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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 11


EJEMPLO 11: (Con un número multiplicando a la primera letra)

8x3 +  27 = 8.(x3 + 27/8) = 8.(x + 3/2).(x2 - 3/2 x + 9/4)

                     x      3/2

El polinomio no está normalizado. Para dividir por Ruffini,  primero hay que normalizar el polinomio y luego aplicar el caso a lo que queda. Pero también existe una manera de hacer la división por Ruffini sin normalizar antes, aunque hay que saber un "truquito". Se explica de todas las maneras.


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

Tenemos 3 maneras distintas de encarar un ejemplo como éste usando el método de la división:

1) Con la división de Ruffini, pero "normalizando" antes al polinomio (Ya se verá en la explicación lo que es "normalizar").

2) Con la división común de polinomios. Ésta es la forma más directa, ya que no hay que hacer ninguna modificación previa.

3) Con la división de Ruffini, pero multiplicando el dividendo y el divisor por el mismo número. Con ese truco se pueden hacer divisiones con Ruffini por polinomios que tengan un número multiplicando a la x (ya se verá en la explicación).

Explicaré los tres procedimientos:

1) CON RUFFINI Y "NORMALIZANDO" EL DIVIDENDO:

Primero tenemos que hacer desaparecer el número 8 de delante de la x3, porque así como está no podemos usar Ruffini con las bases (¿por qué?). Para eso DIVIDO por 8 a los dos términos. A eso se le llama "normalizar" el polinomio, y no es otra cosa que "quitarle" el "coeficiente principal", o sea el coeficiente de la letra con mayor exponente que tiene el polinomio (¿qué es el coeficiente?). Es como "sacar factor común 8", a pesar de que el 8 no está como factor en el segundo término (EJEMPLO 10 - EJEMPLO 9
de Factor Común)

1) 8x3 + 27 = 8.(x3 + 27/8)

Ya que 8x3 dividido 8 dá x3 (y así logramos "sacarle el 8"), y

27 dividido 8 dá 27/8  (Una división que no dá exacta se puede escribir como fracción) (¿por qué?)

Ahora sólo resta factorizar x3 + 27/8, como ya vimos en otros ejemplos anteriores (EJEMPLO 7 - CON FRACCIONES):

2) x3 es potencia tercera. Entonces, averiguo si 27/8 es también potencia tercera de algún número (¿qué es una potencia?). Calculo la raíz tercera de 27/8, que es igual a 3/2 (¿por qué?). O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 27/8?", y me doy cuenta que el número 3/2 cumple con eso, ya que:
(3/2)3 = 27/8 (¿cómo me doy cuenta de eso?)

2) "Bajo las bases", que son x y 3/2 (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la tercera, dan x3 y 27/8.

3) Divido el polinomio (x3 + 27/8) por el polinomio (x + 3/2). En la SUMA de potencias IMPARES, tengo que dividir por la SUMA de las bases. Utilizo el método de Ruffini:

     | 1   0     0   27/8
     |
     |
 -3/2|   -3/2  9/4  -27/8 
       1 -3/2  9/4 |   0


(Explicación de la división por Ruffini)

El cociente es entonces: x2 - 3/2 x + 9/4 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (x - 2), multiplicando al cociente de la división: x2 - 3/2 x + 9/4. Pero no debo olvidar el número 8 que "saqué adelante". Así, queda factorizado
8x3 +  27 ó 8.(x3 + 27/8):

8x3 +  27 = 8.(x + 3/2).(x2 - 3/2 x + 9/4)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


2) CON LA DIVISIÓN COMÚN DE POLINOMIOS:

8x3 +  27 =

2x       3

Directamente puedo hacer la división por la suma de las bases:


 8x3 +  0x2 + 0x + 27 |     2x + 3    
-8x3 + 12x2             4x2 - 6x + 9
          
       12x2 +  0x
      -12x2 - 18x
                   
             -18x + 27
              18x - 27
                        
                     0
                     /


Entonces: 

8x3 +  27 = (2x + 3).(4x2 - 6x + 9)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


3) CON RUFFINI, PERO USANDO UN "TRUCO":

Si tratamos de usar la Regla de Ruffini, sin "sacar el 8" antes, tenemos el inconveniente de que las bases son 2x y 3, y entonces hay que dividir por    (2x + 3). Pero la Regla de Ruffini no se puede usar si hay un número multiplicando a la x, y aquí tenemos un 2 que "molesta". 

8x3 + 27 = (2x + 3).(............)   La división no se puede hacer con Ruffini
2x      3

Pero hay una manera de encontrar el resultado de este tipo de divisiones, usando la división de Ruffini. Consiste en multiplicar al Dividendo (8x3 + 27) y al Divisor (2x + 3) por un mismo número. La división hecha así dá el mismo resultado (COCIENTE), con distinto Resto. Pero lo que nos importa para factorizar es solamente  el cociente. La validez de este procedimiento tiene que ver con el concepto de división de polinomios, y en otro apartado daré su justificación: Ver aquí

Con esa multiplicación, le "quitaremos" el 2 a (2x + 3), y así nos quedará un divisor de la forma (x + a), que es requisito para poder usar Ruffini. Para tal efecto, el número por el que tenemos que multiplicar es 1/2. Es decir, una fracción con un 1 arriba y el número que queremos quitar abajo:

1/2 .(2x + 3) = (1x + 3/2) = (x + 3/2)

Y eso es porque 1/2 por 2 dá 1. Es decir, que al multiplicar por esa fracción, logramos que el número que "molesta" para hacer Ruffini se vaya. Obsérvese que lo que hicimos fue "normalizar" el divisor. Así como lo hice multiplicando por 1/2, podría haberlo hecho dividiendo por 2, ya que ambas operaciones son equivalentes (¿por qué?). Pero lo hice con multiplicación, porque en general este truco lo enseñan así. (otros ejemplos para ver por cuál número multiplicar)

Pero para que el resultado de la división sea igual, también hay que multiplicar al dividendo por 1/2:

1/2 .(8x3 + 27) = 4x3 + 27/2

Entonces ahora podemos usar Ruffini para dividir a (4x3 + 27/2) por (x + 3/2), que dá el mismo resultado que dividir la otra división que por Ruffini no podíamos hacer: 

     | 4  0   0   27/2
     |
     |
 -3/2|   -6   9  -27/2 
       4 -6   9 |   0


El cociente es entonces 4x2 - 6x + 9. Es el mismo resultado que dá la división de (8x3 + 27) por (2x + 3) (ver aquí esa división). Ahora, todo esto lo hicimos solamente para poder encontrar el cociente, porque es el mismo que el de dividir por (2x + 3) a (8x3 + 27). No debemos confundirnos ahora al armar el resultado de la factorización. En esa división por Ruffini nosotros cambiamos al dividendo y al divisor, como "truco" para encontrar el cociente. Pero no olvidemos que el polinomio que queríamos factorizar era 8x3 + 27, y el divisor para ese polinomio es 2x + 3. Entonces, de esa división por Ruffini, sólo debemos tomar el cociente, no el dividendo ni el divisor. (más sobre esto)

La factorización queda así:

8x3 + 27 = (2x + 3).(4x2 - 6x + 9)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)

(¿Son diferentes los resultados de estos 3 procedimientos?)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO


En un ejemplo como éste (8x3 + 27) no hay ningún impedimento para usar la Regla. Es una SUMA de potencias IMPARES y las bases son 2x y 3.

1) El primer paso es igual que con el otro método: 8x3 es potencia tercera o "cubo", ya que 8 es potencia tercera y x3 también (PRODUCTO-POTENCIA). Entonces, averiguo si 27 es también potencia tercera de algún número
(¿qué es una potencia?). Calculo la raíz tercera de 27, que es igual a 3. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 27?", y me doy cuenta que el número 3 cumple con eso, ya que 33 = 3.3.3 = 27 (¿cómo me doy cuenta de eso?)


2) Por ser 8x3 + 27 una SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la SUMA de las bases, que son 2x y 3 (¿qué son las bases?). Voy "armando" el resultado:

8x3 + 27 = (2x + 3).(...............)
2x      3


3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con (2x)2 y el 30. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("2", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de 2x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente del número 3. Los términos irán con los signos alternados (+ - + - + -), porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una SUMA. Me queda así:

8x3 + 27 = (2x + 3).[(2x)2.30 - (2x)1.31 + (2x)0.32] = 


4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

= (2x + 3).(4x2 - 2x.3 + 1.9) = (2x + 3).(4x2 - 6x + 9)

          
Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Por qué tenemos que "sacar el 8" para poder hacer la división con Ruffini?

(8x3 +  27) es una SUMA de potencias IMPARES. Sería divisible por (2x + 3), es decir, la suma de las bases. 

8x3 +  27 = (2x + 3).(....................)

2x       3

Si lo tratara de factorizar así como está, debería dividir por (2x + 3): la suma de las bases. Pero, la Regla de Ruffini sólo sirve para dividir por polinomios de la forma (x + a). Es decir: "x más o menos un número", pero sin nada "delante de la x". Es verdad que hay truco para hacer también divisiones con polinomios que sí tengan un número delante de la x, pero esa sería otra manera de hacerlo, un poco más complicada y que no es frecuente que enseñen en la actualidad (ver aquí). Entonces, para no tener este problema, sacamos el 8 de delante de la x, y así la primera base ya no es 2x, sino, la x sola:

8.(x3 +  27/8) =

    x       3/2

Como ahora sólo tengo que dividir a x3 +  27/8, la primera base es x, ya no 2x. Así, puedo dividir por Ruffini, ya que ahora el divisor -la suma de las bases- es (x + 3/2), un divisor que no tiene un número delante de la x, como lo tenía (2x + 3).


¿Por qué dá igual la división si multiplico el dividendo y el divisor por un mismo número? (¿qué es el "dividendo" y el "divisor"?)

Recordemos que:

DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE + RESTO

Es decir, que si divido a un polinomio P, por un polinomio Q, y me dá como resultado un polinomio C, y el resto es un polinomio R:

         P |    Q     
                 C
         R
          /


Puedo decir que P = Q x C + R

Con un ejemplo numérico a lo mejor se entiende más:

           26 |   3   
            2      8
            0/

Entonces, puedo decir que 26 = 3 x 8 + 2  (Hagan la cuenta y confírmenlo)

Entendido eso, vamos a ver que pasa si multiplico por un número "K" al dividendo P:

P = Q x C + R

K x P = K x [(Q x C) + R]      

Ahora aplico la Propiedad Distributiva en el segundo miembro (¿qué es un miembro?). Me queda:

K x P = K x Q x C + K x R

Y ahora aplico la Propiedad Asociativa de la multiplicación, para asociar a K x Q:

K x P = (K x Q) x C + K x R

En este resultado podemos "leer" lo siguiente, aunque no es fácil:

El dividendo es K x P, el divisor es K x Q, el cociente es C, y el resto es K x R. ¿Qué significa esto? Que esa igualdad se puede interpretar como:

"Si dividido al polinomio K x P, por el polinomio K x Q, el cociente es el polinomio C, y el resto es el polinomio K x P". O también:

"El cociente de dividir a K x P por K x Q, es igual a C". ¡Es el mismo cociente C que se obtenía al divididr a P por Q! Y el resto es K x R, es decir, el mismo resto pero multiplicado por K"

De ahí viene que, si se multiplica al dividendo y al divisor por un mismo número, el resultado o cociente de la división es el mismo que cuando dividimos sin multiplicar por nada. Y esa propiedad es la que avala lo que hacemos al usar ese "truco" que luego nos permite aplicar la división de Ruffini. Esto puede exceder el nivel de muchos lectores, y lo presento sólo como la justificación del método sin pretender que se entienda todo el razonamiento.

Aplicándolo en cualquier ejemplo se puede ver que esto es cierto. Lo voy a hacer en un ejemplo sencillo:

DIVIDENDO: x2 + 2

DIVISOR: x + 1

 x2 + 0x + 2 |   x + 1  
-x2 -  x         x - 1
      -x + 2
       x + 1
             
           3
           /


COCIENTE: x - 1

RESTO: 3

Ahora multiplico al dividendo y al divisor por un mismo número, por ejemplo por 4, y hago la división, a ver qué pasa:

DIVIDENDO POR 4: 4x2 + 8

DIVISOR POR 4: 4x + 4

 4x2 + 0x + 8 |  4x + 4  
-4x2 - 4x         x - 1
      -4x + 8
       4x + 4
              
           12
            /


COCIENTE: x - 1    ¡El mismo cociente que la otra división!

RESTO: 12, que es igual a 3x4. O sea, al otro Resto multiplicado por 4, el número por el cual multipliqué a ambos polinomios (Aunque el Resto no nos interesa para el tema que estamos viendo, ya que siempre nos dá Resto = 0).


¿Por cuál número hay que multiplicar al dividendo y al divisor, si queremos usar Ruffini cuando hay un número multiplicando a la primera letra?

Hay que multiplicar por un número que "normalice" al divisor. Veamos ejemplos, que así se entiende mejor:

Si el divisor es 3x + 4, para que desaparezca el 3 de delante de la x, tengo que multiplicar por 1/3:

1/3.(3x + 4) = x + 4/3         "Normalicé al divisor" (¿qué es normalizar?)

Si el divisor es 5x - 2, para que desaparezca el 5 tengo que multiplicar por 1/5:

1/5 .(5x - 2) = x - 2/5           Desapareció el 5 que molestaba para dividir por Ruffini

Si el divisor es 3/7 x + 1, tengo que multiplicar por 7/3

7/3 .(3/7 x + 1) = x + 7/3      Desapareció el 3/7

Podemos concluir que, para que "desaparezca" el coeficiente de la primera letra, hay que multiplicar por el "inverso" de ese coeficiente (¿qué es el coeficiente? ¿qué es el inverso?). Si es un número natural, como 3 por ejemplo, su inverso es la fracción 1/3: "una fracción con un 1 arriba y el 3 abajo". Si se trata de una fracción, como 3/7, su inverso es "la fracción al revés", es decir 7/3. Y esto es porque, al multiplicar a un número por su inverso multiplicativo, se obtiene como resultado el número 1, que es el neutro de la multiplicación (¿el neutro?):

1/3 . 3x = 1x = x

1/5 . 5x = 1x = x

7/3 . 3/7 x = 1x = x


¿Por qué multiplicar por un 1/2 es lo mismo que dividir por 2?

O en general: "multiplicar por 1/n es lo mismo que dividir por n". Hagamos algunos ejemplos a ver qué pasa: 

4. 1/2 = 4/2 = 2

4 : 2 = 2


24. 1/3 = 24/3 = 8

24 : 3 = 8


45. 1/5 = 45/5 = 9

45: 5 = 9

La multiplicación de 4 por 1/2 dá 4/2, que significa "4 dividido 2", ya que la fracción significa división (¿cómo es esto?). La multiplicación de 24 por 1/3 dá 24/3, que significa "24 dividido 3". Y así va a ser siempre que multiplique un número por una fracción con numerador 1: queda una división entre el número que estoy multiplicando y el denominador de la fracción. Es decir, queda una división entre el número y el denominador de la fracción.

Multiplicación y división son operaciones "inversas", es decir: una hace lo contrario de la otra. Multiplicar por un número es lo mismo que dividir por su "inverso" y ha de ser por eso que se les llama "inversos". Porque multiplicar por uno de ellos es lo mismo que dividir por el otro. Porque aplicar una operación a uno de ellos es igual que aplicarle la operación inversa al otro.

En uno de los métodos para factorizar que arriba expliqué, teníamos que multiplicar al divisor por el inverso del coeficiente de x. Recordemos la situación:

1/2 .(2x + 3) = x + 3/2

Y decía que hacer eso era lo mismo que dividirlo por 2:

(2x + 3):2 = x + 3/2      (Apliqué la Propiedad Distributiva entre suma y división)

Porque 2x dividido 2 dá x; lo mismo que 1/2 . 2x. Ya que dividir por 2 es lo mismo que multiplicar por su inverso 1/2.


¿Son iguales los resultados que se obtienen con los distintos métodos?

Ya hablé de esto en otros ejemplos (EJEMPLO 3 - EJEMPLO 10): obviamente todos los resultados son iguales, porque todos son iguales a 8x3 + 27. Y pueden no parecer iguales por su forma. Pero, operando (verificando) en cualquiera de ellos, se llega a que es igual a 8x3 + 27. Lo cual ya es una demostración de que son iguales. Mirémoslos a todos juntos, y comparemos:

8.(x + 3/2).(x2 - 3/2 x + 9/4)

(2x + 3).(4x2 - 6x + 9)

Parecen muy distintos, pero esa diferencia tiene que ver con los coeficientes principales. En la primera factorización se han sacado los dos coeficiente principales, y por eso ha quedado el número 8 multiplicando adelante. En la segunda, se conservan los coeficientes principales (2 y 4). Ese 8, viene justamente de haber "quitado" los coeficientes principales antes de factorizar (normalizamos). En ese 8 están el 2 y 4 de la segunda factorización (8 = 2.4).
En este caso, la manera más fácil de demostrar que ambas factorizaciones son iguales, es operar en las dos y ver cómo se llega al mismo resultado: 8x3 + 27:

8.(x + 3/2).(x2 - 3/2 x + 9/4) =
(8x + 12).(x2 - 3/2 x + 9/4) =
8x3 - 12x2 + 18x + 12x2 - 18x + 27 = 8x3 + 27

(2x + 3).(4x2 - 6x + 9) = 8x3 - 12x2 + 18x + 12x2 - 18x + 27 = 8x3 + 27


Verificación de la factorización:

Ya lo hice en la pregunta anterior, para los dos resultados "diferentes" que me dieron según el método que utilicé para factorizar (ver aquí)


El resultado de la factorización cuando se usa el "truco" de multiplicar dividendo y divisor por el mismo número:

En uno de los métodos que expliqué arriba, había que multiplicar el dividendo (8x3 + 27) y el divisor (2x + 3) por 1/2, y luego se podía usar Ruffini, porque el divisor quedaba sin el coeficiente principal (x + 3/2). Y el dividendo quedaba así: 4x3 + 27/2. 
La división era quedaba así:

     | 4  0   0   27/2
     |
     |
 -3/2|   -6   9  -27/2 
       4 -6   9 |   0


En esta división, el cociente es 4x2 - 6x + 9. En este punto, podríamos tender a pensar que la factorización del polinomio debe ser: 

(x + 3/2).(4x2 - 6x + 9)

Porque DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE

Pero en esto hay un error, porque el dividendo de esa división era 4x3 + 27/2. Y ése no era el polinomio que queríamos factorizar. Esa "supuesta" factorización es de 4x3 + 27/2, no de   8x3 + 27. Y podemos probar, operando, que esa multiplicación de polinomios dá como resultado 4x3 + 27/2, y no 8x3 + 27:

(x + 3/2).(4x2 - 6x + 9) = 4x3 - 6x2 + 9x + 6x2 - 9x + 27/2 = 4x3 + 27/2

Pero 4x3 + 27/2 no es lo mismo que 8x3 + 27 (en realidad el primero es la mitad del segundo). Entonces, ésa no es la factorización que buscamos, y no debemos confundirnos.
Debemos tener siempre presente que esa división que hicimos fue solamente para encontrar un cociente. Un cociente que, por determinada propiedad (ver justificación), es igual al cociente de una división que no podíamos hacer con Ruffini entre los polinomios originales (8x3 + 27) y (2x + 3). Pero una vez que tenemos el cociente buscado (4x2 - 6x + 9), debemos recordar cuáles eran los dos polinomios que en verdad queríamos dividir: (8x3 + 27) y (2x + 3), y no (4x3 + 27/2) y (x + 3/2). Entonces, la factorización, con el cociente que hallamos mediante un "truco" para poder usar Ruffini en la división, es:

8x3 + 27 = (2x + 3). (4x2 - 6x + 9)

Porque DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE. Aunque para la división hayamos usado otro dividendo y otro divisor, pero para hallar el mismo cociente.


¿Qué es un miembro en una ecuación?

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones, con al menos alguna incógnita en alguna de ellas o en ambas. Y a cada una de esas expresiones se las llama "miembros". Es decir, "miembro" es "cada uno de los dos lados de una ecuación". Por ejemplo:

3x + 4 = 16  es una ecuación. Sus dos miembros son: 3x + 4 por un lado y 16 por el otro.

x2 + x = 5x2 + 6 es una ecuación. Sus dos miembros son: x2 + x por un lado, y 5x2 + 6 por el otro. El de la izquierda se dice que es el "primer miembro", y el de la derecha es el "segundo miembro".


¿Qué es el "inverso" o "inverso multiplicativo"?

El inverso multiplicativo de un número es aquél número que, multiplicado por él, dé como resultado el número 1. Por ejemplo:

El inverso multiplicativo de 3 es 1/3, porque 3.(1/3) dá como resultado 1.
El inverso multiplicativo de -5 es -1/5, porque (-5).(-1/5) = 1.
El inverso multiplicativo de 2/7 es igual a 7/2, porque 2/7 . 7/2 = 1
El inverso multiplicativo de 1/4 es igual a 4, porque 1/4 . 4 = 1
El inverso multiplicativo de 1 es 1, porque 1.1 = 1

Puede observarse que:

Si se trata de un número entero, su inverso es una fracción con un 1 "arriba" y ese número "abajo" (numerador: 1, denominador: el número ése). (n y 1/n)
Si se trata de una fracción, su inverso es "la fracción dada vuelta". Se le dice también la "fracción inversa". (n/m y m/n)
Si se trata de una fracción con un 1 "arriba" (numerador), y otro número abajo (denominador), su inverso es igual al número de "abajo". (1/n y n).
Un número y su inverso tienen el mismo signo (positivo o negativo). Y eso es porque el resultado de su multiplicación debe dar 1. Y como el 1 es un número positivo, la multiplicación de signos debe ser "más por más", o "menos por menos", según la regla de los signos.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 11:


81a4 - 16 = 81.(a4 - 16/81) = (a - 2/3).(a3 + 2/3 a2 + 4/9 a + 8/27) ó
                      a       2/3
 3a      2
                          = (3a - 2).(27a3 + 18a2 + 12a + 8) ó
                      
                                      = (a + 2/3).(a3 - 2/3 a2 + 4/9 a - 8/27) ó

                                      = (3a + 2).(27a3 - 18a2 + 12a - 8)



32 x5 - 1 = 32.( x5 - 1/32) = 32. (x - 1/2).(x4 + 1/2 x3 + 1/4 x2 + 1/8 x + 1/16) ó
                      x     1/2
2x      1                          = (2x - 1).(16x4 + 8x3 + 4x2 + 2x + 1)


8/125 x3 + 64 = 8/125.(x3 + 1000) = 8/125.(x + 10).(x2 - 10x + 100) ó  
                                x       10
 2/5 x         4
                             = (2/5x + 4).(4/25 x2 - 8/5 x + 16)



Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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