no están "normalizados"? ¿Igual pueden "verse" las raíces?

En el Ejemplo 1 (2x3 - 3x2 - 11x + 6), por ser el coeficiente principal distinto de "1", el último cociente no quedó "normalizado" (2x - 1). Sin embargo, aunque un binomio no esté normalizado ("tiene un número delante de la x"), la raíz igual "puede verse". Y eso tiene que ver con lo que estuvimos haciendo aquí arriba: Cualquier número por el que reemplace a la x, que haga que alguno de los binomios dé cero, será raíz del polinomio. Veamos entonces como había quedado el Ejemplo 1:

(x + 2).(x - 3).(2x - 1)

Que -2 y 3 son raíces ya lo teníamos claro. Pero en el último cociente también hay una raíz. ¿Y cómo puedo darme cuenta de cuál es, si no está normalizado? Y bueno, tengo que buscar el número que, al reemplazar a la x, haga que ese binomio (2x - 1) se me convierta en cero. Si no me doy cuenta a simple vista, tengo que plantear la siguiente ecuación:

2x - 1 = 0

Y resolverla:

x = 1/2

Quiere decir que, si en (2x - 1) reemplazo la x por 1/2, ese binomio tendrá el valor cero. Y luego, al multiplicarse por lo que den los otros binomios, el Valor Numérico del polinomio será cero. Y así, 1/2 es también raíz del polinomio:

P(x) = (x + 2).(x - 3).(2x - 1)

P(1/2) = (1/2 + 2).(1/2 - 3).(2.1/2 - 1) = (1/2 + 2).(1/2 - 3).(1 - 1) = (5/2).(-5/2).0 = 0


Vamos viendo con esto que, para que la multiplicación de todos los binomios dé cero, alguno de ellos tiene que dar cero al reemplazar la x. Esa idea me sirve para encontrar las raíces de cualquier polinomio que esté factorizado, aunque los binomios no estén normalizados: Alguno de los factores tiene que ser igual a cero.

Todo esto es a causa de la siguiente propiedad: "Para que una multiplicación (o "producto") dé cero, alguno de los factores tiene que ser cero". Y eso me sirve para encontrar las raíces de cualquier polinomio que esté factorizado, ya que algo "factorizado" es una multiplicación (o "producto"). Como dije al principio del tema "Factoreo", factorizar es transformar en producto, y eso nos puede servir para algo. Aquí vemos cómo, tener un polinomio factorizado, sirve para visualizar sus raíces. Y basándonos en la propiedad mencionada, podemos tratar de encontrar las raíces de cualquier "producto", no hace falta ni que sean binomios normalizados, ni binomios, ni siquiera polinomios. Aunque como polinomios es nuestro tema, seguimos con ellos. Por ejemplo en el siguiente polinomio, ya factorizado:

x2.(5x + 1).(-1/4 x).(x3 - 1)

Sabemos que un número será raíz de ese polinomio, si al reemplazarlo en la x el Valor Numérico del polinomio es cero. Y también sabemos que, toda esa multiplicación va a dar cero, si alguno de esos cuatro factores es igual a cero. Entonces, miramos cada factor y tratamos de darnos cuénta para qué valores de x esos factores darían cero. Con que sólo uno de ellos dé cero basta, así que las raíces serán las x que hagan que al menos uno de ellos dé cero. Es decir, cuando: 

x2 = 0  ó

5x + 1 = 0   ó

-1/4 x = 0   ó

x3 - 1 = 0

En las soluciones de esas 4 ecuaciones, están todas las raíces de ese polinomio.


En el último cociente hay una raíz

Decía que, si hubiéramos usado el Séptimo Caso (Trinomio de Segundo Grado) para factorizar a (x2 + x - 12), nos habría quedado más claro aún que -4 es una raíz. ¿Y por qué dije eso? Porque el Séptimo Caso nos hace buscar justamente las raíces de ese polinomio de segundo grado, con la fórmula resolvente de la cuadrática. Entonces, habríamos hallado que sus raíces son: x1 = 3 y x2 = -4. Así, veríamos al -4 como raíz, y no como el número que quedó en el último cociente (x + 4) de las sucesivas divisiones que hicimos con Gauss. Y como dije antes, si un número es raíz del cociente, lo es también del polinomio original.


¿Y por qué si un número es raíz de un cociente, lo es también del polinomio original?

Primero recordemos que, si un polinomio es divisible exactamente por otro, entonces:

POLINOMIO: DIVISOR X COCIENTE

Así, si tengo una raíz del cociente, cuando reemplace con ella, el cociente será igual a cero (por eso es raíz, ¿no?). Ahora, si el COCIENTE dá cero, al multiplicar por el DIVISOR se obtiene cero. Y así POLINOMIO también es igual a cero, y entonces el número por el que reemplacé es también raíz del POLINOMIO.

POLINOMIO: DIVISOR X CERO = CERO

Con un ejemplo:

P(x) = (x - 2).(x2 + x - 12)    DIVISOR X COCIENTE

Tomemos a (x - 2) como el DIVISOR, y a (x2 + x - 12) como cociente. Las raíces de este cociente eran x1 = 3 y x2 = -4. Reemplazo en el polinomio con alguna, por ejemplo x1 = 3:

P(3) = (3 - 2).(32 + 3 - 12) = 1.0 = 0

Entonces "3" es también raíz del polinomio P(x).


Más ejercicios resueltos,  parecidos al Ejemplo 2:

x3 - 2/3 x2 - 7/3 x - 2/3 = (x + 1/3).(x - 2).(x + 1)


x4 - 1/2 x3 - 3x2 + 7/2 x - 1 = (x - 1).(x - 1).(x + 2).(x - 1/2)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
FACTOREO CON GAUSS


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1  (Con coeficiente principal distinto de "1")



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