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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2


EJEMPLO 2: (Resta de Potencias Impares)

x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

x     2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) x3 es potencia tercera. Entonces, averiguo si 8 es también potencia tercera de algún número (¿qué es una potencia?). Calculo la raíz tercera de 8, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 8?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que 23 = 2.2.2 = 8. (¿cómo me doy cuenta de eso?)

2) "Bajo las bases", que son x y 2 (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la tercera, dan x3 y 8.

3) Divido el polinomio (x3 - 8) por el polinomio (x - 2). Porque en la RESTA de potencias IMPARES, debo dividir por la RESTA de las bases. Es decir: RESTA SE DIVIDE POR RESTA. Utilizo el método de Ruffini:

  | 1   0   0  -8
  |
  |
 2|     2   4   8  
    1   2   4  |0


(Explicación de la división por Ruffini)    (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)

El cociente es entonces: x2 + 2x + 4 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

4) Pongo el polinomio por el que dividí: (x - 2), multiplicando al cociente de la división: (x2 + 2x + 4). Así, queda factorizado x3 - 8:

(x - 2).( x2 + 2x + 4)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO


1) El primer paso es igual que con el otro método: x3 es potencia tercera. Entonces, averiguo si 8 es también potencia tercera de algún número. Calculo la raíz tercera de 8, que es igual a 2. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 3 me dá 8?", y me doy cuenta que el número 2 cumple con eso, ya que
23 = 2.2.2 = 8. (¿cómo me doy cuenta de eso?)


2) Por ser x3 - 8 una RESTA de potencias IMPARES, tengo que usar la RESTA de la BASES, que son x y 2 (¿qué son las bases?). Voy "armando" el resultado:

x3 - 8 = (x - 2).(...............)


3) Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x2 y el 20. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("2", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de x en los siguientes términos, mientras que subo el exponente del 2. Los términos irán todos positivos, porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una RESTA. Me queda así:

x3 - 8 = (x - 2).(x2.20 + x1.21 + x0.22)


4) Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

x3 - 8 = (x - 2).(x2.1 + x.2 + 1.4 )

         = (x - 2).(x2 + 2x + 4)


Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO



¿Cómo es la Regla para factorizar en el Sexto caso sin hacer la división?


Decíamos que hay una regla para calcular el cociente sin hacer la división. Ni siquiera hace falta que pensemos que es un cociente ni nada relacionado con la división. Se trata simplemente de recordar de memoria cómo armar el resultado de la factorización. Es el método B que estoy usando en cada ejemplo.

Esta Regla se basa en que resultado de la factorización tiene una forma con cierta "armonía", y que es fácil de recordar cuando ya se la conoce. Veamos un ejemplo:


x5 + 243 =

x       3

1) La primera parte es igual en ambos métodos: Buscar las 2 potencias quintas, sus bases, etc. (Para más datos consultar en el EJEMPLO 1). Las bases son x y 3. Y como es una SUMA de potencias IMPARES, debo poner en el resultado la SUMA DE LAS DOS BASES. La regla diría entonces: "Para potencias IMPARES, SUMA VA CON SUMA, y RESTA VA CON RESTA". Va quedando:

x5 + 243 = (x + 3).(.............................)
  SUMA      SUMA
x       3

2) Y ahora viene la parte más interesante: Cómo generar ese polinomio que falta, que con el otro método era el resultado de la división. Bueno, ese polinomio es el que tenemos que aprender a generar "de memoria". Les voy a mostrar el resultado y luego analizamos su "armonía":

(x4.30 - x3.31 + x2.32 - x1.33 + x034)

Podemos observar lo siguiente:

a. En todos los términos están la x y el 3 (que son las bases). Cada uno con un exponente.

b. En el primer término está la x elevada a la 4 (x4), un grado menos que el polinomio original (x5 + 243). Y el 3 elevado a la 0.

c. En los siguientes términos, la x va bajando de grado: 3, 2, 1 y hasta 0. Y al mismo tiempo el 3 va subiendo de grado: 1, 2, 3 y hasta 4. Es decir, que el grado de la primera base va bajando desde 4 a 0, y el la segunda base va subiendo desde 0 a 4.

d. Los signos de los términos están alternados: + - + - +. Eso debe ser así para la SUMA de potencias de igual grado. Para la RESTA, hay que poner todos los signos positivos (+ + + + ....)

e. También podemos ver la siguiente coincidencia que se produce: Si sumamos los exponentes en cada término, siempre dá 4. Por ejemplo: x4.30 (4 + 0 = 4); x3.31 (3 + 1 = 4)

Entonces, si podemos simplemente recordar los puntos a, b, c y d de la anterior observación, podemos generar sin inconveniente el resultado de cualquier factorización. Incluso podemos factorizar polinomios con algunas particularidades, que se suelen dejar sin factorizar cuando se enseña este Caso con la división por Ruffini (EJEMPLO 11 y EJEMPLO 12 para Avanzados). El punto d sólo muestra una "coincidencia" que puede servirnos para vigilar que lo estamos haciendo bien.

Por último, hay que hacer uno o dos pasos más, para resolver las potencias y quitarle el 1 a las potencias de grado 1. Entonces queda así:

(x4.1 - x3.3 + x2.9 - x1.27 + 1.81)     Y finalmente:

(x4 - 3x3 + 9x2 - 27x + 81)

El ejemplo resuelto entonces queda así:

x5 + 243 = (x + 3).(x4 - 3x3 + 9x2 - 27x + 81)

Si tenemos un buen manejo de la Matemática, podemos hacerlo en un sólo paso: las potencias 0 directamente no las ponemos, y los números los ponemos delante de las letras. Y a las potencias 1 no les ponemos el 1.

3) Otros ejemplos para reforzar:

x7 - 128 =

x      2

Las bases son x y 2. Como es RESTA de potencias IMPARES, en el primer polinomio debo poner la RESTA de la bases. Como es de grado 7, debo empezar en grado 6. Y como es RESTA, los signos del segundo polinomio serán todos positivos:

x7 - 128 = (x - 2).(x6.20 + x5.21 + x4.22 + x3.23 + x2.24 + x1.25 + x0.26)
RESTA      RESTA
            = (x - 2).(x6.1 + x5.2 + x4.4 + x3.8 + x2.16 + x.32 + 1.64)

            = (x - 2).(x6 + 2x5 + 4x4 + 8x3 + 16x2 + 32x + 64)


a6 - 64

a      2

Las bases son a y 2. Como es RESTA de potencias PARES, en el primer polinomio puedo poner tanto la SUMA como la RESTA de las bases. Es decir que se puede hacer de dos formas diferentes.  Como es de grado 6, empiezo con grado 5. Y como lo hago con RESTA, todos los signos del segundo polinomio serán positivos:

a6 - 64 = (a - 2).(a5.20 + a4.21 + a3.22 + a2.23 + a1.24 + x0.25)
RESTA      RESTA
           = (a - 2).(a5.1 + a4.2 + a3.4 + a2.8 + a1.16 + 1.32)

           = (a - 2).(a5 + 2a4 + 4a3 + 8a2 + 16a + 32)

Y voy a hacer el mismo con SUMA. Entonces, los signos quedan alternados:

a6 - 64 = (a + 2).(a5.20 - a4.21 + a3.22 - a2.23 + a1.24 - x0.25)
RESTA      SUMA
           = (a + 2).(a5.1 - a4.2 + a3.4 - a2.8 + a1.16 - 1.32)

           = (a + 2).(a5 - 2a4 + 4a3 - 8a2 + 16a - 32)


y3 + 125 =

y        5

Las bases son "y" y "5". Como es SUMA de potencias IMPARES, en el primer polinomio pongo la SUMA de las bases. Como es de grado 3, empiezo con grado 2. Y como es SUMA,  los signos del segundo polinomio deben ir alternados: + - +

y3 + 125 = (y + 5).(y2.50 - y1.51 + y0.52)

               (y + 5).(y2.1 - y.5 + 1.25)

               (y + 5).(y2 - 5y + 25)


Y la aplicación de la regla en un par de ejemplos que ni los factorizan cuando enseñan a usar Ruffini en este Caso de Factoreo:


32a5 + x10y5 =

2a       x2y

Las bases son 2a y x2y. Como es SUMA de potencias IMPARES, en el primer polinomio pongo la SUMA de las bases. Como es de grado 5, empiezo con grado 4. Y como es SUMA, los signos del segundo polinomio deben ir alternados ( + - + - + -, etc.):

32a5 + x10y5 = (2a + x2y).[(2a)4.(x2y)0 - (2a)3.(x2y)1 + (2a)2.(x2y)2 - (2a
1).(x2y)3 + (2a)0.(x2y)4] =

                   (2a + x2y).(16a4.1 - 8a3x2y1 + 4a2.x4y2 - 2a.x6y3 + 1.x8y4) =

                   (2a + x2y).(16a4 - 8a3x2y + 4a2x4y2 - 2ax6y3 + x8y4)


x6 + 729 = 

x2      9

Las bases son x2 y 9, ya que debo ver a las potencias como "potencias terceras". Y resulta que x6 es potencia tercera de x2, ya que (x2)3 = x6.  Y 729 es potencia tercera de 9, ya que 93 es igual a 729. Tengo que verlos como potencias terceras, ya que si los veo como potencias sextas no podría factorizar, porque la suma de potencias pares no es divisible ni por suma ni por resta, como ya lo comenté en su oportunidad (ver aquí). Al verlos como potencias terceras, los estoy viendo como potencia IMPARES y no pares, entonces, la SUMA se divide por SUMA. Y como es potencia TERCERA, el segundo polinomio (el que sería el "cociente") lo debo empezar en grado 2, según la regla, y no en grado 5. Porque 3 - 1 = 2.

x6 + 729 = (x2 + 9).((x2)2.90 - (x2)1.91 + (x2)0.92

               (x2 + 9).(x4.1 - x2.9 + 1.81)

               (x2 + 9).(x4 - 9x2 + 81)


REGLA:

IMPAR SUMA ---> SUMA y SIGNOS ALTERNADOS (+ - + - + - + - ,etc.)
IMPAR RESTA ---> RESTA y SIGNOS POSITIVOS (+ + + + + + +...)
PAR RESTA ---> RESTA y SIGNOS POSITIVOS
                      SUMA y SIGNOS ALTERNADOS
PAR SUMA ---> Sólo si la potencia es múltiplo de una potencia impar. Entonces valen las mismas reglas que para IMPAR.


¿Cómo sería la división en este ejemplo si no uso la Regla de Ruffini?

Aquí la división con el procedimiento común para dividir polinomios:


 x3 + 0x2 + 0x - 8 |     x - 2     
-x3 + 2x2             x2 + 2x + 4
         
      2x2 + 0x
     -2x2 + 4x
              
            4x - 8
           -4x + 8
                  
                 0
                 /



Verificación de la factorización:

Aplico la Propiedad Distributiva en el resultado:

(x - 2).(x2 + 2x + 4) =
x3 + 2x2 + 4x - 2x2 - 4x - 8 = x3 - 8

Se puede ver que hay términos "opuestos": 2x2 y -2x2, 4x y -4x, etc. (¿qué es el opuesto?). Entonces se pueden "cancelar", ya que su suma dá cero. Sólo quedan los términos x3 y -8.
Así pude comprobar, mediante operaciones válidas, que el resultado de la factorización es igual al polinomio original. Quiere decir que la factorización es correcta.


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 2:

x5 - 243 = (x - 3).(x4 + 3x3 + 9x2 + 27x + 81)

x      3

a3 - 125 = (a - 5).(a2 + 5a + 25)

a       5

b7 - 128 = (b - 2).(b6 + 2b5 + 4b4 + 8b3 + 16b2 + 32b + 64)

b      2




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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