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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 13


EJEMPLO 13: (Con letra y número en el segundo término)

x7 + 128a7 = (x + 2a).(x6 - 2ax5 + 4a2x4 - 8a3x3 + 16a4x2 - 32a5x + 64a6)

x       2a

En un ejemplo así se puede aplicar la división de Ruffini, pero es un poco más complicada, como en el EJEMPLO 6, ya que hay 2 letras. Y sino, se puede hacer con la división común o con la Regla para el Sexto Caso.


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) x7 y es una potencia séptima (¿qué es una potencia?). Entonces pienso si 128a7 será también una potencia séptima. Y lo es, ya que (2a)7 es igual a 128a7 (¿cómo me doy cuenta de eso?). Entonces es una SUMA de potencias IMPARES de igual grado.

2) "Bajo las bases", que son x y 2a (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la séptima, dan x7 y 128a7.

3) Divido el polinomio (x7 + 128a7) por el polinomio (x + 2a). Porque es una SUMA de potencias IMPARES, y entonces debo dividir por la SUMA de las bases, como ya vimos en el EJEMPLO 1. Utilizo el método de Ruffini, pero hay que saber utilizar Ruffini cuando en el segundo término del divisor hay una letra y un número. Es bastante parecido a como se hace cuando los dos términos son letras, lo cual vimos en el EJEMPLO 6. Como la primera letra del polinomio es la x, tendríamos que tomar a la x como "la letra del polinomio", y a "128a7" lo tratamos como si fuera un número solo: el término independiente. Así se completa el polinomio x7 + 128a7

x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 128a7  

(Explicación más amplia de todo esto en RUFFINI CON DOS LETRAS)

Luego, la división sería así:

   | 1   0    0    0    0     0     0    128a7 
   |
   |
-2a|   -2a   4a2  -8a3  16a4 -32a5  64a6  -128a7
                                              
     1 -2a   4a2  -8a3  16a4 -32a5  64a6
  0

 (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)


El cociente es entonces: x6 - 2ax5 + 4a2x4 - 8a3x3 + 16a4x2 - 32a5x + 64a6 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (x + 2a), multiplicando al cociente de la división: (x6 - 2ax5 + 4a2x4 - 8a3x3 + 16a4x2 - 32a5x + 64a6). Así, queda factorizado  x7 + 128a7:

(x + 2a).(x6 - 2ax5 + 4a2x4 - 8a3x3 + 16a4x2 - 32a5x + 64a6)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO


1) El primer paso es igual que con el otro método: x7 y 128a7 son potencias séptimas. Ya que (2a)7 es igual a 128a7 (¿cómo me doy cuenta de eso?). Entonces, x7 + 128a7 es una SUMA de potencias IMPARES de igual grado.


2) Por ser x7 + 128a7 una SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la SUMA de la bases, que son x y 2a (¿qué son las bases?). Voy "armando" el resultado:

x7 + 128a7 = (x + 2a).(............................)


3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x6 e (2a)0. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("6", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente de 2a. Los términos irán alternados (+ - + - + -), porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una SUMA. Me queda así:

(x + 2a).[x6.(2a)0 -  x5.(2a)1 + x4.(2a)2 - x3.(2a)3 + x2.(2a)4 - x.(2a)5 + x0(2a)6)]

4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

(x + 2a).(x6.1 - x5.2a + x4.4a2 - x3.8a3 + x2.16a4 - x.32a5 + 1.64a6) =

(x + 2a).(x6 - 2ax5 + 4a2x4 - 8a3x3 + 16a4x2 - 32a5x + 64a6)


Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Cómo me doy cuenta de que 128a7 es una potencia séptima?

128a7 es un producto (multiplicación). Y un producto es potencia de determinado exponente, si cada uno de los factores es una potencia de dicho exponente:

128a7 es potencia séptima, porque 128 es potencia séptima (27 = 128) y a7 también lo es.

Esto tiene que ver con la Propiedad Distributiva entre el producto y la potencia:

(a.b)n = an.bn

Y lo que estamos usando para "darnos cuenta", es esa propiedad "al revés":

an.bn = (a.b)n 

Otros ejemplos:

32b5 es una potencia quinta, porque 32 es potencia quinta (25 = 32), y b5 también lo es.

81a4 es potencia cuarta, porque 81 es potencia cuarta (34 = 81), y x4 también lo es.

27b3 es potencia tercera, ya que 27 es potencia tercera (33 = 27), y b3 también lo es.


¿Cómo sería esta división si no uso la Regla de Ruffini?

Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:


 x7 + 0x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x + 64a7 |     x + 2a                                   
-x7 - 2ax6                                   x6 - 2ax5 + 4a2x4 - 8a3x3 + 16a4x2 - 32a5x + 64a6
          
     -2ax6 +  0x5
      2ax6 + 4a2x5
                  
             4a2x5 +  0x4
            -4a2x5 - 8a3x4
                         
                   -8a3x4 +   0x3
                    8a3x4 + 16a4x3
                                 
                            16a4x3 +    0x2
                           -16a4x3 - 32a5x2
                                          
                                    -32a5x2 +   0x
                                     32a5x2 + 64a6x
                                                   
                                                    64a6x - 64a7
                                                   -64a6x + 64a7
                                                                
                                                             0
                                                             /



Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(x + 2a).(x6 - 2ax5 + 4a2x4 - 8a3x3 + 16a4x2 - 32a5x + 64a6)
=
x7 - 2x6a + 4x5a2 - 8x4a3 + 16x3a4 - 32x2a5 + 64xa6 + 2x6a - 4x5a2 + 8x4a3 - 16x3a4 + 32x2a5 - 64xa6 + 128a7 = x7 - 128a7

Se puede ver que hay términos "opuestos": -2x6a y 2x6a, 4x5a2 y -4x5a2, etc.
(¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan los términos x7 e y7. Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 13:

a5 + 32b5 = (a + 2b).(a4 - 2ba3 +4 b2a2 - 8b3a + 16b4)

a      2b


a8 - 256z8 = (a - 2z).(a7 + 2za6 + 4z2a5 + 8z3a4  + 16z4a3 + 32z5a2 + 64z6a + 128z7) ó

a      2z       (a + 2z).(a7 - 2za6 + 4z2 a5 - 8z3 a4  + 16z4 a3 - 32z5 a2 + 64z6 a - 128z7)


b3 - 27y3 = (b - 3y).(b2 + 3yb + 9y2)

b     3y




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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