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SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4


EJEMPLO 4: (Suma de Potencias Pares)

x4 + 16 = x4 + 16

En general no se factorizan las sumas de Potencias pares. Porque no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases. Pero las que son múltiplo de 3 sí se pueden factorizar, aunque como es un poco diferente no lo suelen ver en el Nivel Medio. Consultar en AVANZADOS un ejemplo de esto.


EXPLICACIÓN:

x4 + 16 = 

x      2

Las bases son x y 2, pero x4 + 16 no es divisible ni por la Suma de las bases (x + 2), ni por la Resta de las bases (x - 2). (¿qué son las bases?)



CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

Los conceptos generales del Caso están en CONCEPTOS - SEXTO CASO


¿Por qué no se puede factorizar este Ejemplo con este Sexto Caso?

Porque x4 + 16 no es divisible ni por la Suma de las bases (x + 2), ni por la Resta de las bases (x - 2). Es decir, que en ninguno de los dos casos el resto de la división dá 0. Entonces, no se puede factorizar como DIVIDENDO = DIVISOR POR COCIENTE, que es el concepto que se usa en este Caso de Factoreo (Más sobre este concepto). Ya que si el resto es diferente de 0, tenemos que DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE + RESTO. Y eso ya no es una multiplicación, sino una suma (Recordemos que "factorizar" es transformar en "multiplicación") (¿qué es factorizar?)

Probemos hacer las dos divisiones, para verificar eso:

POR LA SUMA DE LAS BASES:

x4 + 16 = (x + 2).??????????????

x       2

Divido a x4 + 16 por x + 2, a ver qué pasa:

  | 1   0   0   0   16
  |
  |
-2|    -2   4   -8  16
    1  -2   4   -8 |32


Se puede ver que el Resto dá 32, y no 0. Quiere decir que x4 + 16 no es divisible por x + 2. (¿qué significa "divisible"?). Y el cociente es x3 - 2x2 + 4x - 8 (¿por qué?). Por el concepto de división (¿cómo es eso?), tengo que decir que:

x4  +  16  =  (x + 2) . (x3 - 2x2 + 4x - 8) + 32

DIVIDENDO =  DIVISOR X COCIENTE  + RESTO  

¿Pude factorizar así a x4 + 16? NO. Porque no se transformó en una multiplicación, se transformó en una suma, la suma de (x + 2).(x3 - 2x2 + 4x - 8) más 32.


POR LA RESTA DE LAS BASES:

x4 + 16 = (x - 2).??????????????

x       2

Ahora divido a x4 + 16 por x - 2, a ver qué pasa:

 | 1   0   0   0  16
 |
 |
2|     2   4   8  16
   1   2   4   8 |32


Se puede ver que el Resto dá 32 (aquí también), y no 0. Quiere decir que x4 + 16 no es divisible por x + 2. Y el cociente es x3 + 2x2 + 4x + 8 (¿por qué?). Por el concepto de división, tengo que decir que:

x4  +  16  =  (x - 2) . (x3 + 2x2 + 4x + 8) + 32

DIVIDENDO = DIVISOR X COCIENTE + RESTO

¿Pude factorizar así a x4 + 16? NO. Porque no se transformó en una multiplicación, se transformó en una suma, la suma de (x - 2).(x3 + 2x2 + 4x + 8) más 32.

Así, pude comprobar que x4 + 16 no se puede factorizar con el Sexto Caso ni por la Suma ni por la Resta de las bases. Lo mismo pasa con otras Sumas de Potencias Pares, como por ejemplo: x8 + 256, x16 + y16, x2 + 81, etc.


¿Y ninguna Suma de Potencias Pares se puede factorizar con el Sexto Caso?

Como ya comenté antes, hay muchas Sumas de Potencias Pares que sí se pueden factorizar con este Caso. Pero tienen que ser potencias múltiplos de números impares. Por ejemplo: x6, x12, x18, (múltiplos de 3); x10, x20, x30 (múltiplos de 5), etc. Y eso es porque, si son múltiplos de números impares, esas potencias se pueden transformar en potencias impares. Por ejemplo:

x6 (potencia par) se puede transformar en (x2)3 (potencia impar)

x12 (potencia par) se puede transformar en (x4)3 (potencia impar)

x10 (potencia par) se puede transformar en (x2)5 (potencia impar)

Así, se las puede factorizar como Suma de Potencias Impares. Pero no se puede usar la división por Ruffini, porque el divisor no será de la forma (x + "algo") o (x - "algo"), como tiene que ser para poder usar la Regla de Ruffini. Veamos un ejemplo:

x6 + 64 = (x2 + 4).(....................)

x2    4

Las bases son x2 y 4, ya que (x2)3 es x6 y 43 es 64. Son las bases de potencias terceras. Potencias Impares que sí se pueden factorizar. Pero con x2 + 4 como divisor no se puede aplicar Ruffini. Sin embargo, sí se puede hacer la otra división común de polinomios, o también aplicar la Regla para hallar el resultado sin hacer la división (Regla). Para ver ejemplos resueltos de estas factorizaciones, consultar el EJEMPLO 12 para Avanzados (En Nivel Medio no se suele ver).


¿Y este ejemplo, x4 + 16, no se puede factorizar por algún otro caso?

No. Las Sumas de Potencias Pares como ésta (que no son múltiplo de potencias impares), no pueden factorizarse por ninguno de los Casos. Son polinomios "primos". Es porque esos polinomios no tienen raíces en el Conjunto de los Números Reales. Pero aquí no hemos hablado nada de las raíces de un polinomio, y eso lo haremos cuando veamos el:
Caso de Factoreo con Gauss (
¿qué son las raíces de un polinomio?).


Más ejercicios, parecidos al Ejemplo 4:

x8 + 256 = no se puede factorizar

x      2

a16 + 65536 = no se puede factorizar
a         2      


b4 + 625 = no se puede factorizar

b      5




Para más información, conceptos y ejemplos resueltos, consultar en:
SEXTO CASO: SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO


Explicaciones de otros ejemplos:

EJEMPLO 1 (Suma de Potencias Impares)
EJEMPLO 2 (Resta de Potencias Impares)
EJEMPLO 3 (Resta de Potencias Pares)
EJEMPLO 5 (Con el "1")
EJEMPLO 6 (Con dos letras)
EJEMPLO 7 (Con fracciones)
EJEMPLO 8 (Con números decimales)

AVANZADOS:
EJEMPLO 9 (Con el número en el primer término)
EJEMPLO 10 (Con los signos equivocados)
EJEMPLO 11 (Con un número multiplicando a la primera letra)
EJEMPLO 12 (Suma de potencias pares múltiplos de 3 u otros números impares)
EJEMPLO 13 (Con número y letra en el segundo término)
EJEMPLO 14 ("No se puede hacer con Ruffini")



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