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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3


EJEMPLO 3: (Resta de Potencias Pares)

b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó 
             (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)

b      3

En la resta de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases.


EXPLICACIÓN:

A- POR EL MÉTODO DE LA DIVISIÓN:

1) b4 es potencia cuarta. Entonces, averiguo si 81 es también potencia cuarta de algún número (¿qué es una potencia?). Calculo la raíz cuarta de 81, que es igual a 3. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 4 me dá 81?", y me doy cuenta que el número 3 cumple con eso, ya que 34 = 3.3.3.3 = 81. (¿cómo me doy cuenta de eso?)

2) "Bajo las bases", que son b y 3 (¿qué son las bases?). Ya que son las que, elevadas a la cuarta, dan b4 y 81.

3) Aquí tengo dos opciones: Dividir por la RESTA de las bases (b - 3), o por la SUMA de las bases (b + 3). Ya que una RESTA de potencias PARES es divisible tanto por la SUMA como por la RESTA de las bases. Y lo voy a hacer de las dos maneras:

a. DIVIDIENDO POR LA RESTA DE LAS BASES (b - 3):

Divido el polinomio (b4 - 81) por el polinomio (b - 3). Utilizo el método de Ruffini:

  | 1   0   0   0  -81
  |
  |
 3|     3   9   27  81
    1   3   9   27  |0


(Explicación de la división por Ruffini)    (¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)

El cociente es entonces: x3 + 3x2 + 9x + 27 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

Por último, pongo el polinomio por el que dividí: (b - 3), multiplicando al cociente de la división: (x3 + 3x2 + 9x + 27). Así, queda factorizado b4 - 81:

(b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto)


b. DIVIDIENDO POR LA SUMA DE LAS BASES (b + 3):

   | 1   0   0   0  -81
   |
   |
 -3|    -3   9  -27  81
     1  -3   9  -27 |0


(¿Cómo sería esta división sin usar "Ruffini"?)

El cociente es entonces: x3 - 3x2 + 9x - 27 (¿por qué?). Y el resto es 0, como debe ser (¿por qué?).

Por último, pongo el polinomio por el que dividí: (b + 3), multiplicando al cociente de la división: (x3 - 3x2 + 9x - 27). Así, queda factorizado b4 - 81:

(b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)

Ya que DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE

Puede observarse que los dos resultados se ven casi iguales, la diferencia está en los signos de los términos. A pesar de su forma diferente, son necesariamente iguales: Son dos expresiones equivalentes, y eso es obvio, porque las dos expresiones tienen que ser, en definitiva, iguales a b4 - 81 (quiero ver eso)

(b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) = (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27) (¿por qué?)


B- POR LA REGLA PARA HALLAR EL COCIENTE SIN HACER LA DIVISIÓN:

Para quienes lo ven de esta otra forma, explico los pasos a seguir en este ejemplo (y en todos los demás). La explicación completa de esta regla la pueden ver en:
REGLA PARA EL SEXTO CASO.


1) El primer paso es igual que con el otro método: b4 es potencia cuarta. Entonces, averiguo si 81 es también potencia cuarta de algún número 
(¿qué es una potencia?). Calculo la raíz cuarta de 81, que es igual a 3. O pienso: "¿Hay algún número elevado a la 4 me dá 81?", y me doy cuenta que el número 3 cumple con eso, ya que 34 = 3.3.3.3 = 81.
(¿cómo me doy cuenta de eso?)


2) Por ser b4 - 81 una RESTA de potencias PARES, puedo usar tanto la RESTA de la BASES (b - 3) (¿qué son las bases?), como la SUMA de las BASES (b + 3). 

a. POR LA RESTA DE LAS BASES:

Voy "armando" el resultado:

b4 - 81 = (b - 3).(...............)

Y ahora, para completar lo que falta, empiezo con x3 y el 30. Es decir, con las bases elevadas al exponente más alto ("3", uno menos que el polinomio a factorizar), y el exponente más bajo (cero). Y luego voy bajando el exponente de b en los siguientes términos, mientras que subo el exponente del 3. Los términos irán todos positivos, porque así dice la regla que deben ser cuando se factoriza una RESTA. Me queda así:

b4 - 81 = (b - 3).(b3.30 + b2.31 + b1.32 + b0.33)

Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

b4 - 81 = (b - 3).(b3.1 + b2.3 + b1.9 + 1.33)

           = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27)


b. POR LA SUMA DE LAS BASES:

b4 - 81 = (b + 3).(b3.30 - b2.31 + b1.32 - b0.33)

Por último, resuelvo las potencias y multiplicaciones para llegar a la expresión más simple:

b4 - 81 = (b + 3).(b3.1 - b2.3 + b.9 - 1.27)

           = (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)


Para una explicación completa de esta regla consultar en: REGLA PARA EL SEXTO CASO



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Son distintos los resultados si lo hago por SUMA o por RESTA?

No, los resultados son iguales. Solamente su forma es diferente. Pero necesariamente tienen que ser iguales, porque los dos han de ser iguales a b4 - 81. Sería absurdo que b4 - 81 sea igual a una cosa y también a otra cosa diferente a la primera. Si pudimos, mediante un procedimiento válido, llegar desde b4 - 81 a esas dos expresiones "distintas", es porque ambas son iguales a b4 - 81. ¿Y cómo podemos demostrarlo? Bueno, operemos en cada una de ellas (con la Propiedad Distributiva), y veremos como ambas son iguales a b4 - 81. Si así no fuera, la factorización del polinomio no sería correcta. 

Multiplico en la primera expresión:

(b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) = b4 + 3b3 + 9b2 + 27b - 3b3 - 9b2 - 27b - 81 = b4 - 81

Como se puede ver, hay términos que son opuestos y pueden cancelarse (3b3 y -3b3, 9b2 y - 9b2, etc.) (¿qué son los "opuestos"?). Entonces, los únicos términos que quedaron fueron b4 y -81.

Multiplico en la segunda expresión:

(b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27) = b4 - 3b3 + 9b2 - 27b + 3b3 - 9b2 + 27b - 81 = b4 - 81

Aquí también hay términos opuestos, que se cancelan, y sólo quedan b4 y -81.

Podemos asegurar entonces que ambas expresiones son iguales, porque cada una de ellas es igual a b4 - 81.


Pero: ¿Se podría demostrar que ambas expresiones son iguales, pasando de una a la otra mediante el uso de propiedades válidas? ¿Hay alguna forma de llegar de una expresión a la otra? Lo que sigue es sólo para interesados: 

Sí. La realidad es que, en el caso de la RESTA de potencias PARES, la factorización que se hace con este Sexto Caso no es completa. Es decir: el resultado de la factorización se puede seguir factorizando. Todavía no vimos ejercicios donde se "combinan" varios Casos de Factoreo. Por eso por ahora en cada ejercicio factorizamos una sola vez, con un solo Caso, y listo. Pero más adelante, se verá que hay polinomios en los que se puede seguir factorizando el resultado con otro Caso, y hasta varias veces. En realidad, hay que seguir factorizando el polinomio hasta que ya no se puedan aplicar más Casos. Así, el polinomio queda completamente factorizado o "descompuesto", en lo que se llaman "polinomios primos", es decir, polinomios que ya no se pueden factorizar. Todo eso lo veremos después en el tema "Casos Combinados". Por ahora sólo estamos aprendiendo a aplicar los Casos de a uno.
Ahora, resulta que, toda RESTA de potencias PARES, es en realidad un "ejercicio combinado", donde se puede aplicar otro Caso de Factoreo al resultado de la primera factorización por este Sexto Caso. En lo que sería el "cociente" de la división, se puede aplicar el Segundo Caso de Factoreo: Factor Común en Grupos.

Recordemos:

Queremos demostrar que (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) = (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27), partiendo de la primera y llegando a la segunda mediante pasos válidos.

En (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) aplico el caso Factor Común en Grupos al segundo polinomio. Me queda así:

(b - 3).[b2(b + 3) + 9.(b + 3)] = (b -3).(b + 3).(b2 + 9)

Eso es lo máximo que se puede factorizar el polinomio b4 - 81. Así está totalmente factorizado en sus polinomios "primos". Obsérvese que apareció el binomio (b + 3), que está en la otra expresión. En la factorización total están tanto (b + 3) como (b - 3). Y si hiciera lo mismo con la otra expresión, llegaría a lo mismo, y así también se podría demostrar que las dos expresiones son iguales.  Pero eso lo voy a hacer en otro lado, para que no interrumpa la demostración (ver).

Pero en realidad, lo que tenemos que hacer para pasar de una expresión a la otra, es tomar el resultado de la primera y transformarlo de alguna forma en el segunda:

(b -3).(b + 3).(b2 + 9) = (b + 3).(b -3).(b2 + 9) Por Propiedad Conmutativa de la Multiplicación

Y (b + 3).(b -3).(b2 + 9) = (b + 3).(b3 + 9b - 3b2 - 27) Por Propiedad Distributiva en los 2 últimos

Y (b + 3).(b3 + 9b - 3b2 - 27) = (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27) Prop. Conmutativa de la Suma

Así, pude partir de una expresión y llegar a la otra.


¿Por qué este ejemplo se puede hacer tanto por Suma como por Resta?

Es una cuestión de divisibilidad. Si el resto dá cero cuando divido por la Suma y también cuando divido por la Resta de las bases, entonces en los dos casos estoy encontrando dos factores: DIVISOR POR COCIENTE. Cuando se trata de Potencias Impares, solamente hay un divisor posible: la suma de las bases, o la resta de la bases. Sólo una de las posibilidades dá con resto cero. Sólo hay un divisor y un cociente posibles. Por eso hay una sola manera posible de factorizarlo.
Incluso, si existiera OTRO DIVISOR, que no fuera ni la suma ni la resta de las bases, TAMBIÉN podría hacerse la división y encontrar así otro cociente que sirviera para factorizar DIVISOR POR COCIENTE. Se verá más adelante en el Caso de Factoreo con Gauss, que puede haber muchas posibilidades de divisores y cocientes distintos. Y vuelvo a decir entonces que, este Sexto Caso, es un caso particular de ese otro Caso, donde lo particular es que el divisor es siempre la Suma y/o la Resta de las bases. Cuando veamos el Caso de Factoreo con Gauss, nos encontraremos que hay OTROS DIVISORES, que ya no hay bases, porque no hay potencias de igual grado, pero el concepto es el mismo: DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE (Más sobre esto).
Para ilustrar esta situación, voy a mostrar unos ejemplos, pero en vez de con polinomios, será con números enteros (Los Polinomios "se comportan" de la misma manera que el conjunto de los Número Enteros):

Usemos un número que tiene muchos divisores: el 36. Según por cuál número lo divida, así quedará su factorización o descomposición:

36 |   2  
16    18
 0
 /


Es decir, que 36 = 2.18 . Ésa es una factorización posible. Pero también se puede dividir por 3:

36 |   3   
06    12
 0
 /


Así, también podemos decir que 36 = 3.12

Pero también a 36 se lo puede dividir por 4, por 9, por 12, por 18... Son todas "factorizaciones" posibles (pensemos en polinomios), al parecer diferentes. Depende del divisor que tome, es la factorización DIVISOR POR COCIENTE que obtengo. Pero éstas se ven "diferentes", porque no están completas. Porque los resultados se pueden seguir "factorizando" (o "dividiendo"). Eso mismo pasa con los polinomios, eso mismo es de lo que hablaba en la pregunta anterior: digamos que cuando lo hice por 2, podríamos decir que lo hice "por suma"; y cuando lo hice por 3, como que lo hice "por resta". Los resultados parecen diferentes, pero los dos son iguales: porque dan 36. 
La cuestión es que la factorización así no está completa. Si sigo dividiendo (o aplicando Casos de Factoreo en Polinomios), termino llegando, por un camino u otro, a la misma factorización total de número o del polinomio.

36 |   2  
16    18 |  2  
 0     0    9 |  3  
 /     /    0    3 |  3  
            /    0    1
                 /


36 = 2.18 = 2.(2.9) = 2.2.(3.3) = 2.2.3.3 . Ésta es la factorización o "descomposición" completa del número 36. Y lo que sucede con los polinomios es análogo a esto.


¿Cómo serían las divisiones en este ejemplo si no uso la Regla de Ruffini?


 b4 + 0b3 + 0b2 + 0b - 81 |     b - 3        
-b4 + 3b3                  b3 + 3b2 + 9b + 27
         
      3b3 + 0b2
     -3b3 + 9b2
               
            9b2 +  0b
           -9b2 + 27b
                      
                  27b - 81
                 -27b + 81
                           
                         0
                          /


 b4 + 0b3 + 0b2 + 0b - 81 |     b + 3        
-b4 - 3b3                  b3 - 3b2 + 9b - 27
         
     -3b3 + 0b2
      3b3 + 9b2
               
            9b2 +  0b
           -9b2 - 27b
                      
                 -27b - 81
                  27b + 81
                           
                         0
                          /



Pero este ejemplo (b4 - 81)... ¿No se podría factorizar como una Diferencia de Cuadrados? (QUINTO CASO)

Efectivamente. Las Restas de potencias pares ¡son Diferencias de Cuadrados! Porque, como vimos en el Quinto Caso, las potencias pares son "cuadrados", ya que son el cuadrado de alguna potencia. Y "resta" y "diferencia" significan lo mismo. Es decir que, ante un polinomio como éste, podemos optar entre aplicar el Quinto o el Sexto Caso. Generalmente se aplica el Quinto Caso, porque es más fácil. Vamos a hacerlo en este ejemplo:

b4 - 81 = (b2 + 9).(b2 - 9)

b2    9

Pero ¿dió igual que cuando aplicamos el Sexto Caso? Pareciera que no. Entonces volvemos al punto de las preguntas anteriores: es porque ese resultado no está factorizado totalmente. Pero se puede ver que b2 - 9 es también una Diferencia de Cuadrados. Si la factorizo, llego al mismo resultado de siempre (Ver aquí):

(b2 + 9).(b2 - 9) = (b2 + 9).(b + 3).(b - 3)

             b     3



Verificación de la factorización:

Ya la hice en la respuesta de la primera pregunta: Ver aquí


Factorización total de cada una de las dos expresiones:

(b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) = (b - 3).[b2(b + 3) + 9.(b + 3)] =  (b -3).(b + 3).(b2 + 9)

(b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27) = (b + 3).[b2.(b - 3) + 9.(b - 3)] = (b + 3).(b - 3).(b2 + 9)

Como se puede ver, la factorización total de la segunda expresión dió igual que la factorización total de la primera expresión. Ya que por la Propiedad Conmutativa de la Multiplicación, se puede cambiar el orden de (b -3).(b + 3)


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 3:

x6 - 64 = (x - 2).(x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32) ó

x      2    (x + 2).(x5 - 2x4 + 4x3 - 8x2 + 16x - 32)


a8 - 6561 = (a - 3).(a7 + 3a6 + 9a5 + 27a4 + 81a3 + 243x2 + 729x + 2187) ó

a       3      (a + 3).(a7 - 3a6 + 9a5 - 27a4 + 81a3 - 243x2 + 729x - 2187)


b4 - 625 = (b - 5).(b3 + 5b2 + 25b + 125) ó (b + 5).(b3 - 5b2 + 25b - 125)

b      5




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 4 (Suma de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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