Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas

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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1


EJEMPLO 1: (Suma de Potencias Impares)

x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)

x      2

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25. Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2). Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini. Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es:
 x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. 
Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir:
 "La suma de las bases multiplicada por el resultado de la división".


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) x5 es potencia quinta. Entonces, averiguo si 32 es también potencia quinta de algún número (¿qué es una potencia?). Calculo la raíz quinta de 32, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 5 me dá 32?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 25 = 2.2.2.2.2 = 32
(¿cómo me doy cuenta de eso?)

2) "Bajo las bases", que son x y 2. (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la quinta, dan x5 y 32.

3) Divido el polinomio (x5 + 32) por el polinomio (x + 2). Porque en la SUMA de potencias IMPARES, debo dividir por la SUMA de las bases. Es decir: SUMA SE DIVIDE POR SUMA. Utilizo el método de Ruffini:

  | 1   0   0   0   0  32
  |
  |
-2|    -2   4  -8  16 -32
    1  -2   4  -8  16 | 0


(Explicación de la división por Ruffini)    (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)

El cociente es entonces: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (x + 2), multiplicando al cociente de la división: (x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16). Así, queda factorizado x5 + 32:

(x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en REGLA PARA EL SEXTO CASO

1) El primer paso es igual que con el otro método: x5 es potencia quinta. Entonces, averiguo si 32 es también potencia quinta de algún número.
(¿qué es una potencia?). Calculo la raíz quinta de 32, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 5 me dá 32?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 25 = 2.2.2.2.2 = 32. 
(¿cómo me doy cuenta de eso?)


2) Por ser x5 + 32 una SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la SUMA de la BASES, que son x y 2 (¿qué son las bases?). Voy "armando" el resultado:

x5 + 32 = (x + 2).(............................)
x      2

3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x4 y el 20. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("4", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente del 2. Los términos irán con los signos alternados (+ - + - + - + - + - +), porque así dice la Regla que deben ser cuando se factoriza una SUMA. Me queda así:

x5 + 32 = (x + 2).(x4.20 - x3.21 + x2.22 - x1.23 + x0.24)


4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

x5 + 32 = (x + 2).(x4.1 - x3.2 + x2.4 - x1.8 + 1.16)

           = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)


Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del
Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Cómo se divide con la Regla de Ruffini?

En este caso se puede dividir por la regla de Ruffini, porque el divisor es (x + 2). Recordemos que "Ruffini" sólo se puede usar para dividir por polinomios de grado 1, que no tengan ningún número delante de la primera letra (
en realidad sí se puede). Recordemos cómo se hacían estas divisiones. Lo explico para este ejemplo:

(x5 + 32) : (x + 2) =

1) Primero tengo que completar y ordenar el polinomio dividendo (x5 + 32). Me queda:

x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 32          (¿Cómo se completa y ordena un polinomio?)

2) Luego hago el conocido esquema:

a. En la parte superior estoy poniendo los coeficientes del dividendo (o sea, los números que multiplican a las x (¿qué es el coeficiente?). Para verlos bien, los remarcaré en el polinomio:

1x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 32

(El coeficiente de x5 es 1, ya que x5 es lo mismo que 1.x5)

 Y en la parte inferior izquierda del esquema, pongo el número del divisor (x + 2) con el signo cambiado (el "opuesto"): -2.


  | 1   0   0   0   0   32         Aquí van los coeficientes del dividendo
  |
  |
-2|                       



b. Ahora "bajo" el primer coeficiente de la izquierda (el 1):


    | 1   0   0   0   0   32
  |
  |
-2|                       
    1



c. Luego multiplico -2 por 1, que dá -2. Y pongo el resultado debajo del segundo coeficiente:


  | 1   0   0   0   0   32
  |
  |
-2|    -2                 
    1



d. Ahora sumo la columna: 0 + (-2), que es lo mismo que 0 - 2, y dá -2. Pongo el resultado abajo de la suma:


  | 1   0   0   0   0   32
  |   +
  |
-2|    -2                 
    1  -2



e. Luego multiplico -2 por -2, lo que dá 4. Y pongo el resultado debajo del tercer coeficiente (el cero). Y sumo la columna: 0 + 4, lo que dá 4. Pongo el resultado debajo:


  | 1   0   0   0   0   32
  |   +   +
  |
-2|    -2   4             
    1  -2   4



f. Multiplico -2 por 4, lo que dá -8. Y pongo el resultado en la siguiente columna. Luego sumo la columna: 0 - 8, lo que dá -8. Pongo el resultado debajo:


  | 1   0   0   0   0   32
  |   +   +    +
  |
-2|    -2   4  -8         
    1  -2   4  -8



g. Multiplico -2 por -8, lo que dá 16. Lo pongo bajo el siguiente cero, y luego sumo la columna: 0 + 16, lo que dá 16. Lo pongo debajo de la suma:


  | 1   0   0   0   0   32
  |   +   +    +   +
  |
-2|    -2   4  -8   16     
    1  -2   4  -8   16



h. Multiplico -2 por 16, lo que dá -32. Lo pongo debajo del 32, y sumo la columna: 32 - 32, lo que dá 0.


  | 1   0   0   0   0   32
  |   +   +    +   +   +
  |
-2|    -2   4  -8   16  -32
    1  -2   4  -8   16 | 0



i. La división está terminada. El último resultado es el RESTO de la división. En este caso, el resto es "0" (cero). Y así debe ser siempre si estamos factorizando con el Sexto Caso de Factoreo.

RESTO = 0


j. Finalmente, "armo" el resultado de la división (el "cociente"). Tengo que tomar todos los resultados, menos el último, y agregarles las "equis". Esos números van a ser los coeficientes del cociente que estoy buscando. 


  | 1   0   0   0   0   32
  |   +   +    +   +   +
  |
-2|    -2   4  -8   16  -32
    1  -2   4  -8   16 | 0
        Los números en rojo van a formar el cociente


En orden de izquierda a derecha, le agrego las x (equis) al cociente, empezando con el exponente 4: Un grado menos que el del polinomio dividendo (x5 + 32 es de "grado 5")
(¿qué es el grado de un polinomio?). Y voy bajando de grado, hasta llegar al término independiente (¿qué es el término independiente?):

COCIENTE: 1x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16,   o lo que es igual: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16


¿Qué es el grado de un polinomio?

En un polinomio con un sólo tipo de letra (por ejemplo todo con x), el grado es el exponente más alto que aparece en alguno de sus términos. Por ejemplo:

1) x2 + 5x4 - 1

Es un polinomio de grado 4. Porque el número más alto al que aparece elevada la x es a la 4

2) x3 - 2x + 2         Es un polinomio de grado 3. Porque el exponente más alto es 3.

3) 5 - x                 Es de grado 1. Porque el exponente más alto de x es 1 (x es igual a x1)


¿Cómo se ordena y completa un polinomio?

Para usar la regla de Ruffini debemos ordenar sus términos desde el de mayor al de menor grado. Y completar los términos que faltan con "ceros". Ejemplos:

1) x5 + 32 = 

Este polinomio está ordenado, pero no completo. Le faltan los términos de grado 4, 3, 2, y 1 (o sea, le faltan la x4, la x3, la x2 y la x). Entonces, podemos decir que hay "cero x4", "cero x3", etc. Quedaría así:

x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 32


2) 2 + x3 - x + 6x4

Este polinomio está desordenado, porque está primero el término de grado cero (término independiente), después el de grado 3, luego el de grado 1 y por último el de grado 4. Los números: 0, 3, 1 y 4 no están ordenados de mayor a menor, evidentemente. Y además está incompleto, porque le falta el término de grado 2. Ordenado y completo sería así:

6x4 + x3 + 0x2 - x + 2


¿Por qué debe dar cero el resto de la división en el Sexto Caso?

Cuando estoy aplicando este Caso de Factoreo, el resto de la división debe dar cero. Porque estamos dividiendo por un divisor exacto del polinomio (¿qué significa esto?). Dijimos que algo divide exactamente a algo, si el resto de la división dá 0. Si el resto no dá cero es porque: o elegimos mal al supuesto divisor y no lo es en realidad, o porque nos equivocamos en la división. Por ejemplo:

(x5 + 32) dividido (x + 2), tiene que tener un resto igual a CERO. Porque (x + 2) divide exactamente a x5 + 32, como vimos en los conceptos. Pero si lo divido por (x - 2), por ejemplo, el resto no va a dar CERO. Y es porque (x - 2) no es divisor exacto de x5 + 32.


¿Cómo sería la división si no uso la Regla de Ruffini?

Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:


 x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 32 |     x + 2              
-x5 - 2x4                       x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16
         
    -2x4 + 0x3
    +2x4 + 4x3
              
          
4x3 + 0x2
          -4x3 - 8x2
                    
               -8x2 +  0x
               +8x2 + 16x
                         
                      16x + 32
                     -16x - 32
                              
                             0
                             /




¿Qué es el "término independiente" de un polinomio, por qué se llama así y cuál es su grado?

"Es el número que está solo". Es decir, es "el término que no tiene x". De ahí viene su nombre, porque sino tiene x, "no depende de x". Es decir que si uno le pone valores a la x del polinomio, ese término no va a variar, porque no tiene x que lo afecte: es "independiente" del valor que tome la x. En cambio los otros términos variarán de valor según se le ponga valor a la x. Veámoslo en un ejemplo:

2x3 + 4x + 6      En este polinomio, el término independiente es 6.

Si yo le pusiera valor a la x en ese polinomio, por ejemplo el valor x = 1, pasaría lo siguiente:

El primer término, 2x3, valdría: 2.13 = 2.1 = 2

El segundo término , 4x, valdría: 4.1 = 4

El tercer término, 6, valdría: 6.

Porque no hay x para reemplazar, no hay cuenta para hacer.  Los otros términos dependen del valor de la x, pero este no. Veamos si reemplazo la x por otro número que no sea 1, por ejemplo: x = 3

El primer término, 2x3, valdría: 2.33 = 2.27 = 54

El segundo término , 4x, valdría: 4.3 = 12

El tercer término, 6, valdría: ¡6!

Los otros términos, cambiaron mucho su valor. El primero valía 2, y luego 54. El segundo valía 4, y luego 12. Pero el tercer término, el que no tiene x, sigue valiendo igual: 6. Por eso se llama "término independiente".


En cuanto al grado, el grado del término independiente es cero. Recordemos que el grado de un término es la potencia a la que está elevada su letra (si tiene una sola). Pero el término independiente no tiene letra... Veamos un polinomio ordenado:

2x5 + 3x4 - x3 + x2 + 5x - 4

Aquí el término independiente es -4. Miremos las x. Sus exponentes van bajando: 5, 4, 3, 2, 1 y ¡CERO! ¿Y si probamos ponerle al término independiente la x elevada a la cero? Juguemos: 

-4.x0       

Si fuera posible hacer esto, podríamos decir que el grado de ese término es CERO, porque tiene la x elevada a la cero. Pero... ¿Puedo en Matemática agregarle a algo lo que a mí se me ocurra? NO. Solamente puedo hacerlo, si a pesar de lo que estoy agregando, se "conserva la igualdad", es decir: si lo que agrego no modifica nada, no cambia el valor de las cosas.  Pero entonces, sólo tendríamos que demostrar que -4.x0 es igual a -4, y así se me permitiría agregarle la x0, porque no estaría cambiando nada.
Ahora, ¿a qué es igual x0?: Como toda cosa elevada a la 0, es igual a 1. Si x0 es igual a 1, entonces:

-4.x0 = -4.1 = -4

Así pude mostrar que, por agregar x0, no cambié al -4. Entonces, se me permite agregar x0. Entonces, el grado del término -4 es CERO. El grado del término independiente es CERO, porque "hay que pensar que tiene la x elevada a la 0".


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16) =
x5 - 2x4 + 4x3 - 8x2 + 16x + 2x4 - 4x3 + 8x2 - 16x + 32 = x5 + 32

Se puede ver que hay términos "opuestos": -2x4 y 2x4, 4x3 y -4x3, etc. (¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan los términos x5 y 32.
Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


¿Qué me conviene más?: ¿Aprender "la Regla para hallar el resultado sin hacer la división" o aprender a hacerlo por la división? (Regla para el Sexto Caso)

Cada método tiene sus ventajas y desventajas. Para usar la Regla hay que hacer el esfuerzo de aprender de memoria a generar el cociente. Pero es más rápido y directo que hacer la división. Y haciendo la división se entiende un poco más el concepto en que se basa la factorización, y tampoco hay que usar la memoria. Pero hay que saber dividir polinomios, y lleva más tiempo. 
Por ejemplo, sabiendo la regla, yo pude dar fácilmente las respuestas de los "Ejemplos parecidos al Ejemplo 1", sin tener que tomar lápiz y papel para ponerme a hacer la división. Pero si entendemos el concepto de que DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE, podremos más adelante entender mejor a factorizar según Gauss, que utiliza el mismo concepto. Incluso, este Sexto Caso de Factoreo sería un caso particular del Caso de Factoreo con Gauss.
Si están en Nivel Medio, tendrán que aprenderlo y hacerlo tal cómo se los den en el Curso. Pero si están en un Nivel superior o les interesa la Matemática, sería mejor saberlo hacer de las dos maneras.
Otra cosa importante es que, cuando sabemos usar la Regla, tenemos menos restricciones sobre la forma que tiene que tener el polinomio. En cambio si usamos el método de la división por Ruffini, la forma tiene que ser "letra más o menos número" (xn + a ó xn - a, siendo a un número), en ese orden, o "letra más o menos letra" (xn + yn ó xn - yn, siendo x e y letras), o usar artilugios previos para que el polinomio tenga la forma ésa. Por ejemplo: Cambiar el orden de los términos, dividir todo por el coeficiente principal (EJEMPLO 11). O incluso hay algunos que con Ruffini no se pueden hacer. El EJEMPLO 12 y el EJEMPLO 13 para Avanzados son una muestra de ello. Aquí otros ejemplos:

1) 27x3 + 8 =    

Para hacerlo con Ruffini, primero habría que dividirlo por 27 (normalizar polinomio).  En la mayoría de los casos esto no se enseña, y directamente no factorizan un polinomio así con el Sexto Caso. En cambio con la Regla, se puede hacer directamente, tomando como "bases" a 3x y 2. 

2) 32 + x5 =

Para hacerlo con Ruffini, primero hay que cambiar el orden, a x5 + 32, porque la letra debe estar primero. Con la Regla se puede hacer en el mismo orden en que viene.

3) x6 + 64 =

Cuando se enseña a aplicar el Sexto Caso sólo con la división de Ruffini, estas Sumas de Potencias Pares no se factorizan. Pero con la Regla del Sexto Caso sí se pueden factorizar ejemplos como éste, tomando como bases a x2 y 4, en lugar de x y 2 (Más sobre esto en el EJEMPLO 12)

4) 8a3y6 - 125b9  

Un polinomio así no lo factorizan cuando se enseña sólo el método de la división. Pero con la Regla no hay problema alguno para factorizarlo, tomando como bases a 2ay2 y 5b3. Se puede ver cómo un ejemplo resuelto en: EJEMPLO 13.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 1:

x3 + 8 = (x + 2).(x2 - 2x + 4)

x     2

a5 + 243 = (a + 3).(a4 - 3a3 + 9a2 - 27a  + 81)

a      3

b7 + 128 = (b + 2).(b6 - 2b5 + 4b4 - 8b3 + 16b2 - 32b + 64)

b      2




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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