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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 10


EJEMPLO 10: (Con los signos equivocados)

-x6 + 64 = -(x6 - 64) = -(x - 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32) ó
                 x      2
                                -(x + 2).(x5 - 2x4 + 4x3 - 8x2 + 16x - 32)

En realidad es un ejercicio combinado. Primero hay que "sacar el menos afuera".


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

Primero tenemos que hacer desaparecer el signo menos de delante de la x, porque así como está no tiene la forma acostumbrada de "suma o resta de potencias" que tiene que tener para este Sexto Caso:

1) Pongo el signo menos delante de un paréntesis, y dentro de él pongo los dos términos, pero con el signo contrario al que traían (¿por qué puedo hacerlo?). Es lo mismo que decir que x6 - 64 es el "opuesto" de -x6 + 64 (¿el opuesto?). Así, logro "sacar" ese signo menos que molesta delante de la letra, y llegar a tener un polinomio con la forma que debe tener para aplicarle este Caso:

-x6 + 64 = -(x6 - 64)    (¿por qué son iguales?

Ahora, puedo aplicar el Sexto Caso a x6 - 64, ya que es una Resta de Potencias Pares, como el EJEMPLO 3 

2) x6 es potencia sexta. Entonces, averiguo si 64 es también potencia sexta de algún número (¿qué es una potencia?). Calculo la raíz sexta de 64, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 6 me dá 64?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 26 = 2.2.2.2.2.2 = 64.
(¿cómo me doy cuenta de eso?)

2) "Bajo las bases", que son x y 2 (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la sexta, dan x6 y 64.

3) Divido el polinomio (x6 - 64) por el polinomio (x - 2). En la RESTA de potencias PARES, puedo dividir por la RESTA o por la SUMA de las bases. Decido hacerlo por la RESTA. Utilizo el método de Ruffini:

  | 1  0  0  0  0  0  -64
  |
  |
 2|    2  4  8  16 32  64 
    1  2  4  8  16 32 | 0


(Explicación de la división por Ruffini)    (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)

El cociente es entonces: x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (x - 2), multiplicando al cociente de la división: x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32. Pero no debo olvidar el signo menos que "saqué adelante". Así, queda factorizado -x6 + 64, ó -(x6 - 64):

-(x - 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO


Como en -x6 + 64 el primer término es negativo, no podemos aplicar la Regla directamente, como ya hablamos en el ejemplo 9 (Ver aquí). Pero podemos hacer alguna de estas dos cosas: 

-x6 + 64 = 64 - x6    CAMBIAR EL ORDEN DE LOS TÉRMINOS

-x6 + 64 = -(x6 - 64)  "SACAR EL MENOS ADELANTE"

De cualquiera de las dos formas podemos llegar a tener una Resta de Potencias Pares, y aplicar luego la Regla del Sexto Caso sin problemas. Respecto a "sacar el menos adelante", si no lo entienden pueden leer la explicación que dí en el método de la división: Ver aquí.

Lo voy a hacer de la primera forma: CAMBIANDO EL ORDEN DE LOS TÉRMINOS (¿por qué puedo cambiar el orden?). Es decir que voy a aplicar la regla a:

64 - x6

1) El primer paso es igual que con el otro método: x6 es potencia sexta. Entonces, averiguo si 64 es también potencia sexta de algún número
(¿qué es una potencia?). Calculo la raíz sexta de 64, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 2 me dá 64?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 26 = 2.2.2.2.2.2 = 64.
(¿cómo me doy cuenta de eso?)


2) Por ser 64 - x6 una RESTA de potencias PARES, puedo usar la RESTA o la SUMA de las bases, que son 2 y x (¿qué son las bases?). Elijo hacerlo por la RESTA de las bases (pero al final doy las 2 soluciones). Voy "armando" el resultado:

64 - x6 = (2 - x).(...............)
2     x

3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con 25 y la x0. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("5", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente del número 2 en los siguientes términos, mientras que subo el exponente de x. Los términos irán todos positivos, porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una RESTA. Me queda así:

64 - x6 = (2 - x).(25.x0 + 24.x1 + 23.x2 + 22.x3 + 2x4 + x5)


4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

64 - x6 = (2 - x).(32.1 + 16.x + 8.x2 + 4.x3 + 2.x4 + 20.x5)

          = (2 - x).(32 + 16x + 8x2 + 4x3 + 2x4 + x5 )


En cambio, si lo hiciera por la suma de las bases, la solución sería:

(2 + x).(32 - 16x + 8x2 + 4x3 + 2x4 + x5 )

(¿por qué no dá igual que con el método de la división?)

Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


Otro Ejemplo de esta situación: Con los signos equivocados, pero los dos términos son negativos:

Es necesario presentar otro ejemplo de esta situación, donde los dos signos son negativos:

-x5 - 32 = -(x5 + 32)

Queda una Suma de potencias Impares, y la factorizo como tal:

-(x5 + 32) = -(x + 2).(x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16)

Y debo agregar que, si en un ejemplo así se quiere aplicar la Regla del Sexto Caso, también hay que "sacar el menos afuera". Por que por más que cambiemos el orden de los términos, el primero siempre será negativo y no se puede aplicar la Regla así.


¿Qué es eso de "sacar el menos afuera"?

Ya en otros Casos de Factoreo aplicamos este "truco", que sirve para que los signos de los términos se INVIERTAN. Al poner un signo menos delante de cualquier suma o resta de términos, se consigue que los términos "cambien de signo" según lo necesitemos. Recordemos lo que hicimos en este ejemplo:

Teníamos -x6 + 64, pero queríamos que el primer término quede positivo, es decir, sin el signo menos. Entonces, cambiamos a -x6 + 64, por -(x6 - 64). Y así, podemos trabajar con el polinomio x6 - 64, donde el primer término es positivo como queríamos. Pero, ¿por qué estamos autorizados a cambiar una expresión por la otra? Únicamente podemos hacerlo porque ambas expresiones son iguales. Es decir:  -(x6 - 64) es igual que -x6 + 64. Y antes que nada voy a mostrar que eso es verdad, aplicando una "reglita" muy usada en el Nivel Medio: "Cuando saco un paréntesis precedido por un signo menos, debo cambiar los signos de todos los términos que están dentro del paréntesis".

Si en -(x6 - 64) saco el paréntesis, queda -x6 + 64, por la "regla para sacar paréntesis". Entonces -(x6 - 64) = -x6 + 64.

Podemos pensar que este truquito de "sacar el menos", es "lo inverso" de usar la reglita para sacar paréntesis. En la reglita, tenemos el menos y sacamos el paréntesis, cambiando los signos de los términos. En el truquito, sacamos un menos adelante y ponemos el paréntesis, cambiando los signos de los términos:

Pasar de -(x6 - 64) = -x6 + 64 es un procedimiento inverso a pasar de -x6 + 64 = -(x6 - 64)  

En realidad x6 - 64 y -x6 + 64 son "opuestos" (¿qué es el opuesto?). Por eso, podemos decir que el opuesto de -x6 + 64 es x6 - 64. Y eso equivale a decir, justamente:

-x6 + 64 = -(x6 - 64)    Esto también significa "-x6 + 64 ES EL OPUESTO de x6 - 64".

Al usar nuestro truquito, conseguimos el OPUESTO del polinomio, que tiene los signos como a nosotros nos conviene. Y podemos trabajar a gusto con ese opuesto, recordando siempre que al resultado hay que ponerle el signo menos adelante.

También podemos pensar que lo que estamos haciendo con esto de "sacar el menos afuera" es en realidad "sacar factor común -1" o "dividir todo por -1". Así, si dividido ambos términos por -1, pasa lo siguiente:

-x6 + 64 = -1.(x6 - 64)   

Ya que -x6:(-1) es igual a x6; y 64:(-1) es igual a -64. Dividiendo ambos términos por (-1), consigo que cambien los signos de los dos términos (Cómo sacar Factor Común -1)


¿Cómo sería la división en este ejemplo si no uso la Regla de Ruffini?

Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:


 x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - 64 |  x - 2                      
-x6 + 2x5                             x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32
         
      2x5 + 0x4
     -2x5 + 4x4
                
            4x4 - 0x3
           -4x4 + 8x3
                     
                  8x3 +  0x2
                 -8x3 + 16x2
                             
                        16x2 +  0x
                       -16x2 + 32x
                                   
                               32x - 64
                              -32x + 64
                                        
                                      0
                                      /



Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

-(x - 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32) = -(x6 + 2x5 + 4x4 + 8x3 + 16x2 + 32x - 2x5 - 4x4 - 8x3 - 16x2 - 32x - 64) = -(x6 - 64) = -x6 + 64

Se puede ver que hay términos "opuestos": 2x5 y -2x5, 4x4 y -4x4  (¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá "0". Sólo quedan los términos -x6 y 64.
Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


¿Son iguales los resultados que se obtienen con los distintos métodos?

Ya hablé de esto en otro ejemplo (EJEMPLO 3): obviamente todos los resultados son iguales, porque todos son iguales a -x6 + 64. Y pueden no parecer iguales por su forma: los signos cambiados, cambios de orden. Pero, operando (verificando) en cualquiera de ellos, se llega a que es igual a -x6 + 64. Lo cual ya es una demostración de que son iguales. Mirémoslos a todos juntos, y comparemos:

-(x - 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32)
                                
-(x + 2).(x5 - 2x4 + 4x3 - 8x2 + 16x - 32)

(2 - x).(32 + 16x + 8x2 + 4x3 + 2x4 + x5 )

(2 + x).(32 - 16x + 8x2 + 4x3 + 2x4 + x5)

Todos sus términos son iguales. Lo que cambian son los signos o el orden. Pero con pasos matemáticos válidos se puede salvar esa diferencia y llegar a que cada uno es igual al otro. Con todos.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 10:

-x5 - 243 = -(x5 + 243) = -(x + 3).(x4 - 3x3 + 9x2 - 27x + 81)

                   x      3

-a3 + 8 = -(a3 - 8) = -(a - 2).(a2 + 2a + 4)

                a     2

-b4 + 81 = -(b4 - 81) = -(b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó
                  b      3
                              = -(b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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