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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 14


EJEMPLO 14: ("No se puede hacer con Ruffini")

a5x5 +  32b5= (ax + 2b).(a4x4 - 2a3x3b + 4a2x2b2 - 8axb3 + 16b4)

ax        2b


Este ejemplo es apropiado para resolverlo con la REGLA PARA EL SEXTO CASO, en vez de hacer la división.  También se puede hacer la división, pero no con la Regla de Ruffini.


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) a5x5 es una potencia quinta (¿qué es una potencia?). Entonces pienso si 32b5 será también una potencia quinta. Y lo es efectivamente, ya que (2b)5 es igual a 32b5 (¿cómo me doy cuenta de eso?). Entonces es una SUMA de potencias IMPARES de igual grado.

2) "Bajo las bases", que son ax y 2b (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la quinta, dan a5x5 y 32b5.

3) Divido el polinomio (a5x5 + 32b5) por el polinomio (ax + 2b). Porque es una SUMA de potencias IMPARES, y entonces debo dividir por la SUMA de las bases, como ya vimos en el EJEMPLO 1. Como el divisor es (ax + 2b) no puedo usar la regla de Ruffini para dividir (¿por qué?)

Hago la división:


a5x5 +    0x4 + 0x3 + 0x2 + 32b5 |     ax + 2b                         
-a5x5 - 2ba4x4                    a4x4 - 2ba3x3 + 4b2a2x2 - 8b3ax + 16b4
             
      -2ba4x4 +     0x3
       2ba4x4 + 4b2a3x3
                      
                4b2a3x3 +    0x2
               -4b2a3x3 - 8b3a2x2
                                
                        -8b3a2x2 +    0x
                         8b3a2x2 + 16b4ax
                                          
                                  16b4ax + 32b5
                                 -16b4ax - 32b5
                                                   
                                            0
                                            /

El cociente es entonces: a4x4 - 2ba3x3 + 4b2a2x2 - 8b3ax + 16b4. Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (ax + 2b), multiplicando al cociente de la división: a4x4 - 2ba3x3 + 4b2a2x2 - 8b3ax + 16b4. Así, queda factorizado  a5x5 + 32b5:

(ax + 2b).(a4 x4 - 2ba3x3 + 4b2a2x2 - 8b3ax + 16b4)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO


1) El primer paso es igual que con el otro método: a5x5 y 32b5 son potencias quintas. Ya que (2b)5 es igual a 32b5 (¿cómo me doy cuenta de eso?). Entonces, a5x5 + 32b5 es una SUMA de potencias IMPARES de igual grado.


2) Por ser a5x5 + 32b5 una SUMA de potencias IMPARES, tengo que usar la SUMA de la bases, que son ax y 2b (¿qué son las bases?). Voy "armando" el resultado:

a5x5 + 32b5 = (ax + 2b).(............................)


3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con (ax)4 e (2b)0. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("4", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente de 2b. Los términos irán alternados (+ - + - + -), porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una SUMA. Me queda así:

(ax + 2b).[(ax)4.(2b)0 -  (ax)3.(2b)1 + (ax)2.(2b)2 - (ax)1.(2b)3 + (2b)4]

4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

(ax + 2b).(a4x4.1 -  a3x3.2b + a2x2.4b2 - ax.8b3 + 16b4 =

(ax + 2b).(a4x4 -  2a3x3b + 4a2x2b2 - 8axb3 + 16b4)=


Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO

(¿Son iguales los resultados de los dos métodos?)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Son iguales los resultados que se obtienen con los dos métodos?

(ax + 2b).(a4x4 - 2ba3x3 + 4b2a2x2 - 8b3ax + 16b4) y

(ax + 2b).(a4x4 - 2a3x3b + 4a2x2b2 - 8axb3 + 16b4)

Son iguales. La única diferencia de "forma" es el orden de los factores en tres de los términos: 2ba3x3 y 2a3 x3b, 4b2a2x2 y 4a2x2b2, 8b3ax y 8axb3. Pero son iguales sin duda, porque en la multiplicación se puede cambiar el orden por la Propiedad Conmutativa. Ahora ¿por qué los puse en ese orden en cada método? No es algo de mucha importancia, pero voy a aclarar: Cuando hice la división común, tomé como variable principal del polinomio a la x, y se puede ver como completé con 0x3, 0x2, etc. a las potencias que faltaban. Por eso, en todos los términos quedó la x como última letra. En cambio cuando usé la Regla del Sexto Caso, elevé a las bases en el orden que venían ("ax" primero y "2b" después). Y en ese orden quedaron las letras de los términos, poniendo delante solamente a los números.


Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(ax + 2b).(a4x4 -  2a3x3b + 4a2x2b2 - 8axb3 + 16b4) =

a5x5 - 2a4x4b + 4a3x3b2 - 8a2x2b3 + 16axb4 + 2ba4x4 - 4a3x3b2 + 8a2x2b3 - 16axb4 + 32b5=

Se puede ver que hay términos "opuestos": -2a4x4b y 2ba4x4, 4a3x3b2 y -4a3x3b2, etc.
(¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan los términos a5x5 e 32b5. Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 14:


81a4 - 16x4b4 = (3a - 2xb).(27a3 + 18a2bx + 12ax2b2 + 8x3b3) ó

3a        2xb       (3a + 2xb).(27a3 - 18a2bx + 12ax2b2 - 8x3b3)


x7y7 - 128z7 = (xy - 2z).(x6y6 + 2x5y5z + 4x4y4z2 + 8x3y3z3  + 16x2y2z4 + 32xyz5 + 64z6)

xy        2z       


125a3b3 + 27y3 = (5ab + 3y).(25a2b2 - 15aby + 9y2)

5ab          3y




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
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EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con letra y número en el segundo término)



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